Arytmetyka werbalna - Verbal arithmetic

Werbalne arytmetyka , znany również jako alphametics , cryptarithmetic , cryptarithm lub dodanie słowa , to rodzaj gry matematycznej obejmującej matematycznego równania wśród nieznanych numerów , których cyfry są reprezentowane przez litery alfabetu. Celem jest określenie wartości każdej litery. Nazwę można rozszerzyć na łamigłówki, w których zamiast liter używane są symbole niealfabetyczne.

Równanie jest zwykle podstawową operacją arytmetyczną , taką jak dodawanie , mnożenie lub dzielenie . Klasycznym przykładem, opublikowanym w lipcowym numerze Strand Magazine przez Henry'ego Dudeneya z lipca 1924 roku , jest:

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} i {\ tekst {S}} i {\ tekst {E}} i {\ tekst {N}} i {\ tekst {D}} \ \ + & & {\ tekst {M }}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text{M}}&{\text{O}}&{\ tekst{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{macierz}}}$

Rozwiązaniem tej zagadki jest O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8 i S = 9.

Tradycyjnie każda litera powinna reprezentować inną cyfrę i (jako zwykły zapis arytmetyczny) cyfra wiodąca liczby wielocyfrowej nie może być zerem. Dobra łamigłówka powinna mieć unikalne rozwiązanie, a litery powinny układać się w frazę (jak w powyższym przykładzie).

Werbalne arytmetyka może być przydatna jako źródło motywacji i ćwiczeń w nauczaniu z algebry .

Historia

Zagadki kryptarytmiczne są dość stare, a ich wynalazca jest nieznany. Przykład z 1864 r. w The American Agriculturist obala popularny pogląd, że został on wynaleziony przez Sama Loyda . Nazwa „kryptarytm” została wymyślona przez łamigłówkę Minosa (pseudonim Simona Vatriquanta ) w majowym numerze Sphinx, belgijskiego magazynu matematyki rekreacyjnej z maja 1931 r., i została przetłumaczona jako „kryptarytmetyka” przez Maurice'a Kraitchika w 1942 r. W 1955 r. JAH Hunter przedstawił słowo „alfametyczny” oznaczające kryptarytmy, takie jak Dudeney, którego litery tworzą znaczące słowa lub frazy.

Rodzaje kryptorytmów

Rodzaje kryptarytmów obejmują podział alfametyczny, cyfrowy i szkieletowy.

Alfametyczny: Rodzaj kryptarytmu, w którym zestaw słów jest zapisywany w postaci długiej sumy dodawania lub innego problemu matematycznego. Celem jest zastąpienie liter alfabetu cyframi dziesiętnymi, aby uzyskać poprawną sumę arytmetyczną.
Digimetyka: Kryptarytm, w którym cyfry są używane do reprezentowania innych cyfr.

Podział szkieletowy: Długi podział, w którym większość lub wszystkie cyfry są zastępowane symbolami (zwykle gwiazdkami), aby utworzyć kryptarytm.
Odwrotna kryptarytm: Rzadka odmiana, w której zapisana jest formuła, a rozwiązaniem jest odpowiedni kryptarytm, którego rozwiązaniem jest podana formuła.

Rozwiązywanie kryptorytmów

Ręczne rozwiązywanie kryptorytmu zwykle obejmuje kombinację dedukcji i wyczerpujących testów możliwości. Na przykład następująca sekwencja dedukcji rozwiązuje powyższą łamigłówkę Dudeneya WYŚLIJ + WIĘCEJ = PIENIĄDZE (kolumny są ponumerowane od prawej do lewej):

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} i {\ tekst {S}} i {\ tekst {E}} i {\ tekst {N}} i {\ tekst {D}} \ \ + & & {\ tekst {M }}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text{M}}&{\text{O}}&{\ tekst{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{macierz}}}$

Z kolumny 5, M = 1, ponieważ jest to jedyne możliwe przeniesienie z sumy dwóch liczb jednocyfrowych w kolumnie 4.
Ponieważ w kolumnie 5 występuje przeniesienie, O musi być mniejsze lub równe M (z kolumny 4). Ale O nie może być równe M, więc O jest mniejsze od M. Zatem O = 0 .
Ponieważ O jest o 1 mniejsze niż M, S wynosi 8 lub 9 w zależności od tego, czy w kolumnie 4 jest przeniesienie. Ale gdyby w kolumnie 4 było przeniesienie, N byłoby mniejsze lub równe O (z kolumny 3). Jest to niemożliwe, ponieważ O = 0. Dlatego nie ma przeniesienia w kolumnie 3 i S = 9 .
Gdyby w kolumnie 3 nie było przeniesienia, to E = N, co jest niemożliwe. Dlatego istnieje przeniesienie i N = E + 1.
Gdyby nie było przeniesienia w kolumnie 2, wtedy (N + R) mod 10 = E i N = E + 1, więc (E + 1 + R) mod 10 = E, co oznacza (1 + R) mod 10 = 0 , więc R = 9. Ale S = 9, więc musi być przeniesienie w kolumnie 2, więc R = 8 .
Aby wytworzyć przeniesienie w kolumnie 2, musimy mieć D + E = 10 + Y.
Y wynosi co najmniej 2, więc D + E wynosi co najmniej 12.
Jedyne dwie pary dostępnych liczb, które sumują się do co najmniej 12, to (5,7) i (6,7), więc albo E = 7, albo D = 7.
Ponieważ N = E + 1, E nie może wynosić 7, ponieważ wtedy N = 8 = R, więc D = 7 .
E nie może wynosić 6, ponieważ wtedy N = 7 = D, więc E = 5 i N = 6 .
D + E = 12, więc Y = 2 .

Inny przykład TO+GO=OUT (źródło jest nieznane):

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} i & {\ tekst {T}} i {\ tekst {O}} \ \ + & & {\ tekst {G}} i {\ tekst {O}} \ \ \ hline =& {\text{O}}&{\text{U}}&{\text{T}}\\\end{macierz}}}$

Suma dwóch największych liczb dwucyfrowych wynosi 99+99=198. Czyli O=1 i jest przeniesienie w kolumnie 3.
Ponieważ kolumna 1 znajduje się po prawej stronie wszystkich innych kolumn, niemożliwe jest, aby miała ona przeniesienie. Dlatego 1+1=T, a T=2 .
Ponieważ kolumna 1 została obliczona w ostatnim kroku, wiadomo, że nie ma przeniesienia w kolumnie 2. Ale wiadomo również, że w pierwszym kroku jest przeniesienie w kolumnie 3. Zatem 2+G≥10. Jeśli G jest równe 9, U równałoby się 1, ale jest to niemożliwe, ponieważ O również równa się 1. Zatem możliwe jest tylko G=8 i przy 2+8=10+U, U=0 .

Często pomaga zastosowanie arytmetyki modularnej . Na przykład użycie arytmetyki mod-10 pozwala na traktowanie kolumn problemu dodawania jako równoczesnych równań , podczas gdy użycie arytmetyki mod-2 pozwala na wnioskowanie oparte na parzystości zmiennych.

W informatyce , cryptarithms zapewnić dobre przykłady ilustrują brute force sposobu oraz algorytmy, które wytwarzają wszystkie permutacje o m opcji, z n możliwości. Na przykład powyższą zagadkę Dudeneya można rozwiązać, testując wszystkie przypisania ośmiu wartości między cyframi od 0 do 9 do ośmiu liter S,E,N,D,M,O,R,Y, co daje 1814400 możliwości. Dostarczają również dobrych przykładów dla paradygmatu wstecznego projektowania algorytmów .

Inne informacje

Kiedy uogólnimy na dowolne bazy, problem ustalenia, czy kryptarytm ma rozwiązanie, jest NP-zupełny . (Uogólnienie jest konieczne do uzyskania wyniku twardości, ponieważ w bazie 10 jest tylko 10! możliwych przyporządkowań cyfr do liter, które można porównać z układanką w czasie liniowym.)

Alfametyka może być łączona z innymi łamigłówkami liczbowymi, takimi jak Sudoku i Kakuro, aby stworzyć zagadkowe Sudoku i Kakuro .

Najdłuższa alfametyka

Anton Pavlis skonstruował alfametykę w 1983 roku z 41 dodatkami:

TAK + WIELE + WIĘCEJ + MĘŻCZYZN + WYDAJ SIĘ + POWIEDZ + TO +

ONI+MOGĄ+WKRÓTCE+WYPRÓBUJ+BY+ZOSTAĆ+W+DOMU+

TAK + JAK + ABY + ZOBACZYĆ + LUB + USŁYSZYĆ + TEGO SAMEGO + JEDNEGO +

MĘŻCZYZNA+SPRÓBUJ+POZNAJ+TE+ZESPÓŁ+NA+NA+

KSIĘŻYC + JAK + ON + MA + AT + THE + INNE + DZIESIĘĆ

=TESTY

(Odpowiedź brzmi: TRANHYSMOE=9876543210.)

Zobacz też

Równanie diofantyczne
Zagadki matematyczne
Permutacja
Puzzle
Sideways Arithmetic From Wayside School – książka, której fabuła kręci się wokół tych zagadek

Bibliografia

Martin Gardner , Matematyka, magia i tajemnica . Dover (1956)
Dziennik Matematyki Rekreacyjnej miał regularną kolumnę alfametyczną.
Jack van der Elsen, Alfametyka . Maastricht (1998)
Kahan S., Masz kilka sum do rozwiązania: Kompletna książka o alfametyce, Baywood Publishing, (1978)
Brooke M. Sto i pięćdziesiąt zagadek w arytmetyce kryptowalut. Nowy Jork: Dover, (1963)
Hitesh Tikamchand Jain, ABC Kryptarytmetyki/Alfametyki. Indie(2017)

Languages

In other projects