Uogólnione twierdzenie Stokesa - Generalized Stokes theorem

Część serii artykułów o
Rachunek różniczkowy
Twierdzenie podstawowe integralna reguła Leibniza Granice funkcji Ciągłość Twierdzenie o wartości średniej Twierdzenie Rolle'a
Mechanizm różnicowy Definicje Pochodna  ( uogólnienia ) Mechanizm różnicowy nieskończenie mały funkcji całkowity Koncepcje Notacja różniczkowa Druga pochodna Niejawne zróżnicowanie Różnicowanie logarytmiczne Powiązane stawki Twierdzenie Taylora Zasady i tożsamości Suma Produkt Łańcuch Moc Iloraz Zasada L'Hôpital Odwrotność Generał Leibniz Formuła Faà di Bruno Reynoldsa
Całka Listy całek Transformacja całkowa Definicje Pochodna pierwotna Całka  ( niewłaściwa ) Całka Riemanna Integracja Lebesgue'a Integracja konturu Całka funkcji odwrotnych Integracja przez Części Dyski Cylindryczne muszle Podstawienie  ( trygonometryczne , Weierstrassa , Eulera ) Wzór Eulera Frakcje częściowe Zmiana kolejności Formuły redukcyjne Różniczkowanie pod znakiem całkowym Algorytm Richa
Seria Geometryczny  ( arytmetyczno-geometryczny ) Harmoniczny Zmienny Moc Dwumianowy Taylor Testy konwergencji Limit sumy (test terminowy) Stosunek Źródło Całka Bezpośrednie porównanie Porównanie limitów Seria naprzemienna Kondensacja Cauchy'ego Dirichleta Abel
Wektor Gradient Rozbieżność Kędzior Laplace'a Kierunkowa pochodna Tożsamości Twierdzenia Gradient Warzywa Stokesa Rozbieżność uogólniony Stokes
Wiele zmiennych Formalizmy Matryca Napinacz Zewnętrzny Geometryczny Definicje Częściowa pochodna Wielokrotna całka Całka liniowa Całka powierzchniowa Całka objętości Jakobian heski
Specjalistyczne Frakcyjny Maliavin Stochastyczny Wariacje
Różnorodny Wstępny rachunek różniczkowy Historia Słowniczek Lista tematów Pszczoła integracyjna Analiza
v T mi

W rachunku wektorowego i różnica geometria te uogólnione twierdzenie Stokesa (czasami z apostrof jako Twierdzenie Stokesa lub twierdzenia Stokesa ), zwany również twierdzenie Stokesa-Cartan , jest oświadczenie o integracji z różniczkowych form na kolektorach , które wspólnie upraszcza i uogólnia kilku twierdzeń z rachunku wektorowego . Jest to uogólnienie podstawowego twierdzenia Isaaca Newtona o rachunku różniczkowym, które wiąże dwuwymiarowe całki krzywoliniowe z trójwymiarowymi całkami powierzchniowymi.

Twierdzenie Stokesa mówi, że całka z formy różniczkowej ω po granicy pewnej orientowanej rozmaitości Ω jest równa całce jej zewnętrznej pochodnej dω po całości Ω , tj.

${\ Displaystyle \ int _ {\ częściowy \ omega} \ omega = \ int _ {\ omega} d \ omega \,.}$

Twierdzenie Stokesa zostało sformułowane we współczesnej formie przez Élie Cartana w 1945 roku, po wcześniejszych pracach nad uogólnieniem twierdzeń rachunku wektorowego przez Vito Volterrę , Édouarda Goursata i Henri Poincarégo .

Ta nowoczesna forma Stokes' twierdzenie jest ogromna uogólnienie z klasycznego wyniku , że Lord Kelvin przekazane George Stokes w piśmie z dnia 2 lipca 1850 r Stokes ustawić twierdzenie jako pytanie o 1854 nagród Smitha egzaminu, co doprowadziło do wyniku noszący jego imię. Po raz pierwszy została opublikowana przez Hermann Hankel w 1861. Te klasyczne Kelvina-Stokesa twierdzenie odnosi się całkę powierzchni z dyni z pola wektorowego F nad powierzchnią (to znaczy, że strumień z zagięciem F ) w euklidesowej trzy miejsca do całki linia pola wektorowego nad jego granicą (znaną również jako całka pętlowa).

Prosty przykład klasycznej analizy wektorowej

Niech γ : [ a , b ] → R ² będzie odcinkowo gładką krzywą płaszczyzny Jordana . Krzywa Jordana Oznacza to, że y dzieli R ² na dwie części, A zwarty jeden, a inny, który nie jest zwarte. Niech D oznacza część zwartą, która jest ograniczona przez γ i załóżmy, że ψ : D → R ³ jest gładkie, z S  := ψ ( D ) . Jeśli Γ jest krzywą przestrzenną określoną przez Γ( t ) = ψ ( γ ( t )) i F jest gładkim polem wektorowym na R ³ , wtedy:

${\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} \ mathbf {f} \ \ cdot \ d {\ mathbf {\ gamma}} = \ iint _ {S} \ nabla \ razy \ mathbf {f} \ \ cdot \,d\mathbf {S} }$

To klasyczne stwierdzenie, jest szczególnym przypadkiem ogólnego sformułowania podanego powyżej po dokonaniu identyfikacji pola wektorowego z postacią 1 i jego zwinięcia w postaci dwupostaciowej poprzez

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} F_ {x} \ \ F_ {y} \ \ F_ {z} \ \ \ koniec {pmatrix}} \ cdot d \ Gamma \ do F_ {x} \ dx + F_ { y}\,dy+F_{z}\,dz}$

${\ Displaystyle \ nabla \ razy {\ zacząć {pmatrix} F_ {x} \ \ F_ {y} \ \ F_ {z} \ koniec {pmatrix}} \ cdot d \ mathbf {S} = {\ zacząć {pmatrix} \partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\\\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\\\partial _{ x}F_{y}-\częściowy _{y}F_{x}\\\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} \to }$

${\ Displaystyle d (F_ {x} \ dx + F_ {y} \ dy + F_ {z} \ dz) = (\ częściowy _ {y} F_ {z} - \ częściowy _ {z} F_ { y})\,dy\wedge dz+(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z})\,dz\wedge dx+(\partial _{x}F_{y}- \partial _{y}F_{x})\,dx\wedge dy}$.

Inne klasyczne uogólnieniem podstawowego twierdzenia rachunku jak na twierdzeniu rozgałęzienia i zielony Twierdzenie to specjalne przypadki o ogólnym formulacji podanej powyżej po wprowadzeniu do standardowego identyfikacji pola wektorowego z formy różnicowego (różne dla każdej z klasycznych twierdzeń).

Wstęp

Podstawowym twierdzenie nazębnego stanowi, że zintegrowany z funkcją f nad przedziale [ , b ] może zostać obliczone poprzez znalezienie pierwotna F o  f :

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ dx = F (b) - F (a) \ ,.}$

Twierdzenie Stokesa jest rozległym uogólnieniem tego twierdzenia w następującym sensie.

• Wybierając F , dF/dx= f ( x ) . W żargonie o formach różniczkowych oznacza to, że f ( x ) dx jest zewnętrzną pochodną formy 0, tj. funkcji F : innymi słowy, że dF = f dx . Ogólne twierdzenie Stokesa dotyczy wyższych form różniczkowych ω zamiast tylko form zerowych, takich jak F .
• Przedział domknięty [ a , b ] jest prostym przykładem jednowymiarowej rozmaitości z brzegiem . Jego granicą jest zbiór składający się z dwóch punktów a i b . Całkowanie f na przedziale można uogólnić na całkowanie form na rozmaitości wyższego wymiaru. Potrzebne są dwa warunki techniczne: rozmaitość musi być orientowalna , a forma musi być zwarta podparta w celu uzyskania dobrze zdefiniowanej całki.
• Dwa punkty a i b tworzą granicę przedziału domkniętego. Mówiąc bardziej ogólnie, twierdzenie Stokesa odnosi się do zorientowanych rozmaitości M z brzegiem. Granica ∂ M o M jest sama rura rozgałęźna i dziedziczy naturalna orientacja od tego M . Na przykład naturalna orientacja przedziału daje orientację dwóch punktów granicznych. Intuicyjnie a dziedziczy przeciwną orientację jako b , ponieważ znajdują się na przeciwległych końcach przedziału. Zatem „całkowanie” F nad dwoma punktami granicznymi a , b jest przyjmowaniem różnicy F ( b ) − F ( a ) .

Mówiąc prościej, punkty można traktować jako granice krzywych, czyli 0-wymiarowe granice rozmaitości 1-wymiarowych. Tak więc, tak jak można znaleźć wartość całki ( f dx = dF ) po jednowymiarowej rozmaitości ( [ a , b ] ) przez rozważenie funkcji antypochodnej ( F ) na granicach 0-wymiarowych ( { a , b }), można uogólnić podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego, z kilkoma dodatkowymi zastrzeżeniami, aby poradzić sobie z wartością całek ( dω ) nad n- wymiarowymi rozmaitościami ( Ω ) przez rozważenie funkcji pierwotnej ( ω ) przy ( n − 1 ) - granice wymiarowe ( ∂Ω ) rozmaitości.

Zatem podstawowe twierdzenie brzmi:

${\ Displaystyle \ int _ {[a, b]} f (x) \ dx = \ int _ {[a, b]} \ dF = \ int _ {\ {a \} ^ {-} \ filiżanka \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a)\,.}$

Formuła dla gładkich rozmaitości z brzegiem

Niech Ω być zorientowane gładka kolektor z granica wymiaru n i pozwolić α być gładka n - postać różnicowego , który jest zwarty wspierany na Ohm . Po pierwsze, załóżmy, że α jest zwięźle obsługiwany w dziedzinie pojedynczego, zorientowanego wykresu współrzędnych { U , φ } . W tym przypadku całkę α przez Ω definiujemy jako

to znaczy przez pullback z alfa do R ⁿ .

Bardziej ogólnie, całka α przez Ω jest zdefiniowana w następujący sposób: Niech { ψ _i } będzie podziałem jedności związanym z lokalnie skończonym pokryciem { U _i , φ _i } (konsekwentnie zorientowanych) wykresów współrzędnych, a następnie zdefiniuj całkę

gdzie każdy składnik sumy jest oceniany przez cofnięcie się do R ^n, jak opisano powyżej. Ta ilość jest dobrze określona; to znaczy nie zależy od wyboru wykresów współrzędnych ani od podziału jedności.

Uogólnione twierdzenie Stokesa brzmi:

Tradycyjnie jest skracane jako , ponieważ wycofanie formy różniczkowej przez mapę inkluzji jest po prostu jej ograniczeniem do jej domeny: . Tutaj jest zewnętrzny pochodna , który jest określony tylko przy użyciu rozdzielacza strukturę. Prawa strona jest czasami zapisywana, aby podkreślić fakt, że -rozmaitość nie ma granic. (Fakt ten jest również implikacją twierdzenia Stokesa, ponieważ dla danej gładkowymiarowej rozmaitości , zastosowanie twierdzenia dwukrotnie daje dla dowolnej formy , co implikuje, że .) Prawa strona równania jest często używana do formułowania prawa całkowe ; lewa strona prowadzi następnie do równoważnych formuł różnicowych (patrz poniżej). ${\textstyle \int _{\częściowy \Omega }i^{*}\omega }$${\textstyle \int _{\częściowy \Omega}\omega}$${\ Displaystyle i ^ {*} \ omega = \ omega | _ {\ częściowy \ omega}}$${\displaystyle d}$${\textstyle \oint _{\częściowy \Omega}\omega}$${\displaystyle (n-1)}$${\ Displaystyle \ częściowy \ Omega}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\textstyle \int _{\partial (\partial \Omega )}\omega =\int _{\Omega }d(d\omega )=0}$${\ Displaystyle (n-2)}$${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ częściowy (\ częściowy \ Omega) = \ pusty zestaw}$

Twierdzenie to jest często używane w sytuacjach, gdy osadzona jest zorientowana podrozmaitość jakiejś większej rozmaitości, często , na której forma jest zdefiniowana. ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {k}}$${\ Displaystyle \ omega}$

Wstępy topologiczne; integracja przez łańcuchy

Niech M będzie gładką rozmaitością . A (gładki) pojedynczej K -simplex w M jest zdefiniowane jako gładkie mapie ze standardowego simplex w R ^K do M . Grupa C, _K ( K , Z ) w pojedynczej k - łańcuch o M jest zdefiniowane jako wolna grupa przemienna na zestaw pojedynczych k -simplices w M . Grupy te wraz z mapą granic ∂ definiują kompleks łańcuchowy . Odpowiedni homologii (odp. Kohomologie) grupa izomorficzna zwykłej pojedynczej homologii grupa H _k ( M , Z ) (odpowiednio. Na pojedynczej kohomologie grupa H ^K ( K , Z ) ) określono przy użyciu raczej ciągły niż gładkie simplices w M .

Z drugiej strony formy różniczkowe, z pochodną zewnętrzną, d , jako mapą łączącą, tworzą kompleks kołańcuchowy, który definiuje grupy kohomologii de Rhama H^k
_dR( M , R ) .

Różniczkowe formy k mogą być całkowane przez k- simpleks w naturalny sposób, cofając się do R ^k . Wydłużenie przez liniowość pozwala na integrację w łańcuchach. Daje to liniową mapę z przestrzeni k- form do k- tej grupy pojedynczych łańcuchów C ^k ( M , Z ) , liniowych funkcjonałów na C _k ( M , Z ) . Innymi słowy, k -forma ω definiuje funkcjonał

na k -łańcuchach. Twierdzenie Stokesa mówi, że jest to mapa łańcuchowa od kohomologii de Rhama do kohomologii osobliwej z rzeczywistymi współczynnikami; pochodna zewnętrzna, d , zachowuje się jak podwójny z ∂ na formach. Daje to homomorfizm od kohomologii de Rhama do kohomologii osobliwej. Na poziomie formularzy oznacza to:

1. formy zamknięte, tj. dω = 0 , mają całkę zerową po granicach , tj. po rozmaitościach, które można zapisać jako ∂Σ _c M _c , oraz
2. dokładne formy, tj. ω = dσ , mają całkę zerową po cyklach , tj. jeśli granice sumują się do zbioru pustego: Σ _c M _c = ∅ .

Twierdzenie de Rama pokazuje, że ten homomorfizm jest w rzeczywistości izomorfizmem . Tak więc odwrotność do 1 i 2 powyżej jest prawdziwa. Innymi słowy, jeśli { c _i } są cyklami generującymi k- tą grupę homologii, to dla dowolnych odpowiadających im liczb rzeczywistych { a _i } istnieje forma zamknięta ω , taka, że

i ta forma jest unikalna aż do dokładnych form.

Twierdzenie Stokesa o rozmaitościach gładkich można wyprowadzić z twierdzenia Stokesa dla łańcuchów w rozmaitościach gładkich i na odwrót. Formalnie rzecz biorąc, ten ostatni brzmi:

Podstawowa zasada

Aby uprościć te topologiczne argumenty, warto zbadać podstawową zasadę, rozważając przykład dla d = 2 wymiarów. Zasadniczą ideę można zrozumieć za pomocą diagramu po lewej stronie, który pokazuje, że w zorientowanym kafelku rozmaitości ścieżki wewnętrzne są pokonywane w przeciwnych kierunkach; ich udziały w całce po ścieżce znoszą się zatem parami. W konsekwencji pozostaje tylko wkład z granicy. W ten sposób wystarczy udowodnić twierdzenie Stokesa dla wystarczająco drobnych kafelków (lub równoważnie simplices ), co zwykle nie jest trudne.

Uogólnienie na zbiory przybliżone

Powyższe sformułowanie, w którym Ω jest gładką rozmaitością z brzegiem, nie wystarcza w wielu zastosowaniach. Na przykład, jeśli dziedzina integracji jest zdefiniowana jako obszar płaski między dwiema współrzędnymi x i wykresami dwóch funkcji, często zdarza się, że dziedzina ma narożniki. W takim przypadku punkty narożne oznaczają, że Ω nie jest gładką rozmaitością z brzegiem, a zatem twierdzenie z twierdzenia Stokesa podane powyżej nie ma zastosowania. Niemniej jednak można sprawdzić, czy wniosek z twierdzenia Stokesa jest nadal prawdziwy. Dzieje się tak, ponieważ Ω i jej granica są dobrze zachowane z dala od małego zestawu punktów (zestaw miary zerowej ).

Wersja twierdzenia Stokesa, która pozwala na chropowatość, została udowodniona przez Whitneya. Załóżmy, że D jest połączonym ograniczonym otwartym podzbiorem R ⁿ . Połączenia D domeny standardowej jeżeli spełnia ona następujące własności: istnieje podzbiór P z ∂ D czynny ∂ D , którego dopełniacz w ∂ D ma Hausdorff ( n - 1) -measure zero; i tak, że każdy punkt P ma uogólniony wektor normalny . Jest to wektor v ( x ) taki, że jeśli układ współrzędnych jest wybrany tak, że v ( x ) jest pierwszym wektorem bazowym, to w otwartym otoczeniu wokół x istnieje gładka funkcja f ( x ₂ , .. ., x _n ) takie , że P jest wykresem { x ₁ = f ( x ₂ , ..., x _n ) } a D jest obszarem { x ₁  : x ₁ < f ( x ₂ , ..., x _n )} . Whitney zauważa, że ​​granicą standardowej dziedziny jest suma zbioru zer Hausdorffa ( n − 1) -miara i skończona lub przeliczalna suma gładkich ( n − 1) -rozmaitości, z których każda ma dziedzinę tylko na jednej Strona. Następnie udowadnia, że ​​jeśli D jest standardową dziedziną w R ⁿ , ω jest formą ( n − 1), która jest zdefiniowana, ciągła i ograniczona na D ∪ P , gładka na D , całkowalna na P , i taka, że dω jest całkowalna na D , to twierdzenie Stokesa jest prawdziwe, to znaczy

${\ Displaystyle \ int _ {P} \ omega = \ int _ {D} d \ omega \,.}$

Badanie własności miary-teoretycznych zbiorów przybliżonych prowadzi do teorii miary geometrycznej . Jeszcze bardziej ogólne wersje twierdzenia Stokesa zostały udowodnione przez Federera i Harrisona.

Przypadki specjalne

Ogólna postać twierdzenia Stokesa wykorzystująca formy różniczkowe jest potężniejsza i łatwiejsza w użyciu niż przypadki specjalne. Tradycyjne wersje mogą być formułowane przy użyciu współrzędnych kartezjańskich bez mechanizmu geometrii różniczkowej, dzięki czemu są bardziej dostępne. Co więcej, są starsze, przez co ich imiona są bardziej znajome. Tradycyjne formy są często uważane za wygodniejsze przez praktykujących naukowców i inżynierów, ale nienaturalność tradycyjnego sformułowania staje się widoczna podczas korzystania z innych układów współrzędnych, nawet znanych, takich jak współrzędne sferyczne lub cylindryczne. Istnieje możliwość zamieszania w sposobie stosowania nazw i stosowaniu podwójnych sformułowań.

Twierdzenie Kelvina-Stokesa

Jest to przypadek (podwójny) (1 + 1)-wymiarowy, dla postaci jednowymiarowej (podwójny, ponieważ jest to stwierdzenie o polach wektorowych ). Ten szczególny przypadek jest często określany jako twierdzenie Stokesa na wielu wstępnych kursach z rachunku wektorowego na uniwersytecie i jest stosowany w fizyce i inżynierii. Jest również czasami znany jako twierdzenie o rotacji .

Klasyczne Kelvina-Stokesa twierdzenie wiąże powierzchni całkowej z dyni z pola wektorowego na powierzchni Ď w euklidesowej trzy miejsca do całki linii pola wektorowego na jego brzegu. Jest to szczególny przypadek ogólnego twierdzenia Stokesa (przy n = 2 ), gdy zidentyfikujemy pole wektorowe o postaci 1 przy użyciu metryki w przestrzeni euklidesowej. Krzywa całki linii, ∂Σ musi pozytywnie orientacji , co oznacza, że ∂Σ punktów w lewo, kiedy funkcja normalną do powierzchni , N , zwrócona w stronę obserwatora.

Jedną z konsekwencji twierdzenia Kelvina-Stokesa jest to, że linie pola pola wektorowego o zerowym zwinięciu nie mogą być zamkniętymi konturami. Formułę można przepisać jako:

Twierdzenie Greena

Twierdzenie Greena jest natychmiast rozpoznawalne jako trzecia podcałka obu stron w całce pod względem P , Q i R cytowanych powyżej.

W elektromagnetyzmie

Dwa z czterech równań Maxwella dotyczą krzywych trójwymiarowych pól wektorowych, a ich formy różniczkowe i całkowe są powiązane twierdzeniem Kelvina-Stokesa . Należy zachować ostrożność, aby uniknąć przypadków z ruchomymi granicami: pochodne cząstkowe czasu mają na celu wykluczenie takich przypadków. Jeśli uwzględnione są ruchome granice, zamiana całkowania i różniczkowania wprowadza terminy związane z ruchem granic nieuwzględnione w poniższych wynikach (patrz Różniczkowanie pod znakiem całki ):

Nazwa	Forma różnicowa	Forma całkowa (za pomocą twierdzenia Kelvina-Stokesa oraz niezmienności relatywistycznej, ∫∂/∂ t ... → D/dt... )
Równanie Maxwella-Faraday'a Prawo indukcji Faradaya :	${\ Displaystyle \ quad \ nabla \ razy \ mathbf {E} = - {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {B}} {\ częściowy t}} \ quad}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ quad \ oint _ {C} \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {l} & = \ iint _ {S} \ nabla \ razy \ mathbf {E} \ cdot d \mathbf {A} \\&=-\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} \end{wyrównany}}\quad }$(z C i S niekoniecznie stacjonarnymi)
Prawo Ampère'a (z rozszerzeniem Maxwella):	${\ Displaystyle \ quad \ nabla \ razy \ mathbf {H} = \ mathbf {J} + {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {D}} {\ częściowy t}} \ quad}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ quad \ oint _ {C} \ mathbf {H} \ cdot d \ mathbf {l} & = \ iint _ {S} \ nabla \ razy \ mathbf {H} \ cdot d \mathbf {A} \\&=\iint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{S}{\frac {\częściowy \mathbf {D} }{\częściowy t}}\cdot d\mathbf {A} \end{wyrównany}}\quad }$(z C i S niekoniecznie stacjonarnymi)

Wyżej wymieniony podzbiór równań Maxwella obowiązuje dla pól elektromagnetycznych wyrażonych w jednostkach SI . W innych systemach jednostek, takich jak CGS lub jednostki gaussowskie , współczynniki skalowania terminów różnią się. Na przykład w jednostkach Gaussa prawo indukcji Faradaya i prawo Ampère'a przyjmują postać:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ nabla \ razy \ mathbf {E} & = - {\ Frac {1} {c}} {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {B}} {\ częściowy t}} \ ,,\\\nabla \times \mathbf {H} &={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\częściowy t}}+{\frac {4\ pi }{c}}\mathbf {J} \,,\end{wyrównany}}}$

odpowiednio, gdzie c jest prędkością światła w próżni.

Twierdzenie o dywergencji

Podobnie twierdzenie o dywergencji

${\ Displaystyle \ int _ {\ operatorname {tom}} \ nabla \ cdot \ mathbf {f} \ d_ {\ operatorname {tom}} = \ oint _ {\ częściowy \ operatorname {tom}} \ mathbf {f} \cdot d{\boldsymbol {\Sigma }}}$

jest szczególnym przypadkiem, jeśli identyfikujemy pole wektorowe z postacią ( n − 1) otrzymaną przez skondensowanie pola wektorowego z postacią objętości euklidesowej. Zastosowaniem tego jest przypadek F = f c gdzie c jest dowolnym stałym wektorem. Wypracowanie rozbieżności produktu daje

${\ Displaystyle \ mathbf {c} \ cdot \ int _ {\ operatorname {vol}} \ nabla f \ d_ {\ operatorname {vol}} = \ mathbf {c} \ cdot \ oint _ {\ częściowy \ operatorname { Vol} }f\,d{\boldsymbol {\Sigma }}\,.}$

Ponieważ dotyczy to wszystkich znalezionych c

${\ Displaystyle \ int _ {\ operatorname {tom}} \ nabla f \ d_ {\ operatorname {tom}} = \ oint _ {\ częściowy \ operator {tom}} f \, d {\ pogrubiony symbol {\ Sigma} }\,.}$

Zobacz też

• Lemat Chandrasekhara-Wentzela

Przypisy

Bibliografia

Dalsza lektura

• Grunsky, Helmut (1983). Twierdzenie Ogólnego Stokesa . Boston: Pitman. Numer ISBN 0-273-08510-7.
• Katz, Victor J. (maj 1979). „Historia twierdzenia Stokesa”. Magazyn Matematyka . 52 (3): 146-156. doi : 10.2307/2690275 . JSTOR  2690275 .
• Loomis, Lynn Harold ; Sternberg, Szlomo (2014). Rachunek zaawansowany . Hackensack, New Jersey: World Scientific. Numer ISBN 978-981-4583-93-0.
• Madsen, Ib ; Tornehave, Jørgen (1997). Od rachunku różniczkowego do kohomologii: kohomologia De Rhama i klasy charakterystyczne . Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press. Numer ISBN 0-521-58956-8.
• Marsden, Jerrold E .; Antoniego, Tromby (2003). Rachunek wektorowy (wyd. 5). WH Freemana.
• Lee, John (2003). Wprowadzenie do Smooth Manifolds . Springer-Verlag. Numer ISBN 978-0-387-95448-6.
• Rudin, Walter (1976). Zasady analizy matematycznej . Nowy Jork, NY: McGraw-Hill. Numer ISBN 0-07-054235-X.
• Spivak, Michael (1965). Rachunek na rozmaitościach: nowoczesne podejście do klasycznych twierdzeń rachunku zaawansowanego . San Francisco: Benjamin Cummings. Numer ISBN 0-8053-9021-9.
• Stewart, James (2009). Rachunek różniczkowy: pojęcia i konteksty . Nauka Cengage. s. 960–967. Numer ISBN 978-0-495-55742-5.
• Stewart, James (2003). Rachunek: Wczesne funkcje transcendentalne (wyd. 5). Brooks/Cole.
• Tu, Loring W. (2011). Wprowadzenie do rozmaitości (2nd ed.). Nowy Jork: Springer. Numer ISBN 978-1-4419-7399-3.

Zewnętrzne linki

• Multimedia związane z twierdzeniem Stokesa w Wikimedia Commons
• „Formuła Stokesa” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Dowód twierdzenia o dywergencji i twierdzenia Stokesa
• Rachunek 3 – Twierdzenie Stokesa z lamar.edu – wyjaśnienie wyjaśniające
• „Twierdzenie Stokesa o Rozmaitościach” . Alef Zero . 3 maja 2020 – przez YouTube .