Symmetrisk funksjon - Symmetric function

I matematikk er en funksjon av n variabler symmetrisk hvis verdien er den samme uansett rekkefølgen på argumentene . For eksempel, hvis er en symmetrisk funksjon, så for alle og slikt som og er i domenet til f . De vanligste symmetriske funksjonene er polynomfunksjoner , som er gitt av de symmetriske polynomene . ${\ displaystyle f = f (x_ {1}, x_ {2})}$${\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}) = f (x_ {2}, x_ {1})}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$${\ displaystyle (x_ {2}, x_ {1})}}$

En beslektet forestilling er vekslende polynomer , som endrer tegn under en veksling av variabler. Bortsett fra polynomiske funksjoner, tensors som virker som funksjoner av flere vektorer kan være symmetrisk, og i virkeligheten løpet av symmetriske k -tensors på et vektorrom V er isomorf til den plass av homogene polynomer av grad k på V. Symmetriske funksjonene ikke skulle forveksles med like og ulike funksjoner , som har en annen slags symmetri.

Symmetrisering

Gitt hvilken som helst funksjon f i n variabler med verdier i en abelsk gruppe , kan en symmetrisk funksjon konstrueres ved å summere verdier av f over alle permutasjoner av argumentene. På samme måte kan en antisymmetrisk funksjon konstrueres ved å summere over jevne permutasjoner og trekke summen over odde permutasjoner . Disse operasjonene er selvfølgelig ikke inverterbare, og kan godt resultere i en funksjon som er identisk null for ikke -private funksjoner f . Det eneste generelle tilfellet der f kan gjenopprettes hvis både symmetrisering og antisymmetrisering er kjent, er når n  = 2 og den abelske gruppen innrømmer en divisjon med 2 (invers av dobling); da er f lik halve summen av dens symmetrisering og antisymmetrisering.

Eksempler

• Tenk på den virkelige funksjonen

${\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = (x-x_ {1}) (x-x_ {2}) (x-x_ {3})}}$

Per definisjon har en symmetrisk funksjon med n variabler egenskapen som

${\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n}) = f (x_ {2}, x_ {1}, ..., x_ {n}) = f (x_ {3}, x_ {1}, ..., x_ {n}, x_ {n-1})}$ etc.

Generelt forblir funksjonen den samme for hver permutasjon av dens variabler. Dette betyr at i dette tilfellet,

${\ displaystyle (x-x_ {1}) (x-x_ {2}) (x-x_ {3}) = (x-x_ {2}) (x-x_ {1}) (x-x_ {3 }) = (x-x_ {3}) (x-x_ {1}) (x-x_ {2})}$

og så videre, for alle permutasjoner av ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}.}$

• Vurder funksjonen

${\ displaystyle f (x, y) = x^{2}+y^{2} -r^{2}}$

Hvis x og y byttes ut blir funksjonen

${\ displaystyle f (y, x) = y^{2}+x^{2} -r^{2}}$

som gir nøyaktig de samme resultatene som originalen f ( x , y ).

• Vurder nå funksjonen

${\ displaystyle f (x, y) = ax^{2}+av^{2} -r^{2}}$

Hvis x og y byttes ut, blir funksjonen

${\ displaystyle f (y, x) = ay^{2}+bx^{2} -r^{2}.}$

Denne funksjonen er åpenbart ikke den samme som originalen hvis a ≠ b , noe som gjør den ikke-symmetrisk.

applikasjoner

U-statistikk

I statistikk kalles en n -sample statistikk (en funksjon i n variabler) som oppnås ved oppstartssymmetrisering av en k -sample statistikk, som gir en symmetrisk funksjon i n variabler, en U -statistikk . Eksempler inkluderer prøve gjennomsnitt og utvalg varians .

Se også

• Symmetrisering
• Elementær symmetrisk polynom
• Alternerende polynomer
• Vandermonde polynom
• Kvasasisymmetrisk funksjon
• Ring av symmetriske funksjoner
• Jevne og merkelige funksjoner

Referanser

• FN David , MG Kendall & DE Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables , Cambridge University Press .
• Joseph PS Kung, Gian-Carlo Rota og Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way , §5.1 Symmetric functions, s 222–5, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-73794-4 .