Potencjalna metoda - Potential method

W teorii złożoności obliczeniowej , potencjalna metoda to metoda stosowana do analizy czasu i przestrzeni zamortyzowanego złożoność o strukturze danych , miarą jego wydajności ponad sekwencji operacji, które wygładza kosztów rzadkie, ale drogie operacje.

Definicja amortyzowanego czasu

W metodzie potencjalnej wybierana jest funkcja Φ, która odwzorowuje stany struktury danych na liczby nieujemne. Jeśli S jest stanem struktury danych, Φ ( S ) reprezentuje pracę, która została uwzględniona („opłacona”) w zamortyzowanej analizie, ale nie została jeszcze wykonana. Zatem Φ ( S ) można traktować jako obliczenie ilości energii potencjalnej zmagazynowanej w tym stanie. Potencjalna wartość przed operacją inicjalizacji struktury danych jest zdefiniowana jako zero. Alternatywnie, Φ ( S ) może być traktowane jako reprezentujące wielkość nieporządku w stanie S lub jego odległość od stanu idealnego.

Niech o będzie dowolną indywidualną operacją w sekwencji operacji na pewnej strukturze danych, gdzie S _przed oznaczeniem stanu struktury danych przed operacją o i S _po oznaczeniu jej stanu po zakończeniu operacji o . Po wybraniu Φ określa się, że zamortyzowany czas operacji o wynosi

${\ Displaystyle T _ {\ matematyka {amortyzowana}} (o) = T _ {\ matematyka {faktyczna}} (o) + C \ cdot (\ Phi (S _ {\ operatorname {po}}) - \ Phi (S _ {\ mathrm {przed}})),}$

gdzie C jest nieujemną stałą proporcjonalności (w jednostkach czasu), która musi pozostać niezmienna przez całą analizę. Oznacza to, że zamortyzowany czas definiuje się jako rzeczywisty czas potrzebny na operację plus C razy różnica potencjału spowodowana tą operacją.

Podczas badania asymptotycznej złożoności obliczeniowej przy użyciu notacji dużego O , stałe współczynniki są nieistotne, więc stała C jest zwykle pomijana.

Relacja między zamortyzowanym a rzeczywistym czasem

Pomimo swojego sztucznego wyglądu całkowity zamortyzowany czas sekwencji operacji stanowi ważną górną granicę rzeczywistego czasu dla tej samej sekwencji operacji.

Dla dowolnej sekwencji operacji określ: ${\ Displaystyle O = o_ {1}, o_ {2}, \ kropki, o_ {n}}$

• Całkowity czas amortyzacji: ${\ Displaystyle T _ {\ mathrm {amortyzowany}} (O) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} T _ {\ mathrm {amortyzowany}} (o_ {i}),}$
• Całkowity rzeczywisty czas: ${\ Displaystyle T _ {\ mathrm {faktyczna}} (O) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} T _ {\ mathrm {faktyczna}} (o_ {i}).}$

Następnie:

${\ Displaystyle T _ {\ mathrm {amortyzowany}} (O) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ lewo (T _ {\ mathrm {faktyczna}} (o_ {i}) + C \ cdot (\ Phi (S_ {i}) - \ Phi (S_ {i-1})) \ right) = T _ {\ mathrm {faktyczna}} (O) + C \ cdot (\ Phi (S_ {n}) - \ Phi (S_ {0})),}$

gdzie sekwencja wartości funkcji potencjału tworzy szereg teleskopowy, w którym wszystkie wyrazy inne niż początkowe i końcowe wartości funkcji potencjału anulują się parami. Przekształcając to, otrzymujemy:

${\ Displaystyle T _ {\ operatorname {faktyczna}} (O) = T _ {\ operatorname {amortyzowany}} (O) -C \ cdot (\ Phi (S_ {n}) - \ Phi (S_ {0})). }$

Ponieważ i , więc zamortyzowany czas może być wykorzystany do określenia dokładnej górnej granicy rzeczywistego czasu sekwencji operacji, nawet jeśli zamortyzowany czas dla pojedynczej operacji może znacznie różnić się od czasu rzeczywistego. ${\ Displaystyle \ Phi (S_ {0}) = 0}$${\ Displaystyle \ Phi (S_ {n}) \ geq 0}$${\ Displaystyle T _ {\ mathrm {faktyczny}} (O) \ równoważnik T _ {\ mathrm {amortyzowany}} (O)}$

Zamortyzowana analiza danych wejściowych z najgorszego przypadku

Zazwyczaj analiza zamortyzowana jest stosowana w połączeniu z najgorszym założeniem dotyczącym sekwencji wejściowej. Przy takim założeniu, jeśli X jest typem operacji, którą może wykonać struktura danych, a n jest liczbą całkowitą określającą rozmiar danej struktury danych (np. Liczbę pozycji, które zawiera), to czas amortyzacji dla operacji typu X jest określona jako maksymalna spośród wszystkich możliwych sekwencji operacji na strukturach danych o rozmiarze n i wszelkich operacji o _i typu X w sekwencji czasu amortyzowane pracy o _i .

Przy takiej definicji czas wykonania sekwencji operacji można oszacować poprzez pomnożenie zamortyzowanego czasu dla każdego typu operacji w sekwencji przez liczbę operacji tego typu.

Przykłady

Tablica dynamiczna

Tablica dynamiczna to struktura danych służąca do przechowywania tablicy elementów, umożliwiająca zarówno swobodny dostęp do pozycji w tablicy, jak i możliwość zwiększenia rozmiaru tablicy o jeden. Jest dostępny w Javie jako typ „ArrayList”, aw Pythonie jako typ „list”.

Tablica dynamiczna może być implementowana przez strukturę danych składającą się z tablicy A elementów o pewnej długości N wraz z liczbą n  ≤  N reprezentującą pozycje w tablicy, które były do ​​tej pory używane. W przypadku tej struktury losowy dostęp do tablicy dynamicznej może być realizowany poprzez dostęp do tej samej komórki tablicy wewnętrznej A , a gdy n  <  N , operacja zwiększająca rozmiar tablicy dynamicznej może być realizowana po prostu przez zwiększenie  n . Jednak gdy n  =  N , konieczna jest zmiana rozmiaru A , a typową strategią jest podwojenie jego rozmiaru, zastępując A nową tablicą o długości 2 n .

Strukturę tę można analizować za pomocą funkcji potencjalnej:

Φ = 2 n  -  N.

Ponieważ strategia zmiany rozmiaru zawsze powoduje, że A jest co najmniej w połowie pełne, ta potencjalna funkcja jest zawsze nieujemna, zgodnie z potrzebami.

Gdy operacja zwiększania rozmiaru nie prowadzi do operacji zmiany rozmiaru, Φ wzrasta o 2, co jest stałą wartością. Dlatego stały rzeczywisty czas operacji i stały wzrost potencjału łącznie dają stały, zamortyzowany czas operacji tego typu.

Jednak gdy operacja zwiększania rozmiaru powoduje zmianę rozmiaru, potencjalna wartość n zmniejsza się do zera po zmianie rozmiaru. Przydzielenie nowej tablicy wewnętrznej A i skopiowanie wszystkich wartości ze starej tablicy wewnętrznej do nowej zajmuje O ( n ) faktycznego czasu, ale (przy odpowiednim doborze stałej proporcjonalności C ) jest to całkowicie anulowane przez zmniejszenie potencjalna funkcja, pozostawiając ponownie stały całkowity zamortyzowany czas operacji.

Inne operacje struktury danych (odczyt i zapis komórek tablicy bez zmiany rozmiaru tablicy) nie powodują zmiany funkcji potencjalnej i mają taki sam stały czas zamortyzowany, jak ich rzeczywisty czas.

Dlatego przy takim wyborze strategii zmiany rozmiaru i potencjalnej funkcji metoda potencjalna pokazuje, że wszystkie dynamiczne operacje na tablicach wymagają stałego zamortyzowanego czasu. W połączeniu z nierównością związaną z zamortyzowanym czasem i rzeczywistym czasem w sekwencjach operacji, pokazuje to, że każda sekwencja n dynamicznych operacji tablicowych zajmuje O ( n ) rzeczywistego czasu w najgorszym przypadku, pomimo faktu, że niektóre indywidualne operacje mogą same zająć liniowa ilość czasu.

Gdy tablica dynamiczna zawiera operacje, które zmniejszają rozmiar tablicy, a także ją zwiększają, potencjalna funkcja musi zostać zmodyfikowana, aby nie stała się ujemna. Jednym ze sposobów jest zastąpienie powyższego wzoru na Φ jego wartością bezwzględną .

Multi-Pop Stack

Rozważ stos, który obsługuje następujące operacje:

• Inicjalizuj - utwórz pusty stos.
• Wepchnij - dodaj pojedynczy element na wierzch stosu, powiększając stos o 1.
• Pop ( k ) - usuwa k elementów ze szczytu stosu, gdzie k jest nie większe niż aktualny rozmiar stosu

Pop ( k ) wymaga O ( k ) czasu, ale chcemy pokazać, że wszystkie operacje wymagają O (1) zamortyzowanego czasu.

Strukturę tę można analizować za pomocą funkcji potencjalnej:

Φ = liczba elementów w stosie

Zgodnie z wymaganiami liczba ta jest zawsze nieujemna.

Operacja Push zajmuje stały czas i zwiększa się Φ o 1, więc jej zamortyzowany czas jest stały.

Operacja Pop wymaga czasu O ( k ), ale także zmniejsza Φ o k , więc jej zamortyzowany czas jest również stały.

Dowodzi to, że jakakolwiek sekwencja m operacji w najgorszym przypadku zajmuje O ( m ) czasu rzeczywistego.

Licznik binarny

Rozważmy licznik reprezentowany jako liczba binarna i obsługujący następujące operacje:

• Inicjalizuj: utwórz licznik o wartości 0.
• Inc: dodaj 1 do licznika.
• Odczyt: zwraca bieżącą wartość licznika.

W tym przykładzie nie używamy transdychotomicznego modelu maszyny , ale zamiast tego wymagamy jednej jednostki czasu na operację bitową w inkrementacji. Chcemy pokazać, że Inc pobiera O (1) zamortyzowanego czasu.

Strukturę tę można analizować za pomocą funkcji potencjalnej:

Φ = liczba-bitów-równa-1 = waga hamminga (licznik)

Ta liczba jest zawsze nieujemna i zaczyna się od 0, zgodnie z wymaganiami.

Operacja Inc odwraca najmniej znaczący bit . Następnie, jeśli LSB zostało odwrócone z 1 na 0, to następny bit również jest odwrócony. Trwa to do momentu, gdy w końcu następuje odwrócenie bitu z 0 na 1, w którym to momencie przerzucanie się zatrzymuje. Jeśli licznik początkowo kończy się na k 1 bitach, przerzucamy w sumie k +1 bitów, biorąc rzeczywisty czas k +1 i zmniejszając potencjał o k −1, tak więc zamortyzowany czas wynosi 2. Stąd rzeczywisty czas na wykonanie m Operacje Inc to O ( m ).

Aplikacje

Metoda funkcji potencjalnej jest powszechnie stosowana do analizy stert Fibonacciego , formy kolejki priorytetowej, w której usunięcie elementu wymaga logarytmicznego zamortyzowanego czasu, a wszystkie inne operacje wymagają stałego amortyzowanego czasu. Może być również używany do analizy drzew splay , samodopasowującej się postaci binarnego drzewa wyszukiwania z logarytmicznie amortyzowanym czasem na operację.

Bibliografia