Zero końcowe - Trailing zero

W matematyce , końcowe zera są sekwencję 0 w dziesiętnych reprezentacji (lub, bardziej ogólnie, w dowolnej reprezentacji pozycyjnej ) numeru, po której nie ma innych cyfry naśladowania.

Końcowe zera po prawej stronie przecinka dziesiętnego , jak w 12.3400, nie wpływają na wartość liczby i można je pominąć, jeśli interesuje nas tylko jej wartość liczbowa. Dzieje się tak nawet wtedy, gdy zera powtarzają się w nieskończoność . Na przykład w farmacji zera kończące są pomijane w wartościach dawek , aby zapobiec błędnemu odczytaniu. Jednak końcowe zera mogą być przydatne do wskazywania liczby cyfr znaczących , na przykład w pomiarze. W takim kontekście „upraszczanie” liczby poprzez usuwanie końcowych zer byłoby niepoprawne.

Liczba końcowych zer w niezerowej liczbie całkowitej o podstawie b n jest równa wykładnikowi największej potęgi b, która dzieli n . Na przykład liczba 14000 ma trzy zera na końcu i dlatego można ją podzielić przez 1000 = 10 ³ , ale nie przez 10 ⁴ . Ta właściwość jest przydatna podczas wyszukiwania małych współczynników w rozkładzie liczb całkowitych . Niektóre architektury komputerów mają operację zliczania końcowych zer w swoim zestawie instrukcji w celu wydajnego określania liczby końcowych bitów zerowych w słowie maszynowym.

Factorial

Liczba zer w reprezentacji dziesiętnej z n ! The czynnikowe z nieujemną liczbę całkowitą N , jest po prostu krotność główny czynnik 5 w N !. Można to określić za pomocą tego szczególnego przypadku wzoru de Polignaca :

${\ Displaystyle f (n) = \ suma _ {i = 1} ^ {k} \ lewo \ lfloor {\ Frac {n} {5 ^ {i}}} \ prawo \ rfloor = \ lewo \ lfloor {\ frac {n} {5}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {n} {5 ^ {2}}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {n} {5 ^ {3 }}} \ right \ rfloor + \ cdots + \ left \ lfloor {\ frac {n} {5 ^ {k}}} \ right \ rfloor, \,}$

gdzie k musi być tak dobrane, że

${\ Displaystyle 5 ^ {k + 1}> n, \,}$

dokładniej

${\ displaystyle 5 ^ {k} \ leq n <5 ^ {k + 1},}$

${\ Displaystyle k = \ lewo \ lfloor \ log _ {5} n \ prawo \ rfloor,}$

i oznacza funkcję podłogi stosowane do . Dla n  = 0, 1, 2, ... to jest ${\ displaystyle \ lfloor a \ rfloor}$

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, ... (sekwencja A027868 w OEIS ).

Na przykład 5 ³  > 32, a zatem 32! = 263130836933693530167218012160000000 kończy się na

${\ Displaystyle \ lewo \ lfloor {\ Frac {32} {5}} \ prawo \ rfloor + \ lewo \ lfloor {\ Frac {32} {5 ^ {2}}} \ prawo \ rfloor = 6 + 1 = 7 \,}$

zera. Jeśli n  <5, nierówność jest spełniona przez k  = 0; w takim przypadku suma jest pusta , dając odpowiedź 0.

Formuła w rzeczywistości liczy czynniki 5 w n !, Ale ponieważ jest co najmniej tyle samo czynników 2, jest to równoważne liczbie czynników 10, z których każdy daje jeszcze jedno końcowe zero.

Definiowanie

${\ Displaystyle q_ {i} = \ lewo \ lfloor {\ Frac {n} {5 ^ {i}}} \ prawo \ rfloor, \,}$

zachodzi następująca relacja powtarzalności :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} q_ {0} \, \, \, \, \, & = \, \, \, n, \ quad \\ q_ {i + 1} i = \ lewo \ lfloor { \ frac {q_ {i}} {5}} \ right \ rfloor. \, \ end {aligned}}}$

Można to wykorzystać do uproszczenia obliczeń warunków sumowania, które można zatrzymać, gdy tylko q  _i osiągnie zero. Warunek 5 ^{k +1} > n jest równoważny q _{k +1} = 0.  

Zobacz też

• Wiodące zero
• Cyfra końcowa

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Dlaczego końcowe zera ułamkowe są ważne? dla niektórych przykładów, kiedy końcowe zera są znaczące
• Liczba końcowych zer dla dowolnego programu silniowego w języku Python do obliczenia liczby końcowych zer dla dowolnej silni