Wykres mieszany - Mixed graph

Miesza wykres G = ( V , E , ) jest obiektem matematyczny składający się z szeregu wierzchołków (lub węzłów ) V , zestaw (niekierowanego) krawędzie E i zestaw skierowane krawędzie (lub łuki) A .

Definicje i notacja

Rozważ sąsiadujące wierzchołki . Skierowana krawędź , zwany łuk jest krawędź z orientacją i mogą być oznaczone jako lub (Uwaga: jest ogona i jest głowica łuku). Ponadto krawędź nieskierowana lub krawędź jest krawędzią bez orientacji i może być oznaczona jako lub . ${\ Displaystyle u, v \ w V}$${\displaystyle {\overrightarrow {uv}}}$${\displaystyle (u,v)}$${\ Displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle uv}$${\displaystyle [u,v]}$

Na potrzeby naszego przykładu aplikacji nie będziemy rozważać pętli ani wielu krawędzi mieszanych grafów.

Odległości w mieszanym wykresu jest sekwencją wierzchołków i krawędzi / łuki tak, że dla wszystkich wskaźników , albo jest krawędź grafu lub jest łukiem wykresu. Ten spacer jest ścieżką, jeśli nie powtarza żadnych krawędzi, łuków ani wierzchołków, z wyjątkiem prawdopodobnie pierwszego i ostatniego wierzchołka. Ścieżka jest zamknięta, jeśli jej pierwszy i ostatni wierzchołek są takie same, a ścieżka zamknięta jest cyklem, jeśli nie powtarza wierzchołków, z wyjątkiem pierwszego i ostatniego. Wykres mieszany jest acykliczny, jeśli nie zawiera cyklu. ${\displaystyle v_{0},c_{1},v_{1},c_{2},v_{2},\kropki,c_{k},v_{k}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle c_{i}=v_{i}v_{i+1}}$${\ Displaystyle c_ {i} = {\ overrightarrow {v_ {i} v_ {i + 1}}}}$

Kolorowanie

Kolorowanie grafu mieszanego można traktować jako etykietowanie lub przypisanie k różnych kolorów (gdzie k jest dodatnią liczbą całkowitą) wierzchołkom grafu mieszanego. Różne kolory muszą być przypisane do wierzchołków, które są połączone krawędzią. Kolory mogą być reprezentowane przez liczby od 1 do k , a dla łuku skierowanego ogon łuku musi być pokolorowany mniejszą liczbą niż główka łuku.

Przykład

Rozważmy na przykład rysunek po prawej stronie. Nasze dostępne k-kolory do pokolorowania naszego mieszanego wykresu to . Ponieważ i są połączone krawędzią, muszą otrzymać różne kolory lub etykiety ( i są odpowiednio oznaczone 1 i 2). Mamy też łuk od do . Ponieważ orientacja przypisuje kolejność, musimy oznaczyć ogon ( ) mniejszym kolorem (lub liczbą całkowitą z naszego zestawu) niż głowa ( ) naszego łuku. ${\ Displaystyle \ {1,2,3 \}}$${\ Displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\ Displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$

Mocna i słaba kolorystyka

(Silny) odpowiednie k -coloring mieszanego wykresu jest funkcją

${\displaystyle c:V\rightarrow [k]}$gdzie takie, że jeśli i jeśli . ${\displaystyle [k]:={1,2,\kropki,k}}$${\displaystyle c(u)\neq c(v)}$${\displaystyle uv\w e}$${\displaystyle c(u)<c(v)}$${\displaystyle {\overrightarrow {uv}}\w A}$

Można zastosować słabszy warunek na naszych łukach i możemy uznać słabe prawidłowe k -kolorowanie grafu mieszanego za funkcję

${\displaystyle c:V\rightarrow [k]}$gdzie takie, że jeśli i jeśli . Wracając do naszego przykładu, oznacza to, że zarówno głowę, jak i ogon możemy oznaczyć dodatnią liczbą całkowitą 2. ${\displaystyle [k]:={1,2,\kropki,k}}$${\displaystyle c(u)\neq c(v)}$${\displaystyle uv\w e}$${\displaystyle c(u)\leq c(v)}$${\displaystyle {\overrightarrow {uv}}\w A}$${\displaystyle (v,w)}$

Istnienie

Kolorowanie może, ale nie musi istnieć dla grafu mieszanego. Aby wykres mieszany miał k-kolorowanie, wykres nie może zawierać żadnych cykli skierowanych. Jeśli takie k-kolorowanie istnieje, to najmniejsze k potrzebne do prawidłowego pokolorowania naszego wykresu odnosimy do liczby chromatycznej , oznaczanej . Możemy policzyć liczbę właściwych k-kolorowań jako funkcję wielomianową k. Nazywa się to wielomianem chromatycznym naszego grafu G (przez analogię do wielomianu chromatycznego grafów nieskierowanych) i może być oznaczone jako . ${\ Displaystyle \ chi (G)}$${\ Displaystyle \ chi _ {G} (k)}$

Obliczanie słabych wielomianów chromatycznych

Sposób delecją skurcz może być używany do obliczania słabe chromatycznych wielomianów mieszanych wykresów. Ta metoda polega na usunięciu (lub usunięciu) krawędzi lub łuku i skróceniu (lub połączeniu) pozostałych wierzchołków przychodzących do tej krawędzi (lub łuku), aby utworzyć jeden wierzchołek. Po usunięciu krawędzi , z grafu mieszanego otrzymujemy graf mieszany . To usunięcie krawędzi możemy oznaczyć jako . Podobnie, usuwając łuk, , z grafu mieszanego, otrzymujemy miejsce, w którym możemy oznaczyć usunięcie jako . Możemy również oznaczyć skrócenie odpowiednio i as i . Z twierdzeń podanych w otrzymujemy następujące równania do obliczenia wielomianu chromatycznego grafu mieszanego: ${\displaystyle e}$${\ Displaystyle G = (V, E, A)}$${\ Displaystyle (V, Ee, A)}$${\displaystyle e}$${\ Displaystyle Ge}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle (V, E, Aa)}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle Ga}$${\displaystyle e}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G/e}$${\displaystyle G/a}$

1. ${\ Displaystyle \ chi _ {G} (k) = \ chi _ {ge} (k) - \ chi _ {G / e} (k)}$,
2. ${\ Displaystyle \ chi _ {G} (k) = \ chi _ {Ga} (k) + \ chi _ {G / a} (k) - \ chi _ {G_ {a}} (k)}$.

Aplikacje

Problem z planowaniem

Wykresy mieszane mogą być używane do modelowania problemów z harmonogramowaniem warsztatów , w których wykonywany jest zbiór zadań, z zastrzeżeniem pewnych ograniczeń czasowych. W tego rodzaju problemie nieskierowane krawędzie można wykorzystać do modelowania ograniczenia, że ​​dwa zadania są niezgodne (nie mogą być wykonywane jednocześnie). Krawędzie skierowane mogą być używane do modelowania ograniczeń pierwszeństwa, w których jedno zadanie musi być wykonane przed innym. Tak zdefiniowany graf z zadania szeregowania nazywamy grafem rozłącznym . Problem kolorowania grafów mieszanych można wykorzystać do znalezienia harmonogramu o minimalnej długości wykonania wszystkich zadań.

Wnioskowanie bayesowskie

Wykresy mieszane są również używane jako modele graficzne do wnioskowania bayesowskiego . W tym kontekście acykliczny graf mieszany (bez cykli skierowanych krawędzi) jest również nazywany grafem łańcuchowym . Skierowane krawędzie tych wykresów służą do wskazania związku przyczynowego między dwoma zdarzeniami, w których wynik pierwszego zdarzenia wpływa na prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia. Nieskierowane krawędzie wskazują natomiast na nieprzyczynową korelację między dwoma zdarzeniami. Połączony składnik podgrafu nieskierowanego grafu łańcuchowego nazywa się łańcuchem. Graf łańcuchowy można przekształcić w graf nieskierowany, konstruując jego graf moralny , graf nieskierowany utworzony z grafu łańcuchowego przez dodanie nieskierowanych krawędzi między parami wierzchołków, które mają krawędzie wychodzące do tego samego łańcucha, a następnie zapomnienie orientacji skierowanych krawędzi .

Uwagi

Bibliografia

• Beck, M.; Blado, D.; Crawford, J.; Jean-Louis, T.; Young, M. (2013), „O słabych wielomianach chromatycznych grafów mieszanych”, Graphs and Combinatorics , arXiv : 1210.4634 , doi : 10.1007/s00373-013-1381-1.
• Cowell, Robert G.; Dawid, A. Filip ; Lauritzen, Steffen L .; Spiegelhalter, David J. (1999), Sieci probabilistyczne i systemy eksperckie: dokładne metody obliczeniowe dla sieci bayesowskich , Springer-Verlag New York, s. 27, doi : 10.1007/0-387-22630-3 , ISBN 0-387-98767-3
• Hansena, Pierre'a; Kuplińskiego, Julio; de Werra, Dominique (1997), „Mieszane barwienia wykresów”, Matematyczne Metody Badań Operacyjnych , 45 (1): 145-160, doi : 10.1007/BF01194253 , MR  1435900.
• Ries, B. (2007), "Kolorowanie niektórych klas wykresów mieszanych", Discrete Applied Mathematics , 155 (1): 1-6, doi : 10.1016/j.dam.2006.05.004 , MR  2281351.

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Wykres mieszany” . MatematykaŚwiat .