Parametrização (geometria) - Parametrization (geometry)
Em matemática , e mais especificamente em geometria , parametrização (ou parametrização ; também parametrização , parametrização ) é o processo de encontrar equações paramétricas de uma curva , uma superfície ou, mais geralmente, uma variedade ou variedade , definida por uma equação implícita . O processo inverso é chamado de implicitização . "Parametrizar" por si só significa "expressar em termos de parâmetros ".
Parametrização é um processo matemático que consiste em expressar o estado de um sistema , processo ou modelo em função de algumas grandezas independentes chamadas parâmetros . O estado do sistema é geralmente determinado por um conjunto finito de coordenadas , e a parametrização, portanto, consiste em uma função de várias variáveis reais para cada coordenada. O número de parâmetros é o número de graus de liberdade do sistema.
Por exemplo, a posição de um ponto que se move em uma curva no espaço tridimensional é determinada pelo tempo necessário para chegar ao ponto ao partir de uma origem fixa. Se x , y , z são as coordenadas do ponto, o movimento é então descrito por uma equação paramétrica
onde t é o parâmetro e denota a hora. Essa equação paramétrica determina completamente a curva, sem a necessidade de qualquer interpretação de t como tempo, e é, portanto, chamada de equação paramétrica da curva (isso às vezes é abreviado dizendo que se tem uma curva paramétrica ). Da mesma forma, obtém-se a equação paramétrica de uma superfície considerando funções de dois parâmetros t e u .
Não singularidade
Parametrizações geralmente não são únicas . O objeto tridimensional comum pode ser parametrizado (ou "coordenado") de forma igualmente eficiente com coordenadas cartesianas ( x , y , z ), coordenadas polares cilíndricas ( ρ , φ , z ), coordenadas esféricas ( r , φ, θ) ou outras sistemas de coordenadas .
Da mesma forma, o espaço de cores da visão tricromática humana das cores pode ser parametrizado em termos das três cores vermelho, verde e azul, RGB , ou ciano, magenta, amarelo e preto, CMYK .
Dimensionalidade
Geralmente, o número mínimo de parâmetros necessários para descrever um modelo ou objeto geométrico é igual à sua dimensão , e o escopo dos parâmetros - dentro de seus intervalos permitidos - é o espaço do parâmetro . Embora um bom conjunto de parâmetros permita a identificação de cada ponto no espaço do objeto, pode ser que, para uma dada parametrização, diferentes valores de parâmetro possam referir-se ao mesmo ponto. Esses mapeamentos são sobrejetivos, mas não injetivos . Um exemplo é o par de coordenadas polares cilíndricas (ρ, φ, z ) e (ρ, φ + 2π, z ).
Invariância
Como indicado acima, há arbitrariedade na escolha dos parâmetros de um dado modelo, objeto geométrico, etc. Freqüentemente, deseja-se determinar propriedades intrínsecas de um objeto que não dependem dessa arbitrariedade, que são, portanto, independentes de qualquer escolha particular de parâmetros. Este é particularmente o caso na física, onde a invariância de parametrização (ou 'invariância de reparametrização') é um princípio orientador na busca por teorias fisicamente aceitáveis (particularmente na relatividade geral ).
Por exemplo, embora a localização de um ponto fixo em alguma linha curva possa ser dada por um conjunto de números cujos valores dependem de como a curva é parametrizada, o comprimento (apropriadamente definido) da curva entre dois desses pontos fixos será independente de a escolha particular de parametrização (neste caso: o método pelo qual um ponto arbitrário na linha é indexado exclusivamente). O comprimento da curva é, portanto, uma quantidade invariante de parametrização. Nestes casos, a parametrização é uma ferramenta matemática utilizada para extrair um resultado cujo valor não depende ou faz referência aos detalhes da parametrização. De modo mais geral, a invariância de parametrização de uma teoria física implica que a dimensionalidade ou o volume do espaço de parâmetros é maior do que o necessário para descrever a física (as quantidades de significado físico) em questão.
Embora a teoria da relatividade geral possa ser expressa sem referência a um sistema de coordenadas, os cálculos de quantidades físicas (isto é, observáveis), como a curvatura do espaço-tempo, invariavelmente envolvem a introdução de um sistema de coordenadas específico para se referir aos pontos do espaço-tempo envolvidos no cálculo . No contexto da relatividade geral, então, a escolha do sistema de coordenadas pode ser considerada como um método de 'parametrização' do espaço-tempo, e a insensibilidade do resultado de um cálculo de uma quantidade fisicamente significativa para essa escolha pode ser considerada como um exemplo de invariância de parametrização.
Como outro exemplo, teorias físicas cujas quantidades observáveis dependem apenas das distâncias relativas (a razão das distâncias) entre pares de objetos são consideradas invariáveis de escala . Em tais teorias, qualquer referência no curso de um cálculo a uma distância absoluta implicaria na introdução de um parâmetro ao qual a teoria é invariante.
Exemplos
- Superfície do menino
- Parametrização de McCullagh das distribuições de Cauchy
- Parametrização (clima) , a representação paramétrica de modelos de circulação geral e previsão numérica do tempo
- Perfil de esfera isotérmica singular
- Modelo Lambda-CDM , o modelo padrão da cosmologia do Big Bang
Técnicas
Referências
links externos
- Breve descrição da parametrização da Oregon State University , e por que ela é útil, e uma lista de artigos sobre o assunto.
