Ramka ogólna - General frame

W logice , ramki ogólne (lub po prostu ramki ) to ramki Kripkego z dodatkową strukturą, które służą do modelowania logiki modalnej i pośredniej . Ogólna semantyka ramek łączy w sobie główne zalety semantyki Kripkego i semantyki algebraicznej : podziela przejrzysty wgląd geometryczny tej pierwszej i solidną kompletność drugiej.

Definicja

Modalne ogólnie rama jest potrójnym , w którym znajduje się ramka Kripke (czyli R jest binarny zależność od zestawu F ), a V stanowi zbiór podzbiorów F , która jest zamknięta na podstawie następującego: ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ langle F, R, V \ rangle}$${\ displaystyle \ langle F, R \ rangle}$

• operacje boolowskie (binarne) przecięcie , suma i uzupełnienie ,
• operacja , zdefiniowana przez . ${\ displaystyle \ Box}$${\ Displaystyle \ Box A = \ {x \ w F; \, \ forall y \ in F \, (x \, R \, y \ do y \ in A) \}}$

Są więc szczególnym przypadkiem pól zbiorów z dodatkową strukturą . Celem V jest ograniczenie dopuszczalnych wartości w ramie: model oparty na ramie Kripkego jest dopuszczalny w ramce ogólnej F , jeśli ${\ displaystyle \ langle F, R, \ Vdash \ rangle}$${\ displaystyle \ langle F, R \ rangle}$

${\ Displaystyle \ {x \ w F; \, x \ Vdash p \} \ w V}$ dla każdej zmiennej zdaniowej p .

Warunki zamknięcia V zapewniają, że należy do V dla każdej formuły A (nie tylko zmiennej). ${\ Displaystyle \ {x \ w F; \, x \ Vdash A \}}$

Wzór jest ważne w F , jeżeli dla wszystkich dopuszczalnych wycen i we wszystkich punktach . Normalne modalne logiczny L jest ważne w ramie F , jeśli wszystkie aksjomaty (lub równoważnie, wszystkie twierdzenia ) z L obowiązują w F . W tym przypadku nazywamy F L - rama . ${\ displaystyle x \ Vdash A}$${\ displaystyle \ Vdash}$${\ displaystyle x \ in F}$

Kripke ramka może być identyfikowana za pomocą głównej ramki, w którym wszystkie Wyceny dopuszczalne, to jest dla , w którym oznacza zespół zasilający z F . ${\ displaystyle \ langle F, R \ rangle}$${\ displaystyle \ langle F, R, {\ mathcal {P}} (F) \ rangle}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (F)}$

Rodzaje ramek

Ogólnie rzecz biorąc, ramy ogólne to niewiele więcej niż wymyślna nazwa modeli Kripke ; w szczególności, zgodność aksjomatów modalnych z właściwościami relacji dostępności zostaje utracona. Można temu zaradzić, nakładając dodatkowe warunki na zbiór dopuszczalnych wycen.

Nazywa się ramka ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ langle F, R, V \ rangle}$

• zróżnicowane , jeśli sugeruje , ${\ Displaystyle \ forall A \ w V \, (x \ w A \ Leftrightarrow y \ w A)}$${\ displaystyle x = y}$
• mocno , jeśli sugeruje , ${\ Displaystyle \ forall A \ w V \, (x \ w \ Box A \ Rightarrow y \ in A)}$${\ Displaystyle x \, R \, y}$
• zwarty , jeśli każdy podzbiór V o skończonej własności przecięcia ma niepuste przecięcie,
• atomowy , jeśli V zawiera wszystkie singletony,
• wyrafinowany , jeśli jest zróżnicowany i zwarty,
• opisowy , jeśli jest dopracowany i zwarty.

Ramy Kripke są dopracowane i atomowe. Jednak nieskończone ramy Kripke nigdy nie są kompaktowe. Każda skończona, zróżnicowana lub atomowa rama jest ramką Kripkego.

Ramy opisowe są najważniejszą klasą ramek ze względu na teorię dualizmu (patrz poniżej). Udoskonalone ramki są przydatne jako powszechne uogólnienie ramek opisowych i Kripkego.

Operacje i morfizmy na ramkach

Każdy model Kripkego wywołuje ramę ogólną , w której V jest zdefiniowane jako ${\ displaystyle \ langle F, R, {\ Vdash} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle F, R, V \ rangle}$

${\ Displaystyle V = {\ duży \ {} \ {x \ in F; \, x \ Vdash A \}; \, A {\ hbox {to formuła}} {\ duży \}}.}$

Podstawowe operacje zachowywania prawdy generowanych podramek, obrazów p-morficznych i rozłącznych połączeń ramek Kripkego mają analogie w ramkach ogólnych. Ramka jest wygenerowaną ramką podrzędną ramki , jeśli ramka Kripkego jest wygenerowaną ramką podrzędną ramki Kripkego (tj. Jest podzbiorem zamkniętych w górę pod i ) oraz ${\ displaystyle \ mathbf {G} = \ langle G, S, W \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ langle F, R, V \ rangle}$${\ displaystyle \ langle G, S \ rangle}$${\ displaystyle \ langle F, R \ rangle}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S = R \ cap G \ razy G}$

${\ Displaystyle W = \ {A \ nasadka G; \, A \ w V \}.}$

P morfizmem (lub ograniczonym morfizmem ) jest funkcją od F do G , które jest p-morfizmem ramek Kripkego i i spełnia dodatkowe ograniczenie ${\ displaystyle f \ colon \ mathbf {F} \ do \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ langle F, R \ rangle}$${\ displaystyle \ langle G, S \ rangle}$

${\ displaystyle f ^ {- 1} [A] \ in V}$ dla każdego . ${\ Displaystyle A \ w W}$

Związek rozłączne indeksowanego zbiór ramek , jest rama , w której F jest odłączony od związek , R jest sumą i ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} = \ langle F_ {i}, R_ {i}, V_ {i} \ rangle}$${\ displaystyle i \ in I}$${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ langle F, R, V \ rangle}$${\ displaystyle \ {F_ {i}; \, ja \ in ja \}}$${\ displaystyle \ {R_ {i}; \, ja \ in ja \}}$

${\ Displaystyle V = \ {A \ subseteq F; \, \ forall ja \ in I \, (A \ cap F_ {i} \ in V_ {i}) \}.}$

Udoskonalenie ramki jest rafinowany ramy określone w następujący sposób. Rozważamy relację równoważności${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ langle F, R, V \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbf {G} = \ langle G, S, W \ rangle}$

${\ Displaystyle x \ sim y \ iff \ forall A \ w V \, (x \ w A \ Leftrightarrow y \ w A),}$

i niech będzie zbiorem klas równoważności . Następnie kładziemy ${\ displaystyle G = F / {\ sim}}$${\ displaystyle \ sim}$

${\ displaystyle \ langle x / {\ sim}, r / {\ sim} \ rangle \ in S \ iff \ forall A \ in V \, (x \ in \ Box A \ Rightarrow y \ in A),}$

${\ Displaystyle A / {\ sim} \ w W \ iff A \ w V.}$

Kompletność

W przeciwieństwie do ramek Kripkego, każda normalna logika modalna L jest kompletna w odniesieniu do klasy ramek ogólnych. Wynika to z faktu, że L jest kompletne w odniesieniu do klasy modeli Kripkego : ponieważ L jest zamknięte w wyniku podstawienia, ogólna rama indukowana przez jest ramką L. Co więcej, każda logika L jest kompletna w odniesieniu do pojedynczej ramki opisowej . Rzeczywiście, L zakończeniu względem kanonicznej modelu i ogólny ramki wywołane kanonicznej modelu (zwane kanoniczne ramki z L ) jest opisowe. ${\ displaystyle \ langle F, R, {\ Vdash} \ rangle}$${\ displaystyle \ langle F, R, {\ Vdash} \ rangle}$

Dwoistość Jónssona – Tarskiego

Drabina Riegera – Nishimury: uniwersalna, intuicyjna rama Kripke.

Jej podwójna algebra Heytinga, krata Riegera-Nishimury. Jest to darmowa algebra Heytinga nad 1 generatorem.

Ramki ogólne mają ścisły związek z algebrami modalnymi . Niech będzie ramą ogólną. Zbiór V jest zamknięty w operacjach Boole'a, dlatego jest podalgebrą zbioru potęg algebry Boole'a . Niesie też dodatkową operację jednoargumentowy, . Połączona struktura jest modalne Algebra, która nazywana jest podwójnym Algebra z F i oznaczone . ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ langle F, R, V \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle {\ mathcal {P}} (F), \ cap, \ cup, - \ rangle}$${\ displaystyle \ Box}$${\ Displaystyle \ langle V \ czapka \ kubek, - \ Box \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {+}}$

W przeciwnym kierunku można skonstruować podwójną ramkę do dowolnej algebry modalnej . Boolean algebra ma miejsca kamień , którego bazowy zbiór F jest zbiorem wszystkich ultrafiltry od A . Zbiór V dopuszczalnych wartości w składa się z podzbiorów clopen F , a relacja dostępności R jest zdefiniowana przez ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {+} = \ langle F, R, V \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbf {a} = \ langle A, \ wedge, \ vee, - \ Box \ rangle}$${\ displaystyle \ langle A, \ klin, \ vee, - \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {+}}$

${\ Displaystyle x \, R \, y \ iff \ forall a \ in A \, (\ Box a \ in x \ Rightarrow a \ in y)}$

dla wszystkich ultrafiltrów x i y .

Rama i jej dualność potwierdzają te same formuły, stąd ogólna semantyka ramek i semantyka algebraiczna są w pewnym sensie równoważne. Podwójna liczba podwójna dowolnej algebry modalnej jest ze sobą izomorficzna . Generalnie nie jest to prawdą dla podwójnych podwójnych ramek, ponieważ podwójna liczba każdej algebry jest opisowa. W rzeczywistości ramka jest opisowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorficzna ze swoją podwójną liczbą podwójną . ${\ Displaystyle (\ mathbf {A} _ {+}) ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {F}}$${\ Displaystyle (\ mathbf {F} ^ {+}) _ {+}}$

Możliwe jest także zdefiniowanie dualności p-morfizmów z jednej strony i homomorfizmów algebry modalnej z drugiej strony. W ten sposób operatory i stają się parą kontrawariantnych funktorów między kategorią ram ogólnych a kategorią algebr modalnych. Funktory te zapewniają dwoistość (zwaną dualizmem Jónssona – Tarskiego od nazwiska Bjarniego Jónssona i Alfreda Tarskiego ) pomiędzy kategoriami ram opisowych i algebr modalnych. Jest to szczególny przypadek bardziej ogólnej dualności między złożonymi algebrami a polami zbiorów na strukturach relacyjnych . ${\ Displaystyle (\ cdot) ^ {+}}$${\ displaystyle (\ cdot) _ {+}}$

Ramy intuicyjne

Semantykę ramek dla logiki intuicjonistycznej i pośredniej można rozwijać równolegle do semantyki logiki modalnej. Intuicjonistycznej ogólnie rama jest potrójnym , w którym jest częściowo celu na F , a V jest zestaw wyższych podgrup ( stożki ) z F , który zawiera zbiór pusty, i jest zamknięte pod ${\ Displaystyle \ langle F, \ równoważnik, V \ rangle}$${\ displaystyle \ leq}$

• skrzyżowanie i związek,
• operacja . ${\ Displaystyle A \ do B = \ Box (-A \ Puchar B)}$

Trafność i inne koncepcje są następnie wprowadzane podobnie do ram modalnych, z kilkoma zmianami niezbędnymi do uwzględnienia słabszych właściwości domknięcia zbioru dopuszczalnych wartości. W szczególności nazywa się ramy intuicjonistyczne ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ langle F, \ leq, V \ rangle}$

• mocno , jeśli sugeruje , ${\ Displaystyle \ forall A \ w V \, (x \ w A \ Leftrightarrow y \ w A)}$${\ displaystyle x \ leq y}$
• kompaktowy , jeśli każdy podzbiór ze skończoną własnością przecięcia ma niepuste przecięcie. ${\ Displaystyle V \ kubek \ {FA; \, A \ w V \}}$

Ciasne, intuicjonistyczne ramy są automatycznie różnicowane, a tym samym udoskonalane.

Dwoistością intuicjonistycznej ramy jest algebra Heytinga . Podwójny z algebry Heytinga jest intuicjonistycznej rama , gdzie F jest zbiorem wszystkich głównych filtrów z A , kolejność jest włączenie i V składa się z wszystkich podgrupach F formularza ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ langle F, \ leq, V \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} ^ {+} = \ langle V, \ cap, \ cup, \ to \ emptyset \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ langle A, \ wedge, \ vee, \ to, 0 \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {+} = \ langle F, \ leq, V \ rangle}$${\ displaystyle \ leq}$

${\ Displaystyle \ {x \ w F; \, a \ w x \},}$

gdzie . Podobnie jak w przypadku modalnym i są parą kontrawariantnych funktorów, które powodują, że kategoria algebr Heytinga jest podwójnie równoważna kategorii opisowych ramek intuicjonistycznych. ${\ displaystyle a \ in A}$${\ Displaystyle (\ cdot) ^ {+}}$${\ displaystyle (\ cdot) _ {+}}$

Możliwe jest skonstruowanie intuicjonistycznych ram ogólnych z przechodnich refleksyjnych ramek modalnych i odwrotnie, patrz towarzyszący modalny .

Bibliografia

• Alexander Chagrov i Michael Zakharyaschev, Logika modalna , t. 35 z Oxford Logic Guides, Oxford University Press, 1997.
• Patrick Blackburn, Maarten de Rijke i Yde Venema, Modal Logic , vol. 53 Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press, 2001.