Redukcyjna podwójna para - Reductive dual pair

W zakresie matematycznym teorii reprezentacji , A Redukcyjne podwójna para jest parą z podgrup ( G , G ') w grupie izometrii SP ( W ) z symplektyczna przestrzeń wektorową W taki sposób, że G jest centrujące z G ' w (SP w ), i vice versa, a te grupy działają redukująco na w . Nieco luźniej mówi się o podwójnej parze, ilekroć dwie grupy są wzajemnymi centralizatorami w większej grupie, która często jest ogólną grupą liniową . Koncepcja została wprowadzona przez Rogera Howe'a w Howe (1979) . Jej silne powiązania z klasyczną teorią niezmienników omówiono w Howe (1989a) .

Przykłady

  • Pełna grupa symplektyczna G  = Sp ( W ) i dwuelementowa grupa G ′, środek Sp ( W ), tworzą redukcyjną parę podwójną. Właściwość podwójnej centralizatora jest jasna ze sposobu, w jaki te grupy zostały zdefiniowane: centralizator grupy G w G jest jej centrum, a centralizatorem centrum dowolnej grupy jest sama grupa. Grupa G ′ składa się z transformacji tożsamości i jej negatywu i może być interpretowana jako ortogonalna grupa jednowymiarowej przestrzeni wektorowej. Jak wynika z późniejszych rozwoju teorii, że ta para jest pierwszym przykładem ogólnej rodziny podwójnych par składających się z symplektyczna grupy i prostopadłym grupy, które są znane jako typ I nieredukowalnych redukcyjnego podwójnej pary .
  • Niech X być n wymiarową przestrzeń wektor Y jest jej podwójne , a W jest bezpośredni suma z X i Y . Następnie W można przekształcić w symplektyczną przestrzeń wektorową w naturalny sposób, tak że ( X , Y ) jest polaryzacją lagrangianu. Grupa G jest ogólnie grupa liniowa GL ( X ), który działa na tautologicznie X i contragrediently na Y . Centralizatorem G w grupie symplektycznej jest grupa G ′, składająca się z operatorów liniowych na W, które działają na X przez pomnożenie przez niezerowy skalar λ, a na Y przez mnożenie przez skalar przez jego odwrotność λ −1 . Wtedy centralizatorem G 'jest G , te dwie grupy działają całkowicie redukcyjnie na W , a zatem tworzą redukcyjną parę podwójną. Grupę G ′ można interpretować jako ogólną grupę liniową jednowymiarowej przestrzeni wektorowej. Ta para jest członkiem rodziny podwójnych par składających się z ogólnych grup liniowych znanych jako nieredukowalne redukcyjne pary podwójne typu II .

Teoria i klasyfikacja struktury

Pojęcie redukcyjnej pary podwójnej ma sens dla każdego pola F , które, jak zakładamy, jest ustalone w całym tekście. Tak więc W jest symplektycznych miejsca wektora przez F .

Jeśli W 1 i W 2 są dwoma symplektycznymi przestrzeniami wektorowymi, a ( G 1 , G ′ 1 ), ( G 2 , G ′ 2 ) są dwiema redukcyjnymi podwójnymi parami w odpowiednich grupach symplektycznych, to możemy utworzyć nową symplektyczną przestrzeń wektorową W = W 1 ⊕ W 2 i para grup G = G 1 × G 2 , G ′ = G ′ 1 × G ′, 2 działające na W przez izometrie. Okazuje się, że ( G , G ′) jest redukcyjną parą podwójną. Redukcyjna para podwójna nazywana jest redukowalną, jeśli można ją uzyskać w ten sposób z mniejszych grup, a nieredukowalną w inny sposób. Parę redukowalną można rozłożyć na bezpośredni iloczyn par nieredukowalnych i z wielu powodów wystarczy ograniczyć uwagę do przypadku nieredukowalnego.

Kilka klas redukcyjnych par podwójnych pojawiło się wcześniej w pracy André Weila . Roger Howe udowodnił twierdzenie klasyfikacyjne, które stwierdza, że ​​w przypadku nieredukowalnym pary te wyczerpują wszystkie możliwości. Mówi się, że nieredukowalna redukcyjna podwójna para ( G , G ′) w Sp ( W ) jest typu II, jeśli istnieje lagranżowska podprzestrzeń X w W, która jest niezmienna zarówno pod G, jak i G ′, a typu I w przeciwnym razie.

Archetypowa nieredukowalna redukcyjna podwójna para typu II składa się z pary ogólnych grup liniowych i powstaje w następujący sposób. Niech U i V będą dwoma przestrzeniami wektorowymi nad F , X = U ⊗ F V będzie ich iloczynem tensorowym, a Y = Hom F ( X , F ) jego dualnością . Wówczas suma bezpośrednia W = X ⊕ Y może być wyposażona w postać symplektyczną taką, że X i Y są podprzestrzeniami lagranżowskimi, a ograniczenie postaci symplektycznej do X × Y ⊂ W × W pokrywa się z parowaniem przestrzeni wektorowej X i jego podwójny Y . Jeśli G  = GL ( U ) i G ′ = GL ( V ), to obie te grupy działają liniowo na X i Y , działania zachowują formę symplektyczną na W , a ( G , G ′) jest nieredukowalną redukcyjną parą podwójną. Zauważ, że X jest niezmienną podprzestrzenią lagranżowską, stąd ta podwójna para jest typu II.

Archetypowa nieredukowalna redukcyjna para dualna typu I składa się z grupy ortogonalnej i grupy symplektycznej i jest zbudowana analogicznie. Niech U będzie ortogonalną przestrzenią wektorową, a V będzie symplektyczną przestrzenią wektorową nad F , a W = U ⊗ F V będzie ich iloczynem tensorowym. Kluczową obserwacją jest to, że W jest symplektyczną przestrzenią wektorową, której dwuliniową postać uzyskuje się z iloczynu form na czynnikach tensorowych. Ponadto, jeśli G  = O ( U ), a G '= SP ( V ) są grupy Izometria z U i V , a działają one w W w naturalny sposób, że działania te są symplektycznych oraz ( G , G ') jest nieredukowalna redukcyjna podwójna para typu I.

Te dwie konstrukcje wytwarzają wszystkie nieredukowalnych redukcyjnego podwójne pary nad algebraicznie zamkniętym obszarze F , takich jak pole C o liczbach zespolonych . Ogólnie rzecz biorąc, można zastąpić przestrzenie wektorowe nad F przestrzeniami wektorowymi w algebrze dzielenia D nad F i postępować podobnie jak powyżej, aby skonstruować nieredukowalną redukcyjną podwójną parę typu II. Dla typu I zaczyna się od algebry dzielenia D z inwolucją τ, formą pustelniczą na U i formą skośno-pustelniczą na V (oba nie są zdegenerowane) i tworzy ich iloczyn tensorowy nad D , W = U ⊗ D V . Wtedy W jest naturalnie wyposażone w strukturę symplektycznej przestrzeni wektorowej nad F , grupy izometryczne U i V działają symplektycznie na W i tworzą nieredukowalną redukcyjną podwójną parę typu I. Roger Howe udowodnił, że aż do izomorfizmu, każdy nieredukowalny W ten sposób powstaje para podwójna. Wyraźna lista dla przypadku F  =  R pojawia się w Howe (1989b) .

Zobacz też

Bibliografia

  • Howe, Roger E. (1979), „seria θ i teoria niezmienników” (PDF) , w: Borel, Armand ; Casselman, W. (red.), Formy automorficzne, reprezentacje i funkcje L (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Część 1 , Proc. Natl. Sympos. Pure Math., XXXIII, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 275–285, ISBN   978-0-8218-1435-2 , MR   0546602
  • Howe, Roger E. (1989a), „Uwagi o klasycznej teorii niezmiennej”, Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 313 (2): 539–570, doi : 10.2307 / 2001418 , JSTOR   2001418 .
  • Howe, Roger E. (1989b), „Transcending classical invariant teoria”, Journal of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 2 (3): 535–552, doi : 10.2307 / 1990942 , JSTOR   1990942 .
  • Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Representations and Invariants of the Classical Groups , Cambridge University Press, ISBN   0-521-66348-2 .