Dopuszczalna reprezentacja - Admissible representation

W matematyce, dopuszczalne reprezentacje są grzeczne klasa przedstawień stosowanych w teorii reprezentacji z redukujących grup Liego i lokalnie zwartych grupach całkowicie niespójna . Zostały wprowadzone przez Harish-Chandrę .

Rzeczywiste lub złożone redukcyjne grupy Liego

Niech G będzie spójną redukcyjną (rzeczywistą lub złożoną) grupą Liego. Niech K będzie podgrupą maksymalnie zwartą. Ciągłą reprezentację (π,  V ) G na zespolonej przestrzeni Hilberta V nazywamy dopuszczalną, jeśli π ograniczone do K jest unitarne i każda nieredukowalna unitarna reprezentacja K występuje w niej ze skończoną wielokrotnością. Prototypowym przykładem jest nieredukowalna unitarna reprezentacja G .

Dopuszczalna reprezentacja π indukuje -moduł, który jest łatwiejszy w obsłudze, ponieważ jest obiektem algebraicznym. Mówi się, że dwie dopuszczalne reprezentacje są nieskończenie równoważne, jeśli ich skojarzone -moduły są izomorficzne. Chociaż w przypadku ogólnych dopuszczalnych reprezentacji, pojęcie to różni się od zwykłej równoważności, ważne jest, że oba pojęcia równoważności zgadzają się dla jednolitych (dopuszczalnych) reprezentacji. Dodatkowo istnieje pojęcie unitarności -modułów. To sprowadza badanie klas równoważności nieredukowalnych unitarnych reprezentacji G do badania nieskończenie małych klas równoważności dopuszczalnych reprezentacji i określania, które z tych klas są nieskończenie małe. Problem parametryzacji nieskończenie małych klas równoważności dopuszczalnych reprezentacji został w pełni rozwiązany przez Roberta Langlandsa i jest nazywany klasyfikacją Langlandsa .

Całkowicie odłączone grupy

Niech G będzie lokalnie zwartą, całkowicie niepołączoną grupą (taką jak redukcyjna grupa algebraiczna nad niearchimedesowym ciałem lokalnym lub nad skończonymi adele ciała globalnego ). Reprezentację (π,  V ) G na złożonej przestrzeni wektorowej V nazywamy gładką, jeśli podgrupa G ustalająca dowolny wektor V jest otwarta . Jeżeli dodatkowo przestrzeń wektorów ustalona przez dowolną zwartą otwartą podgrupę jest skończenie wymiarowa, to π nazywamy dopuszczalną . Dopuszczalne reprezentacje grup p- adycznych umożliwiają bardziej algebraiczny opis poprzez działanie algebry Heckego na funkcje lokalnie stałych na G .

Głębokie badania dopuszczalnych reprezentacji p -adycznych grup redukcyjnych zostały podjęte przez Casselmana oraz Bernsteina i Zelevinsky'ego w latach 70. XX wieku. Postęp poczynili ostatnio Howe , Moy, Gopal Prasad oraz Bushnell i Kutzko, którzy rozwinęli teorię typów i w wielu przypadkach sklasyfikowali dopuszczalną dualność (tj. zbiór klas równoważności nieredukowalnych, dopuszczalnych reprezentacji).

Uwagi

Bibliografia

  • Bushnell, Colin J .; Henniart, Guy (2006), The local Langlands conjecture for GL(2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 335 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-31511- X , ISBN 978-3-540-31486-8, MR  2234120
  • Bushnell, Colin J.; Philip C. Kutzko (1993). Dopuszczalny podwójny GL(N) przez kompaktowe otwarte podgrupy . Roczniki Studiów Matematycznych 129. Princeton University Press. Numer ISBN 0-691-02114-7.
  • Rozdział VIII Knapp, Anthony W. (2001). Teoria reprezentacji grup półprostych: przegląd na podstawie przykładów . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. Numer ISBN 0-691-09089-0.