Operador positivo (espaço de Hilbert) - Positive operator (Hilbert space)

Em matemática (especificamente álgebra linear , teoria do operador e análise funcional ), bem como na física, um operador linear agindo em um espaço de produto interno é chamado semidefinido positivo (ou não negativo ) se, para todos , e , onde está o domínio de . Operadores semidefinidos positivos são denotados como . O operador é definido como positivo e escrito , se for para todos . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathop {\ text {Dom}} (A)}$ ${\ displaystyle \ langle Ax, x \ rangle \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ langle Ax, x \ rangle \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ mathop {\ text {Dom}} (A)}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A \ geq 0}$ ${\ displaystyle A> 0}$ ${\ displaystyle \ langle Ax, x \ rangle> 0,}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathop {\ mathrm {Dom}} (A) \ setminus \ {0 \}}$

Na física (especificamente na mecânica quântica ), esses operadores representam estados quânticos , por meio do formalismo da matriz de densidade .

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Se então ${\ displaystyle A \ geq 0,}$

{\ displaystyle \ left | \ langle Ax, y \ rangle \ right | ^ {2} \ leq \ langle Ax, x \ rangle \ langle Ay, y \ rangle.}

Na verdade, vamos aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz ao produto interno ${\ displaystyle \ varepsilon> 0.}$

{\ displaystyle (x, y) _ {\ varepsilon} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ langle (A + \ varepsilon \ cdot \ mathbf {1}) x, y \ rangle}

como prova a afirmação. ${\ displaystyle \ varepsilon \ downarrow 0}$

Segue-se que If é definido em todos os lugares, e então ${\ displaystyle \ mathop {\ text {Im}} A \ perp \ mathop {\ text {Ker}} A.}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ langle Ax, x \ rangle = 0,}$ ${\ displaystyle Ax = 0.}$

Em H _C , se A ≥ 0, então A é simétrico

Sem perda de generalidade, deixe o produto interno ser anti-linear no primeiro argumento e linear no segundo. (Se o inverso for verdadeiro, então trabalhamos com ). Para a identidade de polarização ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle _ {\ text {op}} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ langle y, x \ rangle}$ ${\ displaystyle x, y \ in \ mathop {\ text {Dom}} A,}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ langle Ax, y \ rangle = {} & \ langle A (x + y), x + y \ rangle - \ langle A (xy), xy \ rangle \\ [1mm] & {} - i \ langle A (x + iy), x + iy \ rangle + i \ langle A (x-iy), x-iy \ rangle \ end {alinhado}}}

e o fato de que, para operadores positivos, mostram que isso é simétrico. ${\ displaystyle \ langle Ax, x \ rangle = \ langle x, Ax \ rangle,}$ ${\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, Ay \ rangle,}$ ${\ displaystyle A}$

Em contraste com o caso complexo, um operador semidefinido positivo em um espaço de Hilbert real pode não ser simétrico. Como contra-exemplo, definir -se um operador de rotação por um ângulo agudo Em seguida, mas de modo não é simétrica. ${\ displaystyle H _ {\ mathbb {R}}}$ ${\ displaystyle A: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ varphi \ in (- \ pi / 2, \ pi / 2).}$ ${\ displaystyle \ langle Ax, x \ rangle = \ | Ax \ | \ | x \ | \ cos \ varphi> 0,}$ ${\ displaystyle A ^ {*} = A ^ {- 1} \ neq A,}$ ${\ displaystyle A}$

Se A ≥ 0 e Dom A = H _C , então A é auto-adjunto e limitado

A simetria da implica que e para ser auto-adjunta, é necessário que no nosso caso, a igualdade de domínios se sustenta porque assim é de fato auto-adjunta. O fato de que agora é limitado segue do teorema de Hellinger-Toeplitz . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ mathop {\ text {Dom}} A \ subseteq \ mathop {\ text {Dom}} A ^ {*}}$ ${\ displaystyle A = A ^ {*} | _ {\ mathop {\ text {Dom}} (A)}.}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ mathop {\ text {Dom}} A = \ mathop {\ text {Dom}} A ^ {*}.}$ ${\ displaystyle H _ {\ mathbb {C}} = \ mathop {\ text {Dom}} A \ subseteq \ mathop {\ text {Dom}} A ^ {*},}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$

Esta propriedade não se mantém ${\ displaystyle H _ {\ mathbb {R}}.}$

Aplicação à física: estados quânticos

A definição de um sistema quântico inclui um complexo espaço de Hilbert separável e um conjunto de positivos traço de classe operadores on para o qual o conjunto é o conjunto de estados . Cada um é chamado de estado ou operador de densidade . Pois onde o operador de projeção na extensão de é chamado de estado puro . (Uma vez que cada estado puro é identificável com um vetor unitário, algumas fontes definem estados puros como elementos unitários de Estados que não são puros são chamados mistos . ${\ displaystyle H _ {\ mathbb {C}}}$ ${\ displaystyle {\ cal {S}}}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle H _ {\ mathbb {C}}}$ ${\ displaystyle \ mathop {\ text {Trace}} \ rho = 1.}$ ${\ displaystyle {\ cal {S}}}$ ${\ displaystyle \ rho \ in {\ cal {S}}}$ ${\ displaystyle \ psi \ in H _ {\ mathbb {C}},}$ ${\ displaystyle \ | \ psi \ | = 1,}$ ${\ displaystyle P _ {\ psi}}$ ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi \ in H _ {\ mathbb {C}},}$ ${\ displaystyle H _ {\ mathbb {C}}).}$