Amostragem multidimensional - Multidimensional sampling

No processamento digital de sinais , a amostragem multidimensional é o processo de converter uma função de uma variável multidimensional em uma coleção discreta de valores da função medida em um conjunto discreto de pontos. Este artigo apresenta o resultado básico devido a Petersen e Middleton sobre as condições para reconstruir perfeitamente uma função limitada por número de onda a partir de suas medições em uma rede discreta de pontos. Este resultado, também conhecido como teorema de Petersen-Middleton , é uma generalização do teorema de amostragem de Nyquist-Shannon para amostragem de funções unidimensionais de banda limitada para espaços euclidianos de dimensão superior .

Em essência, o teorema de Petersen-Middleton mostra que uma função limitada por número de onda pode ser perfeitamente reconstruída a partir de seus valores em uma rede infinita de pontos, desde que a rede seja fina o suficiente. O teorema fornece condições na rede sob as quais a reconstrução perfeita é possível.

Tal como acontece com o teorema de amostragem de Nyquist-Shannon, este teorema também assume uma idealização de qualquer situação do mundo real, uma vez que se aplica apenas a funções que são amostradas em uma infinidade de pontos. A reconstrução perfeita é matematicamente possível para o modelo idealizado, mas apenas uma aproximação para funções do mundo real e técnicas de amostragem, embora na prática seja frequentemente muito boa.

Preliminares

Fig. 1: Uma rede de amostragem hexagonal e seus vetores de base v ₁ e v ₂${\ displaystyle \ Lambda}$

Fig. 2: A rede recíproca correspondente à rede da Fig. 1 e seus vetores base u ₁ e u ₂ (figura fora da escala). ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Lambda}$

O conceito de uma função limitada por banda em uma dimensão pode ser generalizado para a noção de uma função limitada por número de onda em dimensões superiores. Lembre-se de que a transformada de Fourier de uma função integrável no espaço euclidiano n- dimensional é definida como: ${\ displaystyle f (\ cdot)}$

${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = {\ mathcal {F}} (f) (\ xi) = \ int _ {\ Re ^ {n}} f (x) e ^ {- 2 \ pi i \ langle x, \ xi \ rangle} \, dx}$

onde x e ξ são vetores n- dimensionais e é o produto interno dos vetores. Diz-se que a função é limitada por número de onda a um conjunto se a transformada de Fourier satisfaz para . ${\ displaystyle \ langle x, \ xi \ rangle}$${\ displaystyle f (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = 0}$${\ displaystyle \ xi \ notin \ Omega}$

Da mesma forma, a configuração de pontos de amostragem uniformemente espaçados em uma dimensão pode ser generalizada para uma rede em dimensões superiores. Uma rede é uma coleção de pontos do formulário , onde { v ₁ , ..., v _n } é uma base para . A rede recíproca correspondente a é definida por ${\ displaystyle \ Lambda \ subset \ Re ^ {n}}$${\ displaystyle \ Lambda = \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} v_ {i} \; | \; a_ {i} \ in \ mathbb {Z} \ right \} }$${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Lambda}$

${\ displaystyle \ Gamma = \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} u_ {i} \; | \; a_ {i} \ in \ mathbb {Z} \ right \} }$

onde os vetores são escolhidos para satisfazer . Ou seja, se os vetores formam colunas de uma matriz e as colunas de uma matriz , então . Um exemplo de rede de amostragem no espaço bidimensional é uma rede hexagonal representada na Figura 1. A rede recíproca correspondente é mostrada na Figura 2. A rede recíproca de uma rede quadrada em duas dimensões é outra rede quadrada. No espaço tridimensional, a rede recíproca de uma rede cúbica de face centrada (FCC) é uma rede cúbica de corpo centrado (BCC). ${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle \ langle u_ {i}, v_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle v_ {i}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A = B ^ {- T}}$

O teorema

Deixe denotar uma rede e a rede recíproca correspondente. O teorema de Petersen e Middleton afirma que uma função que é limitada por número de onda a um conjunto pode ser reconstruída exatamente a partir de suas medições, desde que o conjunto não se sobreponha a nenhuma de suas versões deslocadas, onde o deslocamento x é qualquer elemento diferente de zero do recíproco treliça . Em outras palavras, pode ser reconstruído exatamente a partir de suas medições desde que para todos . ${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle f (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Omega \ subset \ Re ^ {n}}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega + x}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle f (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ Omega \ cap \ {x + y: y \ in \ Omega \} = \ emptyset}$${\ displaystyle x \ in \ Gamma \ setminus \ {0 \}}$

Reconstrução

Fig. 3: Suporte do espectro amostrado obtido por amostragem hexagonal de uma função bidimensional com número de onda limitado a um disco circular. O círculo azul representa o suporte do campo original limitado por número de onda e os círculos verdes representam as repetições. Neste exemplo, as repetições espectrais não se sobrepõem e, portanto, não há aliasing. O espectro original pode ser recuperado exatamente do espectro amostrado. ${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {s} (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Omega}$

A generalização da fórmula de soma de Poisson para dimensões mais altas pode ser usada para mostrar que as amostras,, da função na rede são suficientes para criar uma soma periódica da função . O resultado é: ${\ displaystyle \ {f (x): x \ in \ Lambda \}}$${\ displaystyle f (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ cdot)}$

${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {s} (\ xi) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ sum _ {y \ in \ Gamma} {\ hat {f}} \ left (\ xi -y \ right) = \ sum _ {x \ in \ Lambda} | \ Lambda | f (x) \ e ^ {- i2 \ pi \ langle x, \ xi \ rangle},}$

( Eq.1 )

onde representa o volume do paralelepípedo formado pelos vetores { v ₁ , ..., v _n }. Esta função periódica é freqüentemente referida como o espectro amostrado e pode ser interpretada como o análogo da transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT) em dimensões superiores. Se o espectro limitado por número de onda original é suportado no conjunto, então a função é suportada em repetições periódicas de pontos deslocados na rede recíproca . Se as condições do teorema de Petersen-Middleton forem satisfeitas, a função será igual a para todos e, portanto, o campo original pode ser reconstruído exatamente a partir das amostras. Neste caso, o campo reconstruído corresponde ao campo original e pode ser expresso em termos de amostras como ${\ displaystyle | \ Lambda |}$${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {s} (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {s} (\ xi)}$${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi)}$${\ displaystyle \ xi \ in \ Omega}$

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {y \ in \ Lambda} | \ Lambda | f (y) {\ check {\ chi}} _ {\ Omega} (yx)}$ ,

( Eq.2 )

onde é a transformada de Fourier inversa da função característica do conjunto . Esta fórmula de interpolação é o equivalente dimensional superior da fórmula de interpolação de Whittaker-Shannon . ${\ displaystyle {\ check {\ chi}} _ {\ Omega} (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Omega}$

Como exemplo, suponha que seja um disco circular. A Figura 3 ilustra o suporte de quando as condições do teorema de Petersen-Middleton são atendidas. Vemos que as repetições espectrais não se sobrepõem e, portanto, o espectro original pode ser recuperado com exatidão. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {s} (\ cdot)}$

Implicações

Aliasing

Fig. 4: Suporte do espectro amostrado obtido por amostragem hexagonal de uma função bidimensional com número de onda limitado a um disco circular. Neste exemplo, a estrutura de amostragem não é fina o suficiente e, portanto, os discos se sobrepõem no espectro amostrado. Assim, o espectro dentro representado pelo círculo azul não pode ser recuperado exatamente devido à sobreposição das repetições (mostradas em verde), levando ao aliasing. ${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {s} (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Omega}$

Fig. 5: Aliasing espacial na forma de um padrão Moiré .

Fig. 6: Amostra adequada de imagem de parede de tijolos.

O teorema fornece condições em redes de amostragem para uma reconstrução perfeita do amostrado. Se as redes não são finas o suficiente para satisfazer a condição de Petersen-Middleton, então o campo não pode ser reconstruído exatamente a partir das amostras em geral. Nesse caso, dizemos que as amostras podem ter um alias . Novamente, considere o exemplo em que é um disco circular. Se as condições de Petersen-Middleton não se mantiverem, o suporte do espectro amostrado será como mostrado na Figura 4. Nesse caso, as repetições espectrais se sobrepõem, levando ao aliasing na reconstrução. ${\ displaystyle \ Omega}$

Uma ilustração simples de aliasing pode ser obtida estudando imagens de baixa resolução. Uma imagem em escala de cinza pode ser interpretada como uma função no espaço bidimensional. Um exemplo de aliasing é mostrado nas imagens de padrões de tijolos na Figura 5. A imagem mostra os efeitos do aliasing quando a condição do teorema de amostragem não é satisfeita. Se a rede de pixels não for fina o suficiente para a cena, o aliasing ocorrerá conforme evidenciado pelo aparecimento do padrão Moiré na imagem obtida. A imagem na Figura 6 é obtida quando uma versão suavizada da cena é amostrada com a mesma rede. Nesse caso, as condições do teorema são satisfeitas e não ocorre aliasing.

SP Efimov da Bauman Moscow State Technical University em 1978 y. encontrou uma abordagem para aliviar as restrições para o domínio do espectro. Ele considerou N reticulados de amostragem idênticos a serem deslocados arbitrariamente entre si. A amostragem ótima é válida para o domínio do espectro cujas versões deslocadas são compactadas N vezes na rede recíproca. Portanto, o anel pode ser sobreposto por um conjunto de hexágonos em vez de um. O conjunto de telescópios JWST consiste em 18 hexágonos. A amostragem em 18 redes deslocadas é possível para a transformada de Fourier 2-d do sinal da matriz (ou seja, para o sinal emitido).

Redes de amostragem ideais

Um dos objetos de interesse ao projetar um esquema de amostragem para campos com número de onda limitado é identificar a configuração de pontos que leva à densidade mínima de amostragem, ou seja, a densidade de pontos de amostragem por unidade de volume espacial em . Normalmente, o custo para tirar e armazenar as medições é proporcional à densidade de amostragem empregada. Freqüentemente, na prática, a abordagem natural para amostrar campos bidimensionais é amostrá-los em pontos em uma rede retangular . No entanto, nem sempre essa é a escolha ideal em termos de densidade de amostragem. O teorema de Petersen e Middleton pode ser usado para identificar a rede ótima para campos de amostragem que são limitados por número de onda a um determinado conjunto . Por exemplo, pode-se mostrar que a rede com densidade espacial mínima de pontos que admite reconstruções perfeitas de campos em número de onda limitado a um disco circular é a rede hexagonal. Como consequência, redes hexagonais são preferidas para amostragem de campos isotrópicos em . ${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$${\ displaystyle \ Omega \ subset \ Re ^ {d}}$${\ displaystyle \ Re ^ {2}}$${\ displaystyle \ Re ^ {2}}$${\ displaystyle \ Re ^ {2}}$

Redes ótimas de amostragem foram estudadas em dimensões superiores. Geralmente, as redes de empacotamento de esferas ideais são ideais para a amostragem de processos estocásticos suaves, enquanto as redes de cobertura de esferas ideais são ideais para a amostragem de processos estocásticos ásperos.

Visto que redes ótimas, em geral, são indissociáveis, projetar filtros de interpolação e reconstrução requer mecanismos de projeto de filtro não tensor-produto (ou seja, não separáveis). As ranhuras em caixa fornecem uma estrutura flexível para projetar tais filtros FIR de reconstrução não separáveis que podem ser geometricamente ajustados para cada rede. Hex-splines são a generalização de B-splines para redes hexagonais 2-D. Da mesma forma, em dimensões 3-D e superiores, os splines Voronoi fornecem uma generalização dos splines B que podem ser usados ​​para projetar filtros FIR não separáveis ​​que são geometricamente ajustados para qualquer rede, incluindo redes ótimas.

A construção explícita de filtros passa-baixa ideais (isto é, funções sinc ) generalizados para redes ótimas é possível estudando as propriedades geométricas das zonas de Brillouin (isto é, acima) dessas redes (que são zonótopos ). Esta abordagem fornece uma representação explícita de forma fechada de para redes gerais, incluindo redes de amostragem ideais. Esta construção fornece uma generalização do filtro Lanczos em 1-D para a configuração multidimensional para redes ótimas. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ check {\ chi}} _ {\ Omega} (\ cdot)}$

Formulários

O teorema de Petersen-Middleton é útil no projeto de estratégias eficientes de posicionamento de sensores em aplicações que envolvem medição de fenômenos espaciais, como levantamentos sísmicos, monitoramento de ambiente e medições de campo de áudio espacial.

Referências