Korelacja rang - Rank correlation

W statystykach , A korelacja ranga jest jedną z kilku statystyk, które zmierzyć porządkowej asocjacji -The zależność pomiędzy ocenami różnych porządkowych zmiennych lub różnych rankingach tej samej zmiennej, gdzie „rankingu” jest przypisanie etykiet zamawiania „pierwszy”, " drugi”, „trzeci” itd. na różne obserwacje danej zmiennej. Współczynnik korelacji rang mierzy stopień podobieństwa między dwiema ocenami, i mogą być wykorzystane do oceny znaczenia relacji między nimi. Na przykład dwie popularne nieparametryczne metody istotności, które wykorzystują korelację rang, to test U Manna–Whitneya i test rang ze znakiem Wilcoxona .

Kontekst

Jeśli, na przykład, jedna zmienna jest tożsamością szkolnego programu koszykówki, a inna zmienna jest tożsamością szkolnego programu piłkarskiego, można przetestować związek między rankingami w sondażach dwóch typów programów: czy uczelnie z wyższym rankingowy program koszykówki ma zwykle wyższą rangę programu piłkarskiego? Współczynnik korelacji rang może zmierzyć tę relację, a miara istotności współczynnika korelacji rang może pokazać, czy mierzona relacja jest na tyle mała, że ​​prawdopodobnie jest zbiegiem okoliczności.

Jeśli istnieje tylko jedna zmienna, tożsamość programu uniwersyteckiego futbolu, ale podlega on dwóm różnym rankingom ankiet (powiedzmy, jednemu przez trenerów, a drugiemu przez dziennikarzy sportowych), wówczas podobieństwo dwóch różnych rankingów w sondażach można zmierzyć za pomocą współczynnik korelacji rang.

Jako inny przykład, w tabeli kontyngencji z niskimi dochodami , średnimi dochodami i wysokimi dochodami w wierszu zmienna i poziom wykształcenia — brak szkoły średniej , liceum , uniwersytet — zmienna w kolumnie), korelacja rang mierzy związek między poziom edukacji.

Współczynniki korelacji

Niektóre z bardziej popularnych statystyk korelacji rang obejmują

1. ρ . Spearmana
2. τ . Kendalla
3. γ . Goodmana i Kruskala
4. D . Somersa

Rosnący współczynnik korelacji rang oznacza rosnącą zgodność między rankingami. Współczynnik mieści się w przedziale [-1, 1] i przyjmuje wartość:

• 1 jeśli zgodność między dwoma rankingami jest doskonała; oba rankingi są takie same.
• 0 jeśli rankingi są całkowicie niezależne.
• -1 jeśli niezgodność między dwoma rankingami jest doskonała; jeden ranking jest odwrotnością drugiego.

W następstwie Diaconis (1988) , A rankingu mogą być postrzegane jako permutacji z zestawu przedmiotów. W ten sposób możemy spojrzeć na obserwowane rankingi jako dane uzyskane, gdy przestrzeń próbki jest (utożsamiana z) grupą symetryczną . Następnie możemy wprowadzić metrykę , zmieniając grupę symetryczną w przestrzeń metryczną . Różne metryki będą odpowiadać różnym korelacjom rang.

Ogólny współczynnik korelacji

Kendall 1970 wykazał, że jego (tau) i Spearmana (rho) są szczególnymi przypadkami ogólnego współczynnika korelacji. ${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ rho}$

Załóżmy, że mamy zbiór obiektów, które są rozważane w odniesieniu do dwóch właściwości, reprezentowanych przez i , tworzących zbiory wartości i . Każdej parze indywiduów powiedzmy, że -ty i -ty przypisujemy -punktację, oznaczoną przez , oraz -punktację, oznaczoną przez . Jedynym wymogiem dla tych funkcji jest to, aby były antysymetryczne, więc i . (Zauważ, że w szczególności jeśli .) Wtedy uogólniony współczynnik korelacji jest definiowany jako ${\ Displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\ Displaystyle \ {x_ {i} \} _ {i \ leq n}}$${\ Displaystyle \ {y_ {i} \} _ {i \ leq n}}$${\displaystyle i}$${\ Displaystyle j}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle b_{ij}}$${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}}$${\displaystyle b_{ij}=-b_{ji}}$${\ Displaystyle a_ {ij} = b_ {ij} = 0}$${\displaystyle i=j}$${\ Displaystyle \ Gamma}$

${\ Displaystyle \ Gamma = {\ Frac {\ suma _ {i, j = 1} ^ {n} a_ {ij} b_ {ij}} {\ sqrt {\ suma _ {i, j = 1} ^ {n }a_{ij}^{2}\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}^{2}}}}}$

Równoważnie, jeśli wszystkie współczynniki są zebrane w macierze i , z i , to ${\ Displaystyle A = (a_ {ij})}$${\ Displaystyle B = (b_ {ij})}$${\ Displaystyle A ^ {\ textsf {T}} = - A}$${\ Displaystyle B ^ {\ textsf {T}} = - B}$

${\ Displaystyle \ Gamma = {\ Frac {\ langle A, B \ rangle _ {\ rm {f}}} {\ | A \ | _ {\ rm {f}} \ | B \ | _ {\ rm { FA}}}}}$

gdzie jest wewnętrzny produkt Frobeniusa i normą Frobeniusa . W szczególności ogólny współczynnik korelacji jest cosinusem kąta między macierzami i . ${\ Displaystyle \ langle A, B \ rangle _ {\ rm {F}}}$${\ Displaystyle \ | A \ | _ {\ rm {F}} = {\ sqrt {\ langle A, A \ rangle _ {\ rm {F}}}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

Kendall jako szczególny przypadek${\ Displaystyle \ tau}$

Jeżeli , są rangami -członka według odpowiednio -jakości i -jakości, to możemy zdefiniować ${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\ Displaystyle a_ {ij} = \ operatorname {sgn} (r_ {j}-r_ {i}), \ quad b_ {ij} = \ operatorname {sgn} (s_ {j}-s_ {i}).}$

Suma to liczba zgodnych par minus liczba niezgodnych par (patrz współczynnik korelacji rang tau Kendalla ). Suma to tylko liczba terminów , jaka jest . Tak więc w tym przypadku ${\ Displaystyle \ suma a_ {ij} b_ {ij}}$${\ Displaystyle \ suma a_ {ij} ^ {2}}$${\displaystyle n(n-1)/2}$${\displaystyle a_{ij}}$${\ Displaystyle \ suma b_ {ij} ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ Gamma = {\ Frac {2 \, (({\ tekst {liczba par zgodnych}}) - ({\ tekst {liczba par niezgodnych}}))} {n (n-1)}} ={\text{Kendalla }}\tau }$

Spearman jako szczególny przypadek${\ Displaystyle \ rho}$

Jeśli , są rangami -członka zgodnie z odpowiednio i -jakością, możemy po prostu zdefiniować ${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle a_{ij}=r_{j}-r_{i}}$

${\displaystyle b_{ij}=s_{j}-s_{i}}$

Sumy i są równe, ponieważ oba i wahają się od do . Potem będzie: ${\ Displaystyle \ suma a_ {ij} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ suma b_ {ij} ^ {2}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ Gamma = {\ Frac {\ suma (r_ {j}-r_ {i}) (s_ {j}-s_ {i})} {\ suma (r_ {j} -r_ {i}) ^ {2}}}}$

teraz

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ suma _ {i, j = 1} ^ {n} (r_ {j} -r_ {i}) (s_ {j} -s_ {i}) i = \ suma _ {i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}r_{i}s_{i}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1} ^{n}r_{j}s_{j}&-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}r_{i}s_{j}-\sum _ {i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}r_{j}s_{i}\\&=2n\sum _{i=1}^{n}r_{i} s_{i}&-2\sum _{i=1}^{n}r_{i}\sum _{j=1}^{n}s_{j}\\&=2n\sum _{i= 1}^{n}r_{i}s_{i}&-2({\frac {1}{2}}n(n+1))^{2}\\&=2n\sum _{i= 1}^{n}r_{i}s_{i}-{\frac {1}{2}}n^{2}(n+1)^{2}\\\end{wyrównany}}}$

Mamy też

${\ Displaystyle S = \ suma _ {i = 1} ^ {n} (r_ {i}-s_ {i}) ^ {2} = 2 \ suma r_ {i} ^ {2} -2 \ suma r_ { ja}s_{i}}$

i stąd

${\ Displaystyle \ suma (r_ {j} -r_ {i}) (s_ {j} - s_ {i}) = 2n \ suma r_ {i} ^ {2} - {\ Frac {1} {2}} n^{2}(n+1)^{2}-nS}$

${\ Displaystyle \ suma r_ {i} ^ {2}}$będąc sumą kwadratów pierwszych naturalnych równa się . Zatem ostatnie równanie redukuje się do ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {6}} n (n + 1) (2n + 1)}$

${\ Displaystyle \ suma (r_ {j}-r_ {i}) (s_ {j}-s_ {i}) = {\ Frac {1} {6}} n ^ {2} (n ^ {2}- 1)-nS}$

Dalej

${\ Displaystyle \ suma (r_ {j} -r_ {i}) ^ {2} = 2n \ suma r_ {i} ^ {2} -2 \ suma r_ {i} r_ {j}}$

${\ Displaystyle = 2n \ suma r_ {i} ^ {2}-2 (\ suma r_ {i}) ^ {2} = {\ Frac {1} {6}} n ^ {2} (n ^ {2 }-1)}$

a zatem, podstawiając do oryginalnej formuły te wyniki, otrzymujemy

${\ Displaystyle \ Gamma _ {R} = 1- {\ Frac {6 \ suma d_ {i} ^ {2}} {n ^ {3}-n}}}$

gdzie jest różnica między rangami. ${\displaystyle d_{i}=r_{i}-s_{i}}$

który jest dokładnie współczynnikiem korelacji rang Spearmana . ${\ Displaystyle \ rho}$

Korelacja rang-biserial

Gene Glass (1965) zauważył, że rang-biserial może pochodzić od Spearmana . „Można wyprowadzić współczynnik zdefiniowany na X, zmiennej dychotomicznej i Y, zmiennej rankingowej, która szacuje rho Spearmana między X i Y w ten sam sposób, w jaki biserial r szacuje r Pearsona między dwiema normalnymi zmiennymi” (s. 91). Korelacja rang-dwuserial została wprowadzona dziewięć lat wcześniej przez Edwarda Curetona (1956) jako miara korelacji rang, gdy rang znajduje się w dwóch grupach. ${\ Displaystyle \ rho}$

Formuła prostej różnicy Kerby

Dave Kerby (2014) zalecił dwuserial rang jako środek wprowadzający uczniów w korelację rang, ponieważ ogólną logikę można wyjaśnić na poziomie wstępnym. Ranga dwuserialowa to korelacja stosowana z testem U Manna–Whitneya , metodą często omawianą na kursach wprowadzających w college'u na temat statystyki. Dane do tego testu składają się z dwóch grup; a dla każdego członka grup wynik jest oceniany jako całość badania.

Kerby wykazał, że tę korelację rang można wyrazić za pomocą dwóch pojęć: procent danych, które wspierają postawioną hipotezę, oraz procent danych, które jej nie potwierdzają. Prosta formuła różnicy Kerby'ego stwierdza, że ​​korelację rang można wyrazić jako różnicę między proporcją korzystnych dowodów ( f ) minus proporcją niekorzystnych dowodów ( u ).

${\displaystyle r=fu}$

Przykład i interpretacja

Aby zilustrować obliczenia, załóżmy, że trener trenuje biegaczy długodystansowych przez miesiąc przy użyciu dwóch metod. Grupa A ma 5 biegaczy, a grupa B ma 4 biegaczy. Postawiono hipotezę, że metoda A daje szybszych biegaczy. W wyścigu oceniającym wyniki biegacze z grupy A rzeczywiście biegają szybciej, zajmując następujące miejsca: 1, 2, 3, 4 i 6. Wolniejsi biegacze z grupy B mają zatem miejsca 5, 7, 8, i 9.

Analiza prowadzona jest na parach, określonych jako członek jednej grupy w porównaniu z członkiem drugiej grupy. Na przykład najszybszy biegacz w badaniu jest członkiem czterech par: (1,5), (1,7), (1,8) i (1,9). Wszystkie cztery z tych par potwierdzają hipotezę, ponieważ w każdej parze biegacz z grupy A jest szybszy od biegacza z grupy B. W sumie jest 20 par, a 19 par potwierdza hipotezę. Jedyną parą, która nie potwierdza hipotezy, są dwaj biegacze z miejscami 5 i 6, ponieważ w tej parze szybszy czas miał biegacz z grupy B. Według wzoru na prostą różnicę Kerby'ego 95% danych potwierdza hipotezę (19 z 20 par), a 5% nie wspiera (1 z 20 par), więc korelacja rang wynosi r = 0,95 - 0,05 = 0,90 .

Maksymalna wartość korelacji wynosi r = 1, co oznacza, że ​​100% par faworyzuje hipotezę. Korelacja r = 0 wskazuje, że połowa par popiera hipotezę, a połowa nie; innymi słowy, próby nie różnią się rangami, więc nie ma dowodów na to, że pochodzą z dwóch różnych populacji. Można powiedzieć, że wielkość efektu r = 0 nie opisuje związku między członkostwem w grupie a rangami członków.

Bibliografia

Dalsza lektura

• Cureton, Edward E. (1956). „Ranga-biserial korelacja”. Psychometrika . 21 (3): 287–290. doi : 10.1007/BF02289138 .
• Everitt, BS (2002), The Cambridge Dictionary of Statistics , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-81099-X
• Diaconis, P. (1988), Group Representations in Probability and Statistics , Lecture Notes-Monograph Series, Hayward, CA: Institute of Mathematical Statistics, ISBN 0-940600-14-5
• Szkło, Gene V. (1965). „Rankingowa zmienna analogowa korelacji biserii: implikacje dla analizy pozycji skrótów”. Dziennik Pomiarów Edukacyjnych . 2 (1): 91–95. doi : 10.1111/j.1745-3984.1965.tb00396.x .
• Kendall, MG (1970), Metody korelacji rang , Londyn: Griffin, ISBN 0-85264-199-0
• Kerby, Dave S. (2014). „Prosta formuła różnicy: podejście do nauczania korelacji nieparametrycznej” . Kompleksowa psychologia . 3 (1). doi : 10.2466/11.IT.3.1 .

Linki zewnętrzne

• Krótki przewodnik autorstwa psychologa eksperymentalnego Karla L. Weunscha - Nieparametryczne wielkości efektów (Copyright 2015, Karl L. Weunsch)