Funkcja Quasiconvex - Quasiconvex function

Funkcja quasiconvex, która nie jest wypukła

Funkcja, która nie jest quasiconvex: zbiór punktów w dziedzinie funkcji, dla których wartości funkcji znajdują się poniżej przerywanej czerwonej linii, to suma dwóch czerwonych przedziałów, która nie jest zbiorem wypukłym.

Funkcja gęstości od rozkładu normalnego jest quasiconcave ale nie wklęsła.

Dwuwymiarowe normalnych stawów gęstość jest quasiconcave.

W matematyce , A funkcja quasiconvex jest prawdziwe -valued Funkcja określona na przedziale ani na wypukły podzbiór rzeczywistego miejsca wektora tak, aby obraz odwrotny z każdego zestawu formy jest wypukła zestaw . W przypadku funkcji pojedynczej zmiennej na dowolnym odcinku krzywej najwyższy punkt jest jednym z punktów końcowych. Mówi się, że negatywem funkcji quasiconvex jest quasi-jaskinia . ${\ Displaystyle (- \ infty, a)}$

Wszystkie funkcje wypukłe są również quasiconvex, ale nie wszystkie funkcje quasiconvex są wypukłe, więc quasiconvexity jest uogólnieniem wypukłości. Quasiconvexity i quasiconcavity rozszerzają na funkcje z wieloma argumentami pojęcie unimodalności funkcji z jednym rzeczywistym argumentem.

Definicja i właściwości

Funkcja zdefiniowana na wypukłym podzbiorze rzeczywistej przestrzeni wektorowej jest quasiconvex, jeśli dla wszystkich i mamy ${\ displaystyle f: S \ do \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle x, y \ w S}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in [0,1]}$

{\ Displaystyle f (\ lambda x + (1- \ lambda) r) \ równoważnik \ max {\ duży \ {} f (x), f (r) {\ duży \}}.}

Innymi słowy, jeśli jest tak, że zawsze jest prawdą, że punkt bezpośrednio między dwoma innymi punktami nie daje wyższej wartości funkcji niż oba pozostałe punkty, to jest quasiconvex. Zauważ, że punkty i oraz punkt bezpośrednio między nimi mogą być punktami na linii lub, bardziej ogólnie, punktami w przestrzeni n- wymiarowej. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$

Funkcja quasilinear to zarówno quasiconvex, jak i quasi-jaskinia.

Wykres funkcji, która jest zarówno wklęsła, jak i quasi-wypukła na nieujemnych liczbach rzeczywistych.

Alternatywnym sposobem (patrz wprowadzenie) definiowania funkcji quasi-wypukłej jest wymaganie, aby każdy zbiór podpoziomów był zbiorem wypukłym. ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ Displaystyle S _ {\ alfa} (f) = \ {x \ mid f (x) \ równoważnik \ alfa \}}$

Jeśli ponadto

{\ Displaystyle f (\ lambda x + (1- \ lambda) r) <\ max {\ duży \ {} f (x), f (y) {\ duży \}}}

dla wszystkich i wtedy jest ściśle quasiconvex . Oznacza to, że ścisła quasiwypukłość wymaga, aby punkt bezpośrednio między dwoma innymi punktami dawał niższą wartość funkcji niż jeden z pozostałych punktów. ${\ Displaystyle x \ neq y}$ ${\ Displaystyle \ lambda \ in (0,1)}$ ${\ displaystyle f}$

Funkcja quasi-jaskiniowa to funkcja, której wartość ujemna jest quasi-wypukła, a funkcja ściśle quasi-jaskiniowa to funkcja, której wartość ujemna jest ściśle quasi-wypukła. Równoważnie funkcja jest quasiconcave if ${\ displaystyle f}$

{\ Displaystyle f (\ lambda x + (1- \ lambda) r) \ geq \ min {\ duży \ {} f (x), f (y) {\ duży \}}.}

i ściśle quasiconcave, jeśli

{\ Displaystyle f (\ lambda x + (1- \ lambda) r)> \ min {\ duży \ {} f (x), f (y) {\ duży \}}}

Funkcja (ściśle) quasiconvex ma (ściśle) wypukłe zbiory dolnych konturów , podczas gdy (ściśle) funkcja quasiconcave ma (ściśle) wypukłe zbiory górnych konturów .

Funkcja, która jest zarówno quasi-wypukła, jak i quasi-jaskinia, jest quasilinear .

Szczególnym przypadkiem quasi-wklęsłości jest unimodalność , w której występuje lokalnie maksymalna wartość. ${\ displaystyle S \ subset \ mathbb {R}}$

Aplikacje

Funkcje Quasiconvex mieć zastosowanie w analizie matematycznej , w optymalizacji matematycznej iw teorii gier i ekonomii .

Optymalizacja matematyczna

W optymalizacji nieliniowej programowanie quasiconvex bada metody iteracyjne, które zbiegają się do minimum (jeśli istnieje) dla funkcji quasiconvex. Programowanie quasiconvex jest uogólnieniem programowania wypukłego . Programowanie quasiconvex jest wykorzystywane do rozwiązywania problemów dualnych "zastępczych" , których bains zapewniają quasiconvex domknięcia pierwotnego problemu, co w związku z tym zapewnia ściślejsze granice niż wypukłe domknięcia zapewniane przez podwójne problemy Lagrange'a . W teorii , quasiconvex programowanie i wypukłe problemy programowe mogą być rozwiązane w rozsądnym czasie, gdy liczba powtórzeń rośnie jak wielomianu w wymiarze problemu (aw odwrotność błędu aproksymacji tolerowany); jednakże takie teoretycznie „wydajne” metody wykorzystują „szereg rozbieżnych” reguł stopniowania , które zostały po raz pierwszy opracowane dla klasycznych metod subgradientowych . Klasyczne metody subgradientowe wykorzystujące reguły serii rozbieżnych są znacznie wolniejsze niż współczesne metody minimalizacji wypukłości, takie jak metody rzutowania subgradientowego , metody opadania wiązek i metody filtrów nierównomiernych .

Ekonomia i równania różniczkowe cząstkowe: twierdzenia Minimaxa

W mikroekonomii quasi-jaskiniowe funkcje użyteczności oznaczają, że konsumenci mają wypukłe preferencje . Funkcje quasiconvex są ważne również w teorii gier , organizacji przemysłu i teorii równowagi ogólnej , szczególnie w zastosowaniach twierdzenia Siona o minimaksie . Uogólniając minimax twierdzenie od Johna von Neumanna , twierdzenie Sion jest również stosowany w teorii równań różniczkowych cząstkowych .

Zachowanie quasi-wypukłości

Operacje zachowujące quasi-wypukłość

maksymalna liczba funkcji quasiconvex (tj. ) to quasiconvex. Podobnie maksimum ścisłych funkcji quasiconvex jest ścisłe quasiconvex. Podobnie, minimalny z quasiconcave funkcji jest quasiconcave i minimum funkcji ściśle-quasiconcave ściśle-quasiconcave. ${\ displaystyle f = \ max \ lewo \ lbrace f_ {1}, \ ldots, f_ {n} \ prawo \ rbrace}$
kompozycja z funkcją nie zmniejszającą się (tj. quasiconvex, non-malejąca, a następnie jest quasiconvex) ${\ Displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle h: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f = h \ circ g}$
minimalizacja (tj. quasiconvex, convex set, then is quasiconvex) ${\ Displaystyle f (x, y)}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ Displaystyle h (x) = \ inf _ {y \ w C} f (x, y)}$

Operacje bez zachowania quasi-wypukłości

Suma funkcji quasiconvex zdefiniowanych w tej samej dziedzinie nie musi być quasiconvex: Innymi słowy, jeśli są quasiconvex, to nie muszą być quasiconvex. ${\ Displaystyle f (x), g (x)}$ ${\ Displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x)}$
Suma funkcji quasiconvex zdefiniowanych w różnych domenach (tj. Jeśli są quasiconvex, ) nie musi być quasiconvex. Takie funkcje nazywane są w ekonomii „rozłożonymi addytywnie” i „rozłącznymi” w optymalizacji matematycznej . ${\ Displaystyle f (x), g (y)}$ ${\ Displaystyle h (x, y) = f (x) + g (y)}$

Przykłady

Każda funkcja wypukła jest quasiconvex.
Funkcja wklęsła może być quasiconvex. Na przykład jest zarówno wklęsły, jak i quasiconvex. ${\ Displaystyle x \ mapsto \ log (x)}$
Każda funkcja monotoniczna jest zarówno kwazikrzywy, jak i kwaziklepu. Mówiąc bardziej ogólnie, funkcja, która maleje do pewnego punktu i rośnie od tego momentu jest quasiconvex (porównaj unimodalność ).
Funkcja podłogi jest przykładem funkcji quasiconvex, która nie jest ani wypukła, ani ciągła. ${\ Displaystyle x \ mapsto \ lfloor x \ rfloor}$

Zobacz też

Funkcja wypukła
Funkcja wklęsła
Funkcja logarytmicznie wklęsła
Pseudo wypukłość w sensie kilku zmiennych złożonych (nie uogólniona wypukłość)
Funkcja pseudo wypukła
Funkcja Invex
Wklęsłość

Bibliografia

^ Di Guglielmo (1977 , s. 287–288): Di Guglielmo, F. (1977). „Niewypukła dwoistość w optymalizacji wielokryterialnej”. Matematyka badań operacyjnych . 2 (3): 285–291. doi : 10.1287 / moor.2.3.285 . JSTOR 3689518 . MR 0484418 .
^ Di Guglielmo F. (1981). „Oszacowania luki dualności dla dyskretnych i quasikonwypukłych problemów optymalizacji”. W Schaible, Siegfried; Ziemba, William T. (red.). Uogólniona wklęsłość w optymalizacji i ekonomii: Materiały z NATO Advanced Study Institute, przeprowadzone na Uniwersytecie Kolumbii Brytyjskiej w Vancouver, BC, 4-15 sierpnia 1980 . Nowy Jork: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, wydawcy]. s. 281–298. ISBN 0-12-621120-5 . MR 0652702 .
^ Kiwiel, Krzysztof C. (2001). „Zbieżność i efektywność metod subgradientowych dla minimalizacji quasiconvex”. Programowanie matematyczne, seria A . 90 ust. 1. Berlin, Heidelberg: Springer. s. 1–25. doi : 10.1007 / PL00011414 . ISSN 0025-5610 . MR 1819784 . Kiwiel przyznaje, że Jurij Nesterow jako pierwszy ustalił, że problemy z minimalizacją quasiconvex można skutecznie rozwiązać.
^ Johansson, Edvard; Petersson, David (2016). „Optymalizacja parametrów dla rozwiązań równowagowych systemów akcji masowych” : 13–14 . Źródło 26 października 2016 r . Cite Journal wymaga |journal= ( pomoc )

Avriel, M., Diewert, WE, Schaible, S. and Zang, I., Generalized Concavity , Plenum Press, 1988.
Crouzeix, J.-P. (2008). „Quasi-wklęsłość”. W Durlauf, Steven N .; Blume, Lawrence E (red.). The New Palgrave Dictionary of Economics (wydanie drugie). Palgrave Macmillan. pp. 815–816. doi : 10.1057 / 9780230226203.1375 . ISBN 978-0-333-78676-5 .
Singer, Ivan Streszczenie wypukła analiza . Seria monografii i zaawansowanych tekstów Kanadyjskiego Towarzystwa Matematycznego. Publikacja Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., Nowy Jork, 1997. xxii + 491 str. ISBN 0-471-16015-6

Linki zewnętrzne

SION, M., „On general minimax theorems”, Pacific J. Math. 8 (1958), 171-176.
Słowniczek programowania matematycznego
Funkcje wklęsłe i quasi-wklęsłe - Charles Wilson, Wydział Ekonomii NYU
Quasiconcavity and quasiconvexity - Martin J.Osborne , University of Toronto Department of Economics

[1] Di Guglielmo (1977 , s. 287–288): Di Guglielmo, F. (1977). „Niewypukła dwoistość w optymalizacji wielokryterialnej”. Matematyka badań operacyjnych . 2 (3): 285–291. doi : 10.1287 / moor.2.3.285 . JSTOR 3689518 . MR 0484418 .

[2] Di Guglielmo F. (1981). „Oszacowania luki dualności dla dyskretnych i quasikonwypukłych problemów optymalizacji”. W Schaible, Siegfried; Ziemba, William T. (red.). Uogólniona wklęsłość w optymalizacji i ekonomii: Materiały z NATO Advanced Study Institute, przeprowadzone na Uniwersytecie Kolumbii Brytyjskiej w Vancouver, BC, 4-15 sierpnia 1980 . Nowy Jork: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, wydawcy]. s. 281–298. ISBN 0-12-621120-5 . MR 0652702 .

[3] Kiwiel, Krzysztof C. (2001). „Zbieżność i efektywność metod subgradientowych dla minimalizacji quasiconvex”. Programowanie matematyczne, seria A . 90 ust. 1. Berlin, Heidelberg: Springer. s. 1–25. doi : 10.1007 / PL00011414 . ISSN 0025-5610 . MR 1819784 . Kiwiel przyznaje, że Jurij Nesterow jako pierwszy ustalił, że problemy z minimalizacją quasiconvex można skutecznie rozwiązać.

[4] Johansson, Edvard; Petersson, David (2016). „Optymalizacja parametrów dla rozwiązań równowagowych systemów akcji masowych” : 13–14 . Źródło 26 października 2016 r . Cite Journal wymaga |journal= ( pomoc )

Languages

In other projects