funkcja klasy (algebra) - Class function (algebra)

W matematyce , zwłaszcza w dziedzinie teorii grup i teorii reprezentacji grup , A funkcja klasy jest funkcją w grupie G , która jest stała w klasach conjugacy o G . Innymi słowy, jest niezmienna pod mapie koniugacji na  G . Funkcje te odgrywają podstawową rolę w teorii reprezentacji .

Postacie

Postać o liniowe przedstawienie z G nad pola K zawsze jest funkcją klasy z wartościami K . Funkcje klasy stanowią centrum w pierścieniu grupy K [ G ]. Tutaj funkcja klasy F jest identyfikowany z elementem . ${\ Displaystyle \ suma _ {g \ G} f (g) g}$

produkty wewnętrzne

Zestaw funkcji Klasy grupy G o wartościach w zakresie K tworzą K - przestrzeń wektorową . Jeśli G jest skończona i charakterystyczne pola nie dzieli kolejność G , to nie jest iloczyn skalarny zdefiniowane w tej przestrzeni określa gdzie | G | oznacza kolejność G . Zestaw nieredukowalnych znaków o G tworzy ortogonalną podstawę , a jeśli K jest pole podział na G , na przykład, gdy K jest algebraicznie zamknięte , a następnie nieredukowalnych znaków stanowią podstawę ortonormalną . ${\ Displaystyle \ langle \ cp \ psi \ rangle = {\ Frac {1} {| g |}} \ suma _ {g \ G} \ cp (g) \ psi (g ^ {- 1})}$

W przypadku zwartej grupie i K  =  C dziedzinie zespolonej pojęcie Haar środka pozwala na zastąpienie skończoną sumę powyżej integralną:${\ Displaystyle \ langle \ cp \ psi \ rangle = \ _ int {G} \ cp (t) \ psi (T ^ {- 1}) \ dt.}$

Gdy K jest liczbami rzeczywistymi lub liczby zespolone produkt wewnętrzna jest nie zdegenerowany hermitowskie forma dwuliniowa .

Zobacz też

• Twierdzenie Brauera na indukowanych znaków

Referencje

• Jean-Pierre Serre , reprezentacje liniowe grupy skończonych , Graduate Teksty matematyki 42 , Springer-Verlag, Berlin, 1977.