Notacja indeksu - Index notation

W matematyki i programowania komputerowego , notacja wskaźnik jest używany do określenia elementów tablicy liczb. Formalizm wykorzystania indeksów różni się w zależności od tematu. W szczególności istnieją różne metody odwoływania się do elementów listy, wektora lub macierzy, w zależności od tego, czy piszemy formalną pracę matematyczną do publikacji, czy też piszemy program komputerowy .

W matematyce

W matematyce często pomocne jest odwoływanie się do elementów tablicy za pomocą indeksów dolnych. Indeksy mogą być liczbami całkowitymi lub zmiennymi . Tablica przyjmuje ogólnie postać tensorów , ponieważ można je traktować jako tablice wielowymiarowe. Szczególnymi (i bardziej znanymi) przypadkami są wektory (macierze 1d) i macierze ( macierze 2d).

Poniżej znajduje się jedynie wprowadzenie do pojęcia: notacja indeksowa jest stosowana bardziej szczegółowo w matematyce (zwłaszcza w przedstawianiu i manipulowaniu operacjami tensorowymi ). Więcej informacji znajdziesz w głównym artykule.

Tablice jednowymiarowe (wektory)

Wektor traktowany jako tablica liczb przez zapisanie jako wektor wierszowy lub wektor kolumnowy (w zależności od tego, który z nich zostanie użyty, zależy od wygody lub kontekstu):

${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ zacząć {pmatrix} a_ {1} \ \ a_ {2} \ \ \ vdots \ \ a_ {n} \ koniec {pmatrix}}, \ quad \ mathbf {a} = {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}}$

Notacja indeksowa pozwala na wskazanie elementów tablicy przez proste napisanie a _i , gdzie indeks i jest znany jako biegnący od 1 do n , z powodu n-wymiarów. Na przykład, biorąc pod uwagę wektor:

${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ zacząć {pmatrix} 10 i 8 i 9 i 6 i 3 i 5 \\\ koniec {pmatrix}}}$

to niektóre wpisy są

${\ Displaystyle a_ {1} = 10 \ a_ {2} = 8 \ \ cdots \ a_ {6} = 5}$.

Notację można zastosować do wektorów w matematyce i fizyce . Następujące równanie wektorowe

${\ Displaystyle \ mathbf {a} + \ mathbf {b} = \ mathbf {c}}$

można również zapisać w kategoriach elementów wektora (inaczej składowych), czyli

${\ Displaystyle a_ {i} + b_ {i} = c_ {i}}$

gdzie indeksy przyjmują określony zakres wartości. To wyrażenie reprezentuje zestaw równań, po jednym dla każdego indeksu. Jeśli każdy z wektorów ma n elementów, co oznacza i = 1,2,… n , to równania są jawnie

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} a_ {1} + b_ {1} & = c_ {1} \ \ a_ {2} + b_ {2} & = c_ {2} \ \ & \ \ \ vdots \ \ a_{n}+b_{n}&=c_{n}\end{wyrównany}}}$

W związku z tym notacja indeksowa służy jako skuteczny skrót dla

1. przedstawienie ogólnej struktury do równania,
2. podczas gdy ma zastosowanie do poszczególnych komponentów.

Tablice dwuwymiarowe

Elementy macierzy A opisane są dwoma dolnymi indeksami lub indeksami.

Do opisu tablic liczb w dwóch lub więcej wymiarach, takich jak elementy macierzy, używany jest więcej niż jeden indeks (patrz także obrazek po prawej);

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ zacząć {pmatrix} a_ {11} i a_ {12} i \ cdots i a_ {1n} \ \ a_ {21} i a_ {22} \ cdots i a_ {2n} \ \ \ vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}}$

Wpis macierzy A jest zapisany przy użyciu dwóch indeksów, powiedzmy i i j , z przecinkami lub bez, aby oddzielić indeksy: a _ij lub a _i,j , gdzie pierwszy indeks dolny to numer wiersza, a drugi to numer kolumny. Zestawienie jest również używane jako notacja do mnożenia; może to być źródłem zamieszania. Na przykład, jeśli

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ zacząć {pmatrix} 9 i 8 i 6 \ \ 1 i 2 i 7 \ \ 4 i 9 i 2 \ \ 6 i 0 i 5 \ koniec {pmatrix}}}$

to niektóre wpisy są

${\ Displaystyle a_ {11} = 9, \, a_ {12} = 8, \, a_ {21} = 1, \, \ cdots, \, a_ {23} = 7, \, \ cdots}$.

Indeksy większe niż 9, oznaczenie przecinek oparte może być korzystne (np _3,12 zamiast ₃₁₂ ).

Równania macierzowe są pisane podobnie do równań wektorowych, takich jak

${\ Displaystyle \ mathbf {A} + \ mathbf {B} = \ mathbf {C}}$

pod względem elementów matryc (czyli komponentów)

${\ Displaystyle A_ {ij} + B_ {ij} = C_ {ij}}$

dla wszystkich wartości i oraz j . Znowu to wyrażenie reprezentuje zestaw równań, po jednym dla każdego indeksu. Jeśli macierze mają po m wierszy i n kolumn, co oznacza, i = 1, 2, ..., m i j = 1, 2, ..., N , następnie są MN równań.

Tablice wielowymiarowe

Notacja pozwala na wyraźne uogólnienie na wielowymiarowe tablice elementów: tensory. Na przykład,

${\displaystyle A_{i_{1}i_{2}\cdots}+B_{i_{1}i_{2}\cdots}=C_{i_{1}i_{2}\cdots}}$

reprezentujący zbiór wielu równań.

W analizie tensorowej indeksy górne są używane zamiast indeksów dolnych, aby odróżnić byty kowariantne od kontrawariantnych, patrz kowariancja i kontrawariancja wektorów oraz indeksy podnoszące i obniżające .

W informatyce

W kilku językach programowania notacja indeksowa jest sposobem adresowania elementów tablicy. Ta metoda jest używana, ponieważ jest najbliższa temu, jak jest zaimplementowana w języku asemblerowym, gdzie adres pierwszego elementu jest używany jako podstawa, a wielokrotność (indeks) rozmiaru elementu jest używana do adresowania wewnątrz tablicy.

Na przykład, jeśli tablica liczb całkowitych jest przechowywana w regionie pamięci komputera zaczynając od komórki pamięci o adresie 3000 ( adres bazowy ), a każda liczba całkowita zajmuje cztery komórki (bajty), to elementy tej tablicy znajdują się w pamięci lokalizacje 0x3000, 0x3004, 0x3008, …, 0x3000 + 4( n − 1) (zwróć uwagę na numerację od zera ). Ogólnie adres i- tego elementu tablicy o adresie bazowym b i rozmiarze elementu s to b + is .

Szczegóły dotyczące wdrożenia

W języku programowania C możemy zapisać powyższe jako *(base + i)(forma wskaźnika) lub base[i](forma indeksowania tablicy), co jest dokładnie równoważne, ponieważ standard C definiuje formę indeksowania tablicy jako transformację do formy wskaźnika. Przypadkowo, ponieważ dodawanie wskaźnika jest przemienne, pozwala to na niejasne wyrażenia, takie jak 3[base]równoważne z base[3].

Tablice wielowymiarowe

Sprawy stają się ciekawsze, gdy weźmiemy pod uwagę tablice z więcej niż jednym indeksem, na przykład dwuwymiarową tabelę. Mamy trzy możliwości:

• uczynić dwuwymiarową tablicę jednowymiarową, obliczając pojedynczy indeks z dwóch
• rozważ tablicę jednowymiarową, w której każdy element jest inną tablicą jednowymiarową, tj. tablicą tablic
• użyj dodatkowej pamięci do przechowywania tablicy adresów każdego wiersza oryginalnej tablicy i przechowuj wiersze oryginalnej tablicy jako oddzielne tablice jednowymiarowe

W C można zastosować wszystkie trzy metody. Kiedy używana jest pierwsza metoda, programista decyduje o tym, jak elementy tablicy są rozmieszczone w pamięci komputera i dostarcza formuły do ​​obliczenia położenia każdego elementu. Druga metoda jest stosowana, gdy liczba elementów w każdym wierszu jest taka sama i znana w momencie pisania programu. Programista deklaruje, że tablica ma, powiedzmy, trzy kolumny, pisząc np elementtype tablename[][3];. . Następnie odwołujemy się do konkretnego elementu tablicy, pisząc tablename[first index][second index]. Kompilator oblicza całkowitą liczbę komórek pamięci zajmowanych przez każdy wiersz, używa pierwszego indeksu do znalezienia adresu żądanego wiersza, a następnie używa drugiego indeksu do znalezienia adresu żądanego elementu w wierszu. Kiedy używana jest trzecia metoda, programista deklaruje tablicę jako tablicę wskaźników, tak jak w elementtype *tablename[];. Gdy programista następnie określa konkretny element tablename[first index][second index], kompilator generuje instrukcje wyszukiwania adresu wiersza określonego przez pierwszy indeks i używa tego adresu jako podstawy podczas obliczania adresu elementu określonego przez drugi indeks.

Przykład

Ta funkcja mnoży przez siebie dwie macierze zmiennoprzecinkowe 3×3.

 void mult3x3f(float result[][3], const float A[][3], const float B[][3])
 {
   int i, j, k;
   for (i = 0; i < 3; ++i) {
     for (j = 0; j < 3; ++j) {
       result[i][j] = 0;
       for (k = 0; k < 3; ++k)
         result[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
     }
   }
 }

W innych językach

W innych językach programowania, takich jak Pascal, indeksy mogą zaczynać się od 1, więc indeksowanie w bloku pamięci można zmienić, aby dopasować się do schematu adresowania start-at-1 przez prostą transformację liniową – w tym schemacie lokalizacja pamięci i -ty element o adresie bazowym b i rozmiarze elementu s to b + ( i − 1) s .

Bibliografia

• Programowanie w C++ , J. Hubbard, zarysy Schauma, McGraw Hill (USA), 1996, ISBN  0-07-114328-9
• Rachunek tensorowy , DC Kay, zarysy Schauma , McGraw Hill (USA), 1988, ISBN  0-07-033484-6
• Metody matematyczne dla fizyki i inżynierii , KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-86153-3