Losowe self-redukowalność - Random self-reducibility

Losowe self-redukowalność (RSR) jest zasada, że dobry algorytm dla przeciętnego przypadku zakłada dobrą algorytm najgorszym przypadku. RSR jest możliwość rozwiązania wszystkie wystąpienia problemu poprzez rozwiązywanie duża część przypadkach.

Definicja

Jeżeli dla funkcji f oceny jakiegokolwiek wystąpienia X może być zmniejszona w czasie wielomianowym do oceny f od jednego lub większej liczby losowej przypadkach y I , to jest własny sprowadza się (to jest również znane jako nieadaptacyjny jednolitej siebie redukcji ) , W losowej samodzielnego redukcji dowolna najgorszy przypadek x w dziedzinie f jest odwzorowywany na losowej zestaw wystąpień Y 1 , ..., y k . Odbywa się to tak, że F ( x ) może być obliczony w czasie wielomianowym, biorąc pod uwagę kolejność monety rozchybotać z mapowania, x i F ( y 1 ), ..., C ( R k ). Dlatego też, biorąc średnią względem dystrybucji na indukowaną Y i The średniej przypadku złożony z F jest taka sama (w współczynników wielomianowych) jako najgorszym losowo złożoności  f .

Jeden szczególny przypadek, gdy każda uwaga jest przypadkowy instancja y i jest rozprowadzana równomiernie w całym zestawem elementów w domenie f które mają długość | x |. W tym przypadku f jest tak trudne, średnio, jak to jest w najgorszym przypadku. Podejście to zawiera dwa główne ograniczenia. Po pierwsze pokolenie Y 1 , ..., y k odbywa się non-adaptacyjne. Oznacza to, że R 2 jest odbierany przed f ( Y 1 ) jest znana. Po drugie, nie jest konieczne, że punkty Y 1 , ..., y k być rozłożony równomiernie.

Zastosowanie w protokołach kryptograficznych

Problemy, które wymagają trochę prywatności w danych (zazwyczaj problemy kryptograficzne ) mogą korzystać randomizacji, aby zapewnić prywatność. W rzeczywistości, tylko provably bezpieczny system kryptograficzny (the pad jednorazowa ) ma swoje bezpieczeństwo polegając całkowicie na przypadkowości kluczowych danych dostarczanych do systemu.

Pole kryptografii wykorzystuje fakt, że niektóre funkcje liczbowo teoretyczne są losowo siebie sprowadzić. Obejmuje probabilistyczny szyfrowanie i kryptograficznie silne generowania liczb pseudolosowych . Ponadto, przykład ukrywania systemy (gdzie słabe urządzenie wykorzystuje prywatny silne urządzenie publicznego bez ujawniania jego danych) są łatwo przykładzie losowych samo-redukcji.

Przykłady

Logarytm dyskretny problemu, kwadratowy błąd residuosity The RSA problemem inwersji, a problem wyliczania stałe matrycy są każda losowa problemy własny sprowadzić.

logarytm dyskretny

Twierdzenie : Biorąc pod uwagę grupę cykliczną G o rozmiarze | G |. Jeśli deterministyczną wielomianowej algorytm czas oblicza dyskretnej logarytm o 1 / poli ( n ) ułamek wszystkich wejściach (gdzie n = log | G | ma wielkość wejściowa), to nie jest randomizowanym wielomianowej algorytm czas dyskretnej logarytmu dla wszystkich wejścia.

Ze względu generator g cyklicznej grupy G = {  g ı | 0 ≤ i <| G | } I x ∈ G dyskretnego log x do podstawy g jest liczbą całkowitą K (0 ≤ K <| G |) z x = g K . Take B mają być rozłożone równomiernie na {0, ..., | G | - 1}, a następnie xg B = g K + B jest również równomiernie na G . Dlatego xg B jest niezależnie od x , a jego logarytmu można obliczyć z prawdopodobieństwem 1 / poli ( n ) w czasie wielomianowym. Następnie log g x ≡ log g xg B - B (mod | G |) i dyskretne logarytm z własnym sprowadzić.

Stały matrycy

Ze względu na określenie z stałe matrycy, to jest oczywiste, że PERM ( M ) dla dowolnego n -by- n macierzy M jest wieloczynnikowa wielomianem stopnia n na wpisy w M . Obliczanie stałe matrycy jest trudne obliczeniowy zadaniowego PERM wykazano być # P-zupełny ( odporny ). Ponadto, zdolność do obliczania PERM ( M ) do większości matryc zakłada istnienie losowej programu, który oblicza PERM ( M ) dla wszystkich macierzy. To pokazuje, że PERM jest przypadkowa siebie sprowadzić. Poniższa dyskusja uważa sprawę gdzie wpisy macierzy pochodzą z pola o skończonej F p jakiegoś prime p , i gdzie wszystko arytmetyka jest wykonywana w tej dziedzinie.

Niech X być przypadkową n -by- n macierz zgłoszeń z F p . Ponieważ wszystkie te pozycje z każdej matrycy M + Kx są funkcjami liniowymi K przy skomponowaniu te funkcje liniowe ze stopniem n wielomianu wielowymiarowej obliczającego TRWA ( M ) do uzyskania kolejnego stopnia n wielomianu o k , która nazywana s ( k ) , Oczywiście, P (0) jest równa Stały M .

Załóżmy, że wiadomo, program, który oblicza właściwą wartość STAŁY ( A ) dla większości n -by- n matryc zgłoszeń z F p --- konkretnie 1 - 1 / (3 n ) z nich. Następnie z prawdopodobieństwem około dwie trzecie, można obliczyć PERM ( M + kX ) dla k = 1,2, ..., n + 1. Po uzyskaniu tych n + 1 wartości można rozwiązać przez współczynniki s ( k ) z zastosowaniem interpolacji (należy pamiętać, że p ( k ) jest stopień N ). Raz wiemy p ( k ) dokładnie ocenimy p (0), która jest równa PERM ( M ).

Jeśli mamy to zrobić, ryzykujemy, że jest źle 1/3 czasu, ale zbierając wiele losowe X s i powtarzając powyższą procedurę wielokrotnie, a jedynie zapewnienie zwycięzcę większościowy jako odpowiedź, możemy jechać poziom błędu w dół bardzo niska.

Konsekwencje

  • Jeśli NP-complete problemem nie jest przypadkowy adaptacyjnie własnym obniżkom wielomian hierarchia zapada się Ď 3 .
  • Jeżeli CONP twarde problemem jest losowa siebie sprowadzić w O (log n / n ), a następnie Ď 2 = gatunku 2 .

Referencje