Stream-funksjon - Stream function

Den strøm funksjon er definert for inkompressibel ( divergens-fri ) strømmer i to dimensjoner - så vel som i tre dimensjoner med axisymmetry . De strømningshastighetskomponentene uttrykkes som derivater av de skalare strømmen funksjon. Strømfunksjonen kan brukes til å plotte strømlinjer , som representerer banene til partikler i en jevn strøm. Den todimensjonale Lagrange-strømfunksjonen ble introdusert av Joseph Louis Lagrange i 1781. Stokes-strømfunksjonen er for aksesymmetrisk tredimensjonal flyt, og er oppkalt etter George Gabriel Stokes .

Tatt i betraktning det spesielle tilfelle av fluiddynamikk , forskjellen mellom den strøm funksjonsverdiene ved to punkter gir den volumetriske strømningshastighet (eller volumetrisk fluks ) via en linje som forbinder de to punktene.

Siden strømlinjer er tangent til strømningshastighetsvektoren til strømmen, må verdien av strømfunksjonen være konstant langs en strømlinje. Nytten av strømfunksjonen ligger i det faktum at strømningshastighetskomponentene i x - og y - retningene ved et gitt punkt er gitt av partielle derivater av strømfunksjonen på det punktet. En strømfunksjon kan defineres for en hvilken som helst strøm av dimensjoner større enn eller lik to, men det todimensjonale tilfellet er vanligvis det enkleste å visualisere og utlede.

For todimensjonal potensiell flyt er strømlinjer vinkelrett på ekvipotensielle linjer. Sett sammen med hastighetspotensialet , kan strømfunksjonen brukes til å utlede et komplekst potensial. Med andre ord utgjør strømfunksjonen den solenoide delen av en todimensjonal Helmholtz-spaltning , mens hastighetspotensialet utgjør den irrotasjonelle delen.

To-dimensjonal strømfunksjon

Definisjoner

Lam og Batchelor definere strømmen funksjon for en inkompressibel strømningshastighetsfelt som følger. Gitt et poeng og et poeng , ${\ displaystyle \ psi (x, y, t)}$${\ displaystyle (u (t), v (t))}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ psi = \ int _ {A} ^ {P} \ left (u \, {\ text {d}} yv \, {\ text {d}} x \ right)}$

er integralet av prikk-produktet av den strømningshastighetsvektor og den normale til den buede element med andre ord strømmen funksjon er det volum fluks gjennom kurven . Poenget er ganske enkelt et referansepunkt som definerer hvor strømfunksjonen er identisk null. Et skifte i resulterer i å legge til en konstant i strømfunksjonen kl . ${\ displaystyle (u, v)}$ ${\ displaystyle (+ {\ text {d}} y, - {\ text {d}} x)}$${\ displaystyle ({\ text {d}} x, {\ text {d}} y).}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle AP}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle P}$

En uendelig liten endring av posisjonen resulterer i en endring av strømfunksjonen: ${\ displaystyle \ delta P = (\ delta x, \ delta y)}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle \ delta \ psi = u \, \ delta yv \, \ delta x}$ .

Fra den eksakte differensialen

${\ displaystyle \ delta \ psi = {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} \, \ delta x + {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial y}} \, \ delta y,}$

strømningshastighetskomponentene i forhold til strømfunksjonen må være ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle u = {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial y}}, \ qquad v = - {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}},}$

i hvilket tilfelle de faktisk tilfredsstiller betingelsen om null divergens som følge av strømningskomprimering, dvs.

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} = 0.}$

Definisjon ved bruk av et vektorpotensial

Tegn på strømfunksjonen avhenger av definisjonen som brukes.

En måte er å definere strømfunksjonen for en todimensjonal strømning slik at strømningshastigheten kan uttrykkes gjennom vektorpotensialet${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ psi}}:}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} = \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}}$

Hvor hvis strømningshastighetsvektoren . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ psi}} = (0,0, \ psi)}$${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u, v, 0)}$

I det kartesiske koordinatsystemet tilsvarer dette

${\ displaystyle u = {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial y}}, \ qquad v = - {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}}}$

Hvor og er strømningshastighetskomponentene i henholdsvis kartesisk og koordinatretning. ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Alternativ definisjon (motsatt tegn)

En annen definisjon (brukt mer i meteorologi og oceanografi enn ovenfor) er

${\ displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {z} \ times \ nabla \ psi '\ equiv \ left (- \ psi' _ {y}, \ psi '_ {x}, 0 \ right)}$ ,

hvor er en enhetsvektor i retning og underskriftene indikerer delvis derivater. ${\ displaystyle \ mathbf {z} = (0,0,1)}$${\ displaystyle + z}$

Merk at denne definisjonen har det motsatte tegnet til det som er gitt ovenfor ( ), så det har vi ${\ displaystyle \ psi '= - \ psi}$

${\ displaystyle u = - {\ frac {\ partial \ psi '} {\ partial y}}, \ qquad v = {\ frac {\ partial \ psi'} {\ partial x}}}$

i kartesiske koordinater.

Alle formuleringer av strømfunksjonen begrenser hastigheten til å tilfredsstille den todimensjonale kontinuitetsligningen nøyaktig:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} = 0}$

De to siste definisjonene av strømfunksjon er relatert gjennom vektorkalkulusidentiteten

${\ displaystyle \ nabla \ times \ left (\ psi \ mathbf {z} \ right) = \ psi \ nabla \ times \ mathbf {z} + \ nabla \ psi \ times \ mathbf {z} = \ nabla \ psi \ times \ mathbf {z} = \ mathbf {z} \ times \ nabla \ psi '.}$

Merk at i denne todimensjonale flyten. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ psi}} = \ psi \ mathbf {z}}$

Derivasjon av den todimensjonale strømfunksjonen

Tenk på to punkter A og B i todimensjonalt flyflyt. Hvis avstanden mellom disse to punktene er veldig liten: δn, og en strøm av strømning passerer mellom disse punktene med en gjennomsnittlig hastighet, q vinkelrett på linjen AB, volumstrømningshastigheten per enhetstykkelse, δΨ er gitt av:

${\ displaystyle \ delta \ psi = q \ delta n \,}$

Når δn → 0, omorganiserer dette uttrykket, får vi:

${\ displaystyle q = {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial n}} \,}$

Vurder nå todimensjonalt flyflyt med referanse til et koordinatsystem. Anta at en observatør ser langs en vilkårlig akse i retning av økning og ser strømmen krysser aksen fra venstre til høyre . En skiltkonvensjon er vedtatt slik at strømningshastigheten er positiv .

Flyt i kartesiske koordinater

Ved å observere strømmen inn i et elementært kvadrat i et xy kartesisk koordinatsystem , har vi:

${\ displaystyle {\ begin {justert} \ delta \ psi & = u \ delta y \, \\\ delta \ psi & = - v \ delta x \, \ slutt {justert}}}$

hvor u er strømningshastigheten parallell med og i retning av x-aksen, og v er strømningshastigheten parallell med og i retning av y-aksen. Som δn → 0 og ved å omorganisere, har vi:

${\ displaystyle {\ begin {align} u & = {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial y}} \, \\ v & = - {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} \, \ end {align}}}$

Kontinuitet: avledningen

Tenk på todimensjonalt flyflyt i et kartesisk koordinatsystem. Kontinuitet sier at hvis vi vurderer ukomprimerbar strømning inn i et elementrute, må strømmen til det lille elementet være lik strømmen ut av det elementet.

Den totale strømmen inn i elementet er gitt av:

${\ displaystyle \ delta \ psi _ {\ text {in}} = u \ delta y + v \ delta x. \,}$

Den totale strømmen ut av elementet er gitt av:

${\ displaystyle \ delta \ psi _ {\ text {out}} = \ left (u + {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ delta x \ right) \ delta y + \ left (v + {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} \ delta y \ right) \ delta x. \,}$

Dermed har vi:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ delta \ psi _ {\ text {in}} & = \ delta \ psi _ {\ text {out}} \, \\ u \ delta y + v \ delta x & = \ venstre (u + {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ delta x \ right) \ delta y + \ left (v + {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} \ delta y \ right) \ delta x \, \ end {justert}}}$

og forenkle å:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} = 0.}$

Ved å erstatte uttrykkene for strømfunksjonen i denne ligningen har vi:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial x \ partial y}} - {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial y \ partial x}} = 0 .}$

Vortisitet

Strømfunksjonen kan bli funnet fra virvling ved å bruke følgende Poissons ligning :

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = - \ omega}$

eller

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi '= + \ omega}$

der vortisitetsvektoren - definert som krøllen til strømningshastighetsvektoren - for denne todimensjonale strømmen, dvs. at bare -komponenten kan være ikke-null. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ nabla \ times \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = (0,0, \ omega),}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ omega}$

Bevis for at en konstant verdi for strømfunksjonen tilsvarer en strømlinjeforming

Tenk på todimensjonalt flyflyt i et kartesisk koordinatsystem. Vurder to uendelig tette punkter og . Fra beregning har vi det ${\ displaystyle P = (x, y)}$${\ displaystyle Q = (x + dx, y + dy)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ psi (x + dx, y + dy) - \ psi (x, y) \\ = {} & {\ partial \ psi \ over \ partial x} dx + {\ partial \ psi \ over \ partial y} dy \\ = {} & \ nabla \ psi \ cdot d {\ boldsymbol {r}} \ end {aligned}}}$

Si tar den samme verdien, si , ved de to punktene og , så er tangenten til kurven på og ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle d {\ boldsymbol {r}}}$${\ displaystyle \ psi = C}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle 0 = \ psi (x + dx, y + dy) - \ psi (x, y) = \ nabla \ psi \ cdot d {\ boldsymbol {r}}}$

antyder at vektoren er normal i forhold til kurven . Hvis vi kan vise det overalt , ved å bruke formelen for når det gjelder , så vil vi ha bevist resultatet. Dette følger lett, ${\ displaystyle \ nabla \ psi}$${\ displaystyle \ psi = C}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {u}} \ cdot \ nabla \ psi = 0}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {u}}}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {u}} \ cdot \ nabla \ psi = {\ partial \ psi \ over \ partial y} {\ partial \ psi \ over \ partial x} + \ left (- {\ partial \ psi \ over \ partial x} \ høyre) {\ partial \ psi \ over \ partial y} = 0.}$

Egenskaper til strømfunksjonen

1. Strømfunksjonen er konstant langs en hvilken som helst strømlinje. ${\ displaystyle \ psi}$
2. For en kontinuerlig strømning (ingen kilder eller synker) er volumstrømningshastigheten over en lukket bane lik null.
3. For to ukomprimerbare strømningsmønstre er den algebraiske summen av strømfunksjonene lik en annen strømfunksjon oppnådd hvis de to strømningsmønstrene er superpålagt.
4. Endringshastigheten for strømfunksjon med avstand er direkte proporsjonal med hastighetskomponenten vinkelrett på endringsretningen.

Referanser

Sitater

Kilder

Eksterne linker

• Joukowsky Transform Interactive WebApp