Funkcja transmisji optycznej - Optical transfer function

Ilustracja funkcji transferu optycznego (OTF) i jej związku z jakością obrazu. Funkcja przenoszenia optycznego dobrze zogniskowanego (a) i nieostrego optycznego systemu obrazowania bez aberracji (d). Ponieważ transmitancja optyczna tych systemów jest rzeczywista i nieujemna, transmitancja optyczna jest z definicji równa transmitancji modulacji (MTF). Obrazy źródła punktowego i celu szprychowego o wysokiej częstotliwości przestrzennej są pokazane odpowiednio w (b,e) i (c,f). Zwróć uwagę, że skala obrazów źródła punktowego (b,e) jest czterokrotnie mniejsza niż obrazów docelowych szprych.

Funkcja przenoszenia optycznego ( OTF ) systemu optycznego, takiego jak kamera , mikroskop , ludzkie oko lub projektor, określa, w jaki sposób system obsługuje różne częstotliwości przestrzenne. Jest używany przez inżynierów optycznych do opisania, w jaki sposób optyka rzuca światło z obiektu lub sceny na kliszę fotograficzną, matrycę detektorów , siatkówkę , ekran lub po prostu następny element w łańcuchu transmisji optycznej. Wariant, funkcja przenoszenia modulacji ( MTF ), pomija efekty fazowe, ale w wielu sytuacjach jest równoważny OTF.

Każda z funkcji przenoszenia określa odpowiedź na okresowy przebieg sinusoidalny przechodzący przez układ soczewek, w zależności od jego częstotliwości przestrzennej lub okresu oraz jego orientacji. Formalnie OTF określa się jako transformacji Fouriera w funkcji rozpiętości punktu (PSF, to jest im odpowiedzi impulsowej optyki, obraz źródła punktowego). Jako transformata Fouriera, OTF ma wartość zespoloną; ale będzie to wartość rzeczywista w powszechnym przypadku PSF, który jest symetryczny względem swojego środka. MTF jest formalnie zdefiniowana jako wielkość (wartość bezwzględna) złożonej OTF.

Zdjęcie po prawej pokazuje funkcje transferu optycznego dla dwóch różnych systemów optycznych w panelach (a) i (d). Pierwszy odpowiada idealnemu, ograniczonemu dyfrakcyjnie systemowi obrazowania z kołową źrenicą . Jego funkcja przenoszenia zmniejsza się w przybliżeniu stopniowo z częstotliwością przestrzenną, aż osiągnie granicę dyfrakcji, w tym przypadku przy 500 cyklach na milimetr lub okresie 2 μm. Ponieważ okresowe cechy tak małe jak ten okres są rejestrowane przez ten system obrazowania, można powiedzieć, że jego rozdzielczość wynosi 2 μm. Panel (d) przedstawia nieostry system optyczny. Prowadzi to do znacznego zmniejszenia kontrastu w porównaniu z systemem obrazowania o ograniczonej dyfrakcji. Widać, że kontrast wynosi zero w okolicach 250 cykli/mm, czyli okresów 4 μm. To wyjaśnia, dlaczego obrazy w systemie nieostrym (e,f) są bardziej rozmyte niż w systemie o ograniczonej dyfrakcji (b,c). Należy zauważyć, że chociaż system poza ogniskiem ma bardzo niski kontrast przy częstotliwościach przestrzennych około 250 cykli/mm, kontrast przy częstotliwościach przestrzennych w pobliżu granicy dyfrakcji wynoszącej 500 cykli/mm jest ograniczony przez dyfrakcję. Bliższa obserwacja obrazu w panelu (f) pokazuje, że struktura szprychy jest stosunkowo ostra dla dużych gęstości szprych w pobliżu środka tarczy szprychy .

Definicja i powiązane pojęcia

Ponieważ funkcja przenoszenia optycznego (OTF) jest zdefiniowana jako transformata Fouriera funkcji rozrzutu punktów (PSF), jest to ogólnie mówiąc funkcja częstotliwości przestrzennej o wartościach zespolonych . Projekcja określonego wzorca okresowego jest reprezentowana przez liczbę zespoloną o wartości bezwzględnej i złożonym argumencie proporcjonalnym odpowiednio do względnego kontrastu i translacji rzutowanej projekcji.

Różne ściśle powiązane charakterystyki systemu optycznego wykazującego komę, typową aberrację występującą poza osią. (a) Funkcja rozproszenia punktu (PSF) to obraz źródła punktowego. (b) Obraz linii jest określany jako funkcja rozprzestrzeniania linii, w tym przypadku linia pionowa. Funkcja rozprzestrzeniania linii jest wprost proporcjonalna do pionowej integracji obrazu z rozkładem punktowym. Funkcja przenoszenia optycznego (OTF) jest zdefiniowana jako transformata Fouriera funkcji rozrzutu punktowego, a zatem jest ogólnie dwuwymiarową funkcją złożoną. Zazwyczaj pokazany jest tylko wycinek jednowymiarowy (c), odpowiadający transformacie Fouriera funkcji rozsunięcia linii. Gruba zielona linia wskazuje rzeczywistą część funkcji, a cienka czerwona linia część urojoną. Często pokazywana jest tylko wartość bezwzględna funkcji zespolonej, co pozwala na wizualizację funkcji dwuwymiarowej (d); jednak częściej pokazana jest tylko funkcja jednowymiarowa (e). Ta ostatnia jest zwykle normalizowana przy zerowej częstotliwości przestrzennej i określana jako funkcja przenoszenia modulacji (MTF). Dla kompletności argument złożony jest czasami podawany jako funkcja przeniesienia fazy (PhTF), pokazana w panelu (f).

Często najbardziej interesujące jest zmniejszenie kontrastu, a tłumaczenie wzoru można zignorować. Względny kontrast jest określony przez wartość bezwzględną transmitancji optycznej, funkcji powszechnie nazywanej transmitancją modulacji ( MTF ). Jego wartości wskazują, jaka część kontrastu obiektu jest uchwycona na obrazie w funkcji częstotliwości przestrzennej. MTF ma tendencję do zmniejszania się wraz ze wzrostem częstotliwości przestrzennej od 1 do 0 (na granicy dyfrakcji); jednak funkcja często nie jest monotoniczna . Z drugiej strony, gdy ważna jest również translacja wzorca, złożony argument funkcji przenoszenia optycznego można przedstawić jako drugą funkcję o wartościach rzeczywistych, powszechnie nazywaną funkcją przenoszenia fazy ( PhTF ). Funkcja transmisji optycznej o wartościach zespolonych może być postrzegana jako połączenie tych dwóch funkcji o wartościach rzeczywistych:

${\ Displaystyle \ operatorname {OTF} (\ nu) = \ operatorname {MTF} (\ nu) e ^ {i \, \ operatorname {PhTF} (\ nu)}}$

gdzie

${\ Displaystyle \ operatorname {MTF} (\ nu) = \ lewo \ vert \ operatorname {OTF} (\ nu) \ prawo \ vert,}$

${\ Displaystyle \ operatorname {PhTF} (\ nu) = \ operatorname {arg} (\ operatorname {OTF} (\ nu)),}$

i reprezentuje złożoną funkcję argumentu, podczas gdy jest częstotliwością przestrzenną wzorca okresowego. Generalnie jest to wektor o częstotliwości przestrzennej dla każdego wymiaru, tzn. wskazuje również kierunek układu okresowego. ${\ Displaystyle \ operatorname {arg} (\ cdot)}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \nu}$

Odpowiedź impulsowa dobrze zogniskowanego układu optycznego to trójwymiarowy rozkład natężenia z maksimum w płaszczyźnie ogniskowej, a zatem może być mierzony przez rejestrację stosu obrazów podczas przemieszczania detektora osiowo. W konsekwencji trójwymiarową funkcję przenoszenia optycznego można zdefiniować jako trójwymiarową transformatę Fouriera odpowiedzi impulsowej. Chociaż zazwyczaj stosuje się tylko jednowymiarową, a czasami dwuwymiarową sekcję, trójwymiarowa funkcja przenoszenia optycznego może poprawić zrozumienie mikroskopów, takich jak mikroskop ze strukturalnym oświetleniem.

Zgodnie z definicją transmitancji , powinien wskazywać ułamek światła, który został wykryty z obiektu źródła punktowego. Jednak zazwyczaj najważniejszy jest kontrast w stosunku do całkowitej ilości wykrytego światła. Dlatego powszechną praktyką jest normalizowanie funkcji przenoszenia optycznego do wykrytego natężenia, a zatem . ${\ Displaystyle \ operatorname {OTF} (0) = \ operatorname {MTF} (0)}$${\ Displaystyle \ operatorname {MTF} (0) \ ekwiwalent 1}$

Ogólnie rzecz biorąc, funkcja przenoszenia optycznego zależy od takich czynników, jak widmo i polaryzacja emitowanego światła oraz położenie źródła punktowego. Np. kontrast i rozdzielczość obrazu są zazwyczaj optymalne w środku obrazu i pogarszają się w kierunku krawędzi pola widzenia. Gdy wystąpi znacząca zmienność, funkcję przenoszenia optycznego można obliczyć dla zestawu reprezentatywnych pozycji lub kolorów.

Czasami bardziej praktyczne jest zdefiniowanie funkcji transferu na podstawie binarnego czarno-białego wzoru pasków. Funkcja przenoszenia dla okresowego wzoru czarno-białego o równej szerokości jest określana jako funkcja przenoszenia kontrastu (CTF) .

Przykłady

OTF idealnego systemu soczewek

Doskonały system soczewek zapewni projekcję o wysokim kontraście bez przesuwania okresowego wzoru, stąd funkcja przenoszenia optycznego jest identyczna z funkcją przenoszenia modulacji. Zazwyczaj kontrast zmniejsza się stopniowo do zera w punkcie określonym przez rozdzielczość optyki. Na przykład, idealny, nie aberracją , f / 4 system obrazowania optycznego stosowane w widzialnej długości fali 500 nm, czy ma optyczną funkcję przenoszenia przedstawiony na rysunku po prawej stronie.

Jednowymiarowa funkcja przenoszenia optycznego systemu obrazowania o ograniczonej dyfrakcji jest identyczna z funkcją przenoszenia modulacji.

Cel szprychowy zobrazowany przez system obrazowania o ograniczonej dyfrakcji.

Funkcja transferu i przykładowy obraz idealnego, wolnego od aberracji optycznych (ograniczonego dyfrakcyjnie) systemu obrazowania.

Można go odczytać z wykresu, że kontrast stopniowo zmniejsza i dojdzie do zera przy częstotliwości przestrzennej 500 cykli na milimetr, a więc rozdzielczość optyczna projekcji obrazu jest 1/500 ^p milimetra lub 2 mikrometrów. Odpowiednio, w przypadku tego konkretnego urządzenia do obrazowania, szprychy stają się coraz bardziej rozmyte w kierunku środka, aż zlewają się w szary, nierozdzielony dysk. Należy zauważyć, że czasami funkcja transferu optycznego jest podawana w jednostkach obiektu lub przestrzeni próbki, kąta obserwacji, szerokości filmu lub znormalizowana do teoretycznego maksimum. Konwersja między nimi jest zwykle kwestią mnożenia lub dzielenia. Na przykład mikroskop zazwyczaj powiększa wszystko od 10 do 100 razy, a lustrzanka generalnie zmniejsza powiększenie obiektów w odległości 5 metrów od 100 do 200 razy.

Rozdzielczość cyfrowego urządzenia do przetwarzania obrazu jest ograniczona nie tylko optyką, ale także liczbą pikseli, w szczególności ich odległością separacji. Jak wyjaśniono w twierdzeniu o próbkowaniu Nyquista-Shannona , aby dopasować rozdzielczość optyczną danego przykładu, piksele każdego kanału koloru powinny być oddzielone o 1 mikrometr, czyli połowę okresu 500 cykli na milimetr. Większa liczba pikseli na tym samym rozmiarze czujnika nie pozwoli na uzyskanie drobniejszych szczegółów. Z drugiej strony, gdy odstęp pikseli jest większy niż 1 mikrometr, rozdzielczość będzie ograniczona przez separację między pikselami; ponadto aliasing może prowadzić do dalszego obniżenia wierności obrazu.

OTF niedoskonałego systemu soczewek

Niedoskonały, aberrowany system obrazowania może posiadać funkcję transferu optycznego przedstawioną na poniższym rysunku.

Rzeczywista część funkcji transferu optycznego nieprawidłowego, niedoskonałego systemu obrazowania.

Funkcja przenoszenia modulacji nieprawidłowego, niedoskonałego systemu obrazowania.

Obraz tarczy szprychowej zobrazowany przez aberrowany system optyczny.

Funkcja transferu i przykładowy obraz optycznego systemu obrazowania f/4 przy 500 nm z aberracją sferyczną o standardowym współczynniku Zernike 0,25.

Jako idealny system soczewek, kontrast osiąga zero przy częstotliwości przestrzennej 500 cykli na milimetr. Jednak przy niższych częstotliwościach przestrzennych kontrast jest znacznie niższy niż w przypadku doskonałego systemu w poprzednim przykładzie. W rzeczywistości kontrast staje się kilkakrotnie zerowy, nawet dla częstotliwości przestrzennych mniejszych niż 500 cykli na milimetr. To wyjaśnia szare okrągłe paski na obrazie szprych pokazanym na powyższym rysunku. Pomiędzy szarymi paskami szprychy wydają się odwracać z czerni na biel i odwrotnie , co określa się jako odwrócenie kontrastu, bezpośrednio związane z odwróceniem znaku w rzeczywistej części funkcji przenoszenia optycznego i przedstawia się jako przesunięcie o pół okresu dla niektórych wzorców okresowych.

Choć można by argumentować, że rozdzielczość zarówno idealnego, jak i niedoskonałego systemu wynosi 2 μm, czyli 500 LP/mm, to widać wyraźnie, że obrazy tego drugiego przykładu są mniej ostre. Definicja rozdzielczości, która jest bardziej zgodna z postrzeganą jakością, zamiast tego wykorzystuje częstotliwość przestrzenną, przy której występuje pierwsze zero, 10 μm lub 100 LP/mm. Definicje rozdzielczości, nawet dla doskonałych systemów obrazowania, są bardzo zróżnicowane. Pełniejszy, jednoznaczny obraz zapewnia funkcja przenoszenia optycznego.

OTF układu optycznego z nierotacyjną aberracją symetryczną

Oglądany przez układ optyczny z aberracją koniczyny obraz obiektu punktowego będzie wyglądał jak gwiazda trójramienna (a). Ponieważ funkcja rozsunięcia punktów nie jest obrotowo symetryczna, tylko dwuwymiarowa funkcja przenoszenia optycznego może ją dobrze opisać (b). Wysokość wykresu powierzchni wskazuje wartość bezwzględną, a odcień wskazuje złożony argument funkcji. Cel szprychowy zobrazowany przez takie urządzenie obrazujące jest pokazany w symulacji w (c).

Układy optyczne, aw szczególności aberracje optyczne nie zawsze są symetryczne obrotowo. Wzory okresowe, które mają inną orientację, mogą być zatem obrazowane z różnym kontrastem, nawet jeśli ich okresowość jest taka sama. Transmisja optyczna lub transmitancja modulacji są zatem ogólnie funkcjami dwuwymiarowymi. Poniższe rysunki przedstawiają dwuwymiarowy odpowiednik omówionego wcześniej układu idealnego i niedoskonałego, dla układu optycznego z trefoil , czyli aberrację nierotacyjno-symetryczną.

Funkcje transmisji optycznej nie zawsze mają wartość rzeczywistą. Wzorce okresowe mogą być przesunięte o dowolną wartość, w zależności od aberracji w systemie. Zwykle dzieje się tak w przypadku aberracji nieobrotowo-symetrycznych. Odcień kolorów wykresów powierzchni na powyższym rysunku wskazuje na fazę. Można zauważyć, że podczas gdy dla rotacyjnych aberracji symetrycznych faza wynosi 0 lub π, a zatem transmitancja ma wartość rzeczywistą, to dla nierotacyjnej aberracji symetrycznej transmitancja ma składową urojoną, a faza zmienia się w sposób ciągły.

Przykład praktyczny – system wideo wysokiej rozdzielczości

Podczas gdy rozdzielczość optyczna , powszechnie stosowana w odniesieniu do systemów kamer, opisuje tylko liczbę pikseli na obrazie, a tym samym możliwość pokazania drobnych szczegółów, funkcja transferu opisuje zdolność sąsiednich pikseli do zmiany koloru z czarnego na biały w odpowiedzi na wzory o różnej częstotliwości przestrzennej, a co za tym idzie rzeczywista zdolność do pokazywania drobnych szczegółów, zarówno z pełnym, jak i zmniejszonym kontrastem. Obraz reprodukowany za pomocą funkcji transferu optycznego, który „toczy się” przy wysokich częstotliwościach przestrzennych, będzie wydawał się „rozmazany” w języku potocznym.

Biorąc przykład z obecnego systemu wideo o wysokiej rozdzielczości (HD), o rozdzielczości 1920 na 1080 pikseli, twierdzenie Nyquista stwierdza, że ​​w idealnym systemie powinno być możliwe całkowite rozwiązanie (z prawdziwymi przejściami od czerni do bieli) łącznie 1920 czarno-białe naprzemienne linie, inaczej określane jako częstotliwość przestrzenna 1920/2=960 par linii na szerokość obrazu lub 960 cykli na szerokość obrazu (definicje w postaci cykli na jednostkę kąta lub na mm są również możliwe, ale ogólnie mniej wyraźny w przypadku kamer i bardziej odpowiedni dla teleskopów itp.). W praktyce jest to dalekie od przypadku, a częstotliwości przestrzenne, które zbliżają się do częstotliwości Nyquista, będą generalnie odtwarzane ze zmniejszającą się amplitudą, tak że drobne szczegóły, chociaż można je zobaczyć, są znacznie zmniejszone w kontraście. Prowadzi to do interesującej obserwacji, że na przykład obraz telewizyjny o standardowej rozdzielczości, uzyskany ze skanera filmowego, który wykorzystuje nadpróbkowanie , jak opisano później, może wydawać się ostrzejszy niż obraz o wysokiej rozdzielczości nagrany aparatem ze słabą funkcją transferu modulacji. Oba zdjęcia pokazują interesującą różnicę, która często jest pomijana, pierwszy ma pełny kontrast na szczegółach do pewnego momentu, ale potem nie ma naprawdę drobnych szczegółów, podczas gdy drugi zawiera drobniejsze szczegóły, ale z tak zmniejszonym kontrastem, że ogólnie wydaje się gorszy.

Trójwymiarowa funkcja transferu optycznego

Trójwymiarowe funkcje rozproszenia punktów (a,c) i odpowiadające im funkcje przenoszenia modulacji (b,d) mikroskopu szerokokątnego (a,b) i mikroskopu konfokalnego (c,d). W obu przypadkach apertura numeryczna obiektywu wynosi 1,49, a współczynnik załamania ośrodka 1,52. Przyjmuje się, że długość fali emitowanego światła wynosi 600 nm, a w przypadku mikroskopu konfokalnego – 500 nm przy polaryzacji kołowej. Sekcja jest wycinana, aby zwizualizować wewnętrzny rozkład intensywności. Kolory pokazane na logarytmicznej skali kolorów wskazują natężenie promieniowania (a,c) i gęstość widmową (b,d) znormalizowane do wartości maksymalnej.

Chociaż zwykle myśli się o obrazie jako o płaskim lub dwuwymiarowym, system obrazowania wytworzy trójwymiarowy rozkład natężenia w przestrzeni obrazu, który w zasadzie można zmierzyć. np. dwuwymiarowy czujnik można przełożyć na uchwycenie trójwymiarowego rozkładu natężenia. Obraz źródła punktowego jest również trójwymiarowym (3D) rozkładem natężenia, który może być reprezentowany przez funkcję rozproszenia punktów 3D. Jako przykład, rysunek po prawej pokazuje funkcję rozrzutu punktów 3D w przestrzeni obiektu mikroskopu szerokokątnego (a) obok mikroskopu konfokalnego (c). Chociaż używany jest ten sam obiektyw mikroskopu z aperturą numeryczną 1,49, jasne jest, że funkcja rozproszenia punktu konfokalnego jest bardziej zwarta zarówno w wymiarach bocznych (x,y), jak i osiowych (z). Można by słusznie stwierdzić, że rozdzielczość mikroskopu konfokalnego jest lepsza od mikroskopu szerokokątnego we wszystkich trzech wymiarach.

Trójwymiarową funkcję przenoszenia optycznego można obliczyć jako trójwymiarową transformatę Fouriera funkcji rozrzutu punktów 3D. Jego kodowana kolorami wielkość jest wykreślona w panelach (b) i (d), odpowiadających funkcjom rozrzutu punktowego pokazanym odpowiednio w panelach (a) i (c). Funkcja przenoszenia mikroskopu szerokokątnego ma oparcie o połowę mniejsze od mikroskopu konfokalnego we wszystkich trójwymiarowych, co potwierdza wcześniej zauważoną niższą rozdzielczość mikroskopu szerokokątnego. Zauważ, że wzdłuż osi z , dla x  =  y  = 0, funkcja transferu wynosi zero wszędzie z wyjątkiem początku. Ten brakujący stożek jest dobrze znanym problemem, który uniemożliwia cięcie optyczne przy użyciu mikroskopu szerokokątnego.

Dwuwymiarową transmitancję optyczną w płaszczyźnie ogniskowej można obliczyć przez całkowanie transmitancji optycznej 3D wzdłuż osi z . Chociaż funkcja przenoszenia 3D mikroskopem szerokokątnym (B) jest równa zero na oo -osiowy dla Z  ≠ 0; integralną, przeniesienie optyczny 2D, osiągając maksimum przy x  =  y  = 0, to jest możliwe tylko dlatego, że 3D przeniesienie funkcji optycznej rozbieżna na początku x  =  y  =  z  = 0. Wartości funkcyjne wzdłuż Z -osiowy z Funkcja transferu optycznego 3D odpowiada funkcji delta Diraca .

Obliczenie

Większość oprogramowania do projektowania optycznego ma funkcję obliczania funkcji przenoszenia optycznego lub modulacji konstrukcji obiektywu. Idealne systemy, takie jak w przykładach tutaj, są łatwo obliczane numerycznie przy użyciu oprogramowania takiego jak Julia , GNU Octave lub Matlab , a w niektórych szczególnych przypadkach nawet analitycznie. Funkcję przenoszenia optycznego można obliczyć na dwa sposoby:

1. jako transformata Fouriera funkcji rozproszenia punktu niespójnego , lub
2. jako autokorelacja funkcji źrenicy układu optycznego

Matematycznie oba podejścia są równoważne. Obliczenia numeryczne są zazwyczaj najefektywniej wykonywane za pomocą transformaty Fouriera; jednak obliczenia analityczne mogą być bardziej wykonalne przy użyciu podejścia autokorelacji.

Przykład

Idealny system soczewek z okrągłą przysłoną

Autokorelacja funkcji źrenicy

Ponieważ funkcja transferu optycznego jest transformatą Fouriera z funkcji rozpiętości punktu , a funkcja punktu rozproszonym kwadratowy bezwzględna odwrotnej transformacji Fouriera funkcji źrenicy , transmitancja optyczny może być obliczane bezpośrednio z funkcji źrenicy . Z twierdzenia splotu można zauważyć, że funkcja przenoszenia optyczny jest w rzeczywistości autokorelacji z funkcji źrenicy .

Funkcją źrenic idealnego układu optycznego z aperturą kołową jest dysk o promieniu jednostkowym. Transmisję optyczną takiego systemu można zatem obliczyć geometrycznie z obszaru przecięcia dwóch identycznych dysków w odległości , gdzie częstotliwość przestrzenna jest znormalizowana do najwyższej transmitowanej częstotliwości. Na ogół transmitancja optyczna jest znormalizowana do maksymalnej wartości 1 dla , więc wynikowy obszar należy podzielić przez . ${\displaystyle 2\nu}$${\displaystyle \nu}$${\ Displaystyle \ nu = 0}$${\displaystyle \pi}$

Pole przecięcia można obliczyć jako sumę pól dwóch identycznych odcinków kołowych : , gdzie jest kątem odcinków okręgu. Podstawiając , i używając równości i , równanie dla obszaru można przepisać jako . Stąd znormalizowana funkcja przenoszenia optycznego jest dana wzorem: ${\displaystyle \theta/2-\sin(\theta)/2}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle |\nu |=\cos(\theta/2)}$${\ Displaystyle \ sin (\ theta )/2 = \ sin (\ theta /2) \ cos (\ theta /2)}$${\ Displaystyle 1 = \ nu ^ {2} + \ grzech (\ arccos (| \ nu |)) ^ {2}}$${\ Displaystyle \ arccos (| \ nu |) - | \ nu | {\ sqrt {1-\ nu ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {OTF} (\ nu) = {\ Frac {2} {\ pi}} \ lewo (\ arccos (| \ nu |) - | \ nu | {\ sqrt {1-\ nu ^ { 2}}}\prawo).}$

Bardziej szczegółowe omówienie można znaleźć w i.

Ocena numeryczna

Jednowymiarową transmitancję optyczną można obliczyć jako dyskretną transformatę Fouriera funkcji rozproszenia linii. Dane te są przedstawiane w formie wykresu względem danych częstotliwości przestrzennej . W tym przypadku wielomian szóstego rzędu jest dopasowywany do krzywej MTF w funkcji częstotliwości przestrzennej, aby pokazać trend. 50% częstotliwość graniczna jest określana w celu uzyskania odpowiedniej częstotliwości przestrzennej. W ten sposób na podstawie tych danych określa się przybliżoną pozycję najlepszego skupienia testowanej jednostki .

Dane MTF w funkcji częstotliwości przestrzennej są normalizowane przez dopasowanie do nich wielomianu szóstego rzędu, tworząc gładką krzywą. Określana jest 50% częstotliwość graniczna i odpowiednia częstotliwość przestrzenna , dająca przybliżoną pozycję najlepszego ogniskowania .

Transformaty Fouriera funkcji rozproszenia linii (LSF) nie można wyznaczyć analitycznie za pomocą następujących równań:

${\ Displaystyle \ operatorname {MTF} = {\ mathcal {F}} \ lewo [\ operator {LSF} \ prawo] \ qquad \ qquad \ operatorname {MTF} = \ int f (x) e ^ {-i2 \ pi \,xs}\,dx}$

Dlatego transformata Fouriera jest aproksymowana numerycznie za pomocą dyskretnej transformaty Fouriera . ${\displaystyle {\mathcal {DFT}}}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {MTF} = {\ mathcal {DFT}} [\ nazwa operatora {LSF}] = Y_ {k} = \ suma _ {n = 0} ^ {N-1} y_ {n} e ^ { -ik{\frac {2\pi }{N}}n}\qquad k\in [0,N-1]}$

gdzie

• ${\ Displaystyle Y_ {k} \,}$= wartość MTF${\ Displaystyle k ^ {\ tekst {th}}}$
• ${\displaystyle N\,}$ = liczba punktów danych
• ${\displaystyle n\,}$ = indeks
• ${\displaystyle k\,}$= termin danych LSF${\ Displaystyle k ^ {\ tekst {th}}}$
• ${\displaystyle y_{n}\,}$= pozycja piksela${\displaystyle n^{\tekst{th}}\,}$
• ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

${\ Displaystyle e ^ {\ pm ia} = \ cos (a) \ \ pm \ ja \ sin (a)}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {MTF} = {\ mathcal {DFT}} [\ nazwa operatora {LSF}] = Y_ {k} = \ suma _ {n = 0} ^ {N-1} y_ {n} \ lewo [ \cos \left(k{\frac {2\pi }{N}}n\right)-i\sin \left(k{\frac {2\pi }{N}}n\right)\right]\ qquad k\in [0,N-1]}$

MTF jest następnie wykreślany w funkcji częstotliwości przestrzennej, a wszystkie istotne dane dotyczące tego testu mogą być określone z tego wykresu.

Wektorowa funkcja przenoszenia

Przy dużych aperturach numerycznych, takich jak te występujące w mikroskopii, ważne jest, aby wziąć pod uwagę wektorowy charakter pól przenoszących światło. Rozkładając fale na trzy niezależne składowe odpowiadające osiom kartezjańskim, można obliczyć funkcję rozrzutu punktowego dla każdej składowej i połączyć w wektorową funkcję rozrzutu punktowego. Podobnie wektorową funkcję przenoszenia optycznego można określić, jak pokazano w () i ().

Pomiar

Funkcja transmisji optycznej jest przydatna nie tylko przy projektowaniu układu optycznego, ale także jest cenna do scharakteryzowania produkowanych układów.

Począwszy od funkcji rozsiewu punktowego

Funkcja przenoszenia optyczny zdefiniowany jako transformacji Fouriera z odpowiedzi impulsowej układu optycznego, zwany również funkcję punktu rozproszonym . Optyczną funkcję przenoszenia można zatem łatwo uzyskać, najpierw pobierając obraz źródła punktowego i stosując dwuwymiarową dyskretną transformację Fouriera do próbkowanego obrazu. Takim źródłem punktowym może być np. jasne światło za ekranem z otworem na szpilkę, fluorescencyjna lub metaliczna mikrosfera lub po prostu kropka namalowana na ekranie. Obliczanie funkcji przenoszenia optycznego za pomocą funkcji rozproszenia punktu jest wszechstronne, ponieważ może w pełni scharakteryzować optykę ze zmiennością przestrzenną i aberracjami chromatycznymi, powtarzając procedurę dla różnych pozycji i widm długości fali źródła punktowego.

Korzystanie z rozszerzonych obiektów testowych dla przestrzennie niezmiennej optyki

Gdy można założyć, że aberracje są przestrzennie niezmienne, można zastosować alternatywne wzory do określenia funkcji przenoszenia optycznego, takie jak linie i krawędzie. Odpowiednie funkcje przenoszenia są określane odpowiednio jako funkcja rozproszenia linii i funkcja rozproszenia krawędzi. Takie rozszerzone obiekty oświetlają więcej pikseli na obrazie i mogą poprawić dokładność pomiaru dzięki większemu stosunkowi sygnału do szumu. Funkcja przenoszenia optycznego jest w tym przypadku obliczana jako dwuwymiarowa dyskretna transformata Fouriera obrazu i podzielona przez transformację obiektu rozciągniętego. Zazwyczaj używana jest linia lub czarno-biała krawędź.

Funkcja rozprzestrzeniania linii

Dwuwymiarowa transformata Fouriera prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych jest prostą prostopadłą do niej i przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Dzielnik jest zatem zerowy dla wszystkich z wyjątkiem jednego wymiaru, w konsekwencji funkcja przenoszenia optycznego może być określona tylko dla jednego wymiaru przy użyciu funkcji pojedynczego rozproszenia linii (LSF). W razie potrzeby dwuwymiarową funkcję przenoszenia optycznego można określić, powtarzając pomiar liniami pod różnymi kątami.

Funkcję rozsunięcia linii można znaleźć na dwa różne sposoby. Można go znaleźć bezpośrednio z aproksymacji idealnej linii dostarczonej przez cel testu szczeliny lub można go wyprowadzić z funkcji rozsunięcia krawędzi, omówionej w następnym podrozdziale.

Funkcja rozciągania krawędzi

Dwuwymiarowa transformata Fouriera krawędzi jest również niezerowa tylko na pojedynczej linii, prostopadłej do krawędzi. Ta funkcja jest czasami nazywana funkcją rozproszenia krawędzi (ESF). Jednak wartości na tej linii są odwrotnie proporcjonalne do odległości od początku. Chociaż obrazy pomiarowe uzyskane tą techniką oświetlają duży obszar kamery, wpływa to głównie na dokładność przy niskich częstotliwościach przestrzennych. Podobnie jak w przypadku funkcji rozproszenia linii, każdy pomiar określa tylko pojedyncze osie funkcji przenoszenia optycznego, zatem konieczne są powtórzone pomiary, jeżeli nie można założyć, że układ optyczny jest obrotowo symetryczny.

Oceniając ESF , operator określa obszar prostokąta odpowiadający 10% całkowitej powierzchni ramki testowego celu o krawędzi noża, podświetlonego od tyłu przez czarne ciało . Obszar jest zdefiniowany tak, aby obejmował krawędź docelowego obrazu.

Jak pokazano na rysunku po prawej stronie, operator definiuje obszar prostokąta obejmujący krawędź testowego obrazu celu testowego o ostrych krawędziach, podświetlonego od tyłu przez czarne ciało . Obszar pola jest zdefiniowany jako około 10% całkowitego obszaru ramki. Obraz pikseli danych przekłada się na dwuwymiarowej ( pikseli intensywności i pozycji piksela). Amplituda (intensywność pikseli) każdej linii w tablicy jest normalizowana i uśredniana. Daje to funkcję rozprzestrzeniania się krawędzi.

${\ Displaystyle \ operatorname {ESF} = {\ Frac {X-\ mu} {\ sigma}} \ qquad \ qquad \ sigma \, = {\ sqrt {\ Frac {\ suma _ {i = 0} ^ {n -1}(x_{i}-\mu \,)^{2}}{n}}}\qquad \qquad \mu \,={\frac {\sum _{i=0}^{n-1 }x_{i}}{n}}}$

gdzie

• ESF = tablica wyjściowa znormalizowanych danych o intensywności pikseli
• ${\displaystyle X\,}$ = tablica wejściowa danych intensywności pikseli
• ${\displaystyle x_{i}\,}$= i- ^ty element${\displaystyle X\,}$
• ${\ Displaystyle \ mu \,}$ = średnia wartość danych intensywności pikseli
• ${\displaystyle \sigma\,}$ = odchylenie standardowe danych intensywności pikseli
• ${\displaystyle n\,}$ = średnia liczba użytych pikseli

Funkcja rozsunięcia linii jest identyczna z pierwszą pochodną funkcji rozsunięcia krawędzi, która jest różnicowana za pomocą metod numerycznych . W przypadku, gdy bardziej praktyczne jest zmierzenie funkcji rozsunięcia krawędzi, można określić funkcję rozsunięcia linii w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ operatorname {LSF} = {\ Frac {d} {dx}} \ operatorname {ESF} (x)}$

Zazwyczaj ESF jest znany tylko w dyskretnych punktach, więc LSF jest aproksymowany numerycznie przy użyciu skończonej różnicy :

${\ Displaystyle \ operatorname {LSF} = {\ Frac {d} {dx}} \ operatorname {ESF} (x) \ około {\ Frac {\ Delta \ operatorname {ESF} }{\ Delta x}}}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {LSF} \ około {\ Frac {\ nazwa operatora {ESF} _ {i + 1} - \ nazwa operatora {ESF} _ {i-1}} {2 (x_ {i + 1} - x_ { i})}}}$

gdzie:

• ${\displaystyle i\,}$ = indeks ${\displaystyle i=1,2,\kropki,n-1}$
• ${\displaystyle x_{i}\,}$= pozycja piksela${\ Displaystyle i ^ {\ tekst {th}} \,}$${\ Displaystyle i ^ {\ tekst {th}} \,}$
• ${\ Displaystyle \ Operatorname {ESF} _ {i} \,}$= ESF piksela${\ Displaystyle i ^ {\ tekst {th}} \,}$

Korzystanie z siatki czarnych i białych linii

Chociaż „ostrość” jest często oceniana na podstawie wzorów siatki naprzemiennych czarnych i białych linii, powinna być ściśle mierzona przy użyciu wariacji fali sinusoidalnej od czerni do bieli (rozmyta wersja zwykłego wzoru). W przypadku użycia wzoru fali prostokątnej (proste czarno-białe linie) nie tylko istnieje większe ryzyko aliasingu, ale należy wziąć pod uwagę fakt, że podstawowy składnik fali prostokątnej jest wyższy niż amplituda samej fali prostokątnej ( składowe harmoniczne zmniejszają amplitudę szczytową). Wykres testowy fali prostokątnej pokaże zatem optymistyczne wyniki (lepsza rozdzielczość wysokich częstotliwości przestrzennych niż faktycznie osiągana). Wynik fali prostokątnej jest czasami określany jako „funkcja przenoszenia kontrastu” (CTF).

Czynniki wpływające na MTF w typowych systemach kamer

W praktyce wiele czynników powoduje znaczne rozmycie odtwarzanego obrazu, tak że wzory o częstotliwości przestrzennej tuż poniżej współczynnika Nyquista mogą być nawet niewidoczne, a najdrobniejsze wzory, które mogą wydawać się „rozmyte” jako odcienie szarości, a nie czerni i biały. Głównym czynnikiem jest zwykle niemożność wykonania idealnego filtra optycznego „ściany z cegieł” (często realizowanego jako „ płytka fazowa ” lub obiektyw o specyficznych właściwościach rozmycia w aparatach cyfrowych i kamerach wideo). Taki filtr jest niezbędny do zmniejszenia aliasingu poprzez eliminację częstotliwości przestrzennych powyżej częstotliwości Nyquista wyświetlacza.

Nadpróbkowanie i konwersja w dół w celu utrzymania funkcji transferu optycznego

Jedynym sposobem w praktyce, aby zbliżyć się do teoretycznej ostrości możliwej w cyfrowym systemie obrazowania, takim jak kamera, jest użycie większej liczby pikseli w matrycy aparatu niż próbek w końcowym obrazie oraz „konwersja w dół” lub „interpolacja” przy użyciu specjalnego przetwarzania cyfrowego, wyłączyć wysokie częstotliwości powyżej częstotliwości Nyquista, aby uniknąć aliasingu przy jednoczesnym utrzymaniu rozsądnie płaskiego MTF do tej częstotliwości. To podejście zostało po raz pierwszy zastosowane w latach 70., kiedy opracowano latające skanery punktowe, a później opracowano skanery liniowe CCD , które próbkowały więcej pikseli niż było to potrzebne, a następnie konwertowały w dół, dlatego filmy zawsze wyglądały ostrzej w telewizji niż inne materiały nagrane kamerą wideo . Jedynym teoretycznie poprawnym sposobem interpolacji lub konwersji w dół jest użycie stromego dolnoprzepustowego filtra przestrzennego, realizowanego przez splot z dwuwymiarową funkcją ważenia sin( x )/ x, która wymaga potężnego przetwarzania. W praktyce stosuje się różne przybliżenia matematyczne do tego, aby zmniejszyć zapotrzebowanie na przetwarzanie. Te przybliżenia są obecnie szeroko stosowane w systemach edycji wideo i programach do przetwarzania obrazu, takich jak Photoshop .

Podobnie jak wideo w standardowej rozdzielczości z wysokim kontrastem MTF jest możliwe tylko z nadpróbkowaniem, tak telewizja HD z pełną teoretyczną ostrością jest możliwa tylko po rozpoczęciu od kamery o znacznie wyższej rozdzielczości, a następnie filtrowaniu cyfrowym. Ponieważ filmy są teraz kręcone w rozdzielczości 4k, a nawet 8k dla kina, możemy spodziewać się najlepszych obrazów na telewizorze HD tylko z filmów lub materiałów nakręconych w wyższym standardzie. Bez względu na to, jak bardzo zwiększymy liczbę pikseli używanych w kamerach, zawsze pozostanie to prawdą w przypadku braku doskonałego optycznego filtra przestrzennego. Podobnie, 5-megapikselowy obraz uzyskany z 5-megapikselowego aparatu fotograficznego nigdy nie może być ostrzejszy niż 5-megapikselowy obraz uzyskany po konwersji w dół z 10-megapikselowego aparatu fotograficznego tej samej jakości. Ze względu na problem z utrzymaniem MTF o wysokim kontraście, nadawcy tacy jak BBC przez długi czas rozważali utrzymanie telewizji w standardowej rozdzielczości, ale poprawę jej jakości poprzez fotografowanie i oglądanie z dużo większą liczbą pikseli (choć jak wcześniej wspomniano, taki system, choć imponujący , ostatecznie brakuje bardzo drobnych szczegółów, które, choć osłabione, wzmacniają efekt oglądania w prawdziwym HD).

Innym czynnikiem w aparatach cyfrowych i kamerach jest rozdzielczość obiektywu. Można powiedzieć, że obiektyw „rozwiązuje” 1920 linii poziomych, ale to nie znaczy, że robi to z pełną modulacją od czerni do bieli. „Funkcja przenoszenia modulacji” (tylko termin określający wielkość funkcji przenoszenia optycznego z pominięciem fazy) daje prawdziwą miarę wydajności obiektywu i jest reprezentowana przez wykres amplitudy w funkcji częstotliwości przestrzennej.

Dyfrakcja apertury obiektywu również ogranicza MTF. Podczas gdy zmniejszenie apertury obiektywu zwykle zmniejsza aberracje, a tym samym poprawia płaskość MTF, istnieje optymalna apertura dla każdego obiektywu i rozmiaru czujnika obrazu, poza którą mniejsze apertury zmniejszają rozdzielczość z powodu dyfrakcji, która rozprasza światło na czujniku obrazu. Nie było to problemem w czasach kamer płytowych, a nawet filmów 35 mm, ale stało się ograniczeniem nie do pokonania w przypadku bardzo małych matryc stosowanych w niektórych aparatach cyfrowych, a zwłaszcza kamerach wideo. W konsumenckich kamerach HD pierwszej generacji zastosowano czujniki 1/4 cala, dla których przysłony mniejsze niż około f4 zaczynają ograniczać rozdzielczość. Nawet profesjonalne kamery wideo w większości wykorzystują czujniki 2/3 cala, zabraniając stosowania przysłon około f16, które byłyby uważane za normalne dla formatów filmowych. Niektóre aparaty (takie jak Pentax K10D ) posiadają tryb „automatycznej ekspozycji MTF”, w którym wybór przysłony jest zoptymalizowany pod kątem maksymalnej ostrości. Zazwyczaj oznacza to gdzieś pośrodku zakresu przysłony.

Trend do wielkoformatowych lustrzanek cyfrowych i zwiększony potencjał MTF

Ostatnio nastąpiła zmiana w kierunku używania wielkoformatowych cyfrowych lustrzanek jednoobiektywowych, spowodowana potrzebą niskiej czułości i wąskiej głębi ostrości . Doprowadziło to do tego, że niektórzy twórcy programów filmowych i telewizyjnych preferują takie kamery od nawet profesjonalnych kamer wideo HD ze względu na ich „filmowy” potencjał. Teoretycznie zastosowanie kamer z matrycami o rozdzielczości 16 i 21 megapikseli daje możliwość uzyskania niemal idealnej ostrości poprzez konwersję w dół w aparacie, z cyfrowym filtrowaniem w celu wyeliminowania aliasingu. Takie aparaty dają bardzo imponujące wyniki i wydają się być liderem w produkcji wideo w kierunku konwersji w dół do dużych formatów, przy czym filtrowanie cyfrowe staje się standardowym podejściem do realizacji płaskiego MTF z prawdziwą wolnością od aliasingu.

Cyfrowa inwersja funkcji transmisji optycznej

Ze względu na efekty optyczne kontrast może być nieoptymalny i zbliżać się do zera przed osiągnięciem częstotliwości Nyquista wyświetlacza. Optyczną redukcję kontrastu można częściowo odwrócić, selektywnie wzmacniając cyfrowo częstotliwości przestrzenne przed wyświetleniem lub dalszym przetwarzaniem. Chociaż istnieją bardziej zaawansowane procedury przywracania obrazu cyfrowego , algorytm dekonwolucji Wienera jest często używany ze względu na jego prostotę i wydajność. Ponieważ technika ta mnoży przestrzenne składowe widmowe obrazu, wzmacnia również szum i błędy spowodowane np. aliasingiem. Dlatego jest skuteczny tylko w przypadku nagrań dobrej jakości o wystarczająco wysokim stosunku sygnału do szumu.

Ograniczenia

Ogólnie rzecz biorąc, funkcja rozproszenia punktu , obraz źródła punktowego zależy również od takich czynników, jak długość fali ( kolor ) i kąt pola (boczna pozycja źródła punktowego). Gdy taka zmiana jest dostatecznie stopniowa, układ optyczny można scharakteryzować za pomocą zestawu funkcji przenoszenia optycznego. Jednakże, gdy obraz źródła punktowego zmienia się gwałtownie po przesunięciu bocznym, funkcja przenoszenia optycznego nie opisuje dokładnie układu optycznego.

Zobacz też

• Bokeh
• Korekcja gamma
• Minimalny rozdzielczy kontrast
• Minimalna możliwa do ustalenia różnica temperatur
• Rozdzielczość optyczna
• Stosunek sygnału do szumu
• Funkcja przesyłania sygnału
• Współczynnik Strehla
• Funkcja transferu
• Kodowanie falowe

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• „Funkcja transferu modulacji” , autorstwa Glenna D. Boremana na SPIE Optipedia.
• „Jak mierzyć MTF i inne właściwości soczewek” , Optikos Corporation.