Enkeltpresisjon flytende punktformat- Single-precision floating-point format

Enkeltpresisjon flytende punktformat (noen ganger kalt FP32 eller float32 ) er et datamaskinnummerformat , som vanligvis opptar 32 bits i datamaskinminnet ; den representerer et bredt dynamisk område med numeriske verdier ved å bruke et flytende radikspunkt .

En flytende variabel kan representere et bredere tallområde enn en fastpunktsvariabel med samme bitbredde på bekostning av presisjon. En signert 32-bits heltall variabel har en maksimal verdi på 2 ^31. - 1 = 2147483647, mens en IEEE 754 32-bit basis-2 flyttalls variabel har en maksimalverdi på (2 - 2 ^-23 ) x 2 ¹²⁷ ≈ 3,4028235 × 10 ³⁸ . Alle heltall med 7 eller færre desimal siffer, og 2 ⁿ for et helt tall −149 ≤ n ≤ 127, kan konverteres nøyaktig til en IEEE 754 enkel presisjon flytende verdi.

I IEEE 754-2008- standarden blir 32-biters base-2-formatet offisielt referert til som binær32 ; den ble kalt singel i IEEE 754-1985 . IEEE 754 spesifiserer flere flytende typer, for eksempel 64-biters base-2 dobbel presisjon og mer nylig base-10-representasjoner.

Et av de første programmeringsspråkene som leverte datatyper med enkelt og dobbelt presisjon flytende punkt var Fortran . Før den utbredte adopsjonen av IEEE 754-1985, var representasjonen og egenskapene til flytende datatyper avhengig av datamaskinprodusenten og datamodellen og avgjørelser som ble tatt av programmeringsspråklige designere. F.eks. Var GW-BASICs enkelttypede datatype 32-biters MBF -flytepunktformat.

Enkelt presisjon kalles REAL i Fortran , SINGLE-FLOAT i Common Lisp , float i C , C ++ , C# , Java , Float i Haskell og Swift , og Single i Object Pascal ( Delphi ), Visual Basic og MATLAB . Men flyte i Python , Ruby , PHP , og Objective Caml og enkelt i versjoner av Octave før 3.2 refererer til dobbel presisjon tall. I de fleste implementeringer av PostScript og noen innebygde systemer er den eneste støttede presisjonen enkel.

IEEE 754 binær flytende punktformat med én presisjon: binary32

IEEE 754 -standarden spesifiserer en binary32 som har:

Skiltbit : 1 bit
Eksponentbredde : 8 bits
Betydelig og presis : 24 bits (23 eksplisitt lagret)

Dette gir fra 6 til 9 betydelige desimal sifre presisjon. Hvis en desimalstreng med høyst 6 signifikante sifre konverteres til IEEE 754 enkeltpresisjonsrepresentasjon, og deretter konverteres tilbake til en desimalstreng med samme antall sifre, bør det endelige resultatet matche den opprinnelige strengen. Hvis et IEEE 754 enkeltpresisjonsnummer konverteres til en desimalstreng med minst 9 signifikante siffer, og deretter konverteres tilbake til representasjon med én presisjon, må det endelige resultatet matche det opprinnelige tallet.

Tegnbiten bestemmer tegnet på tallet, som også er tegnet på betydningen. Eksponenten er et 8-bits usignert heltall fra 0 til 255, i forspent form : en eksponentverdi på 127 representerer det faktiske nullpunktet. Eksponenter varierer fra −126 til +127 fordi eksponenter på −127 (alle 0s) og +128 (alle 1s) er reservert for spesielle tall.

Den sanne betydningen inkluderer 23 brøkbiter til høyre for det binære punktet og en implisitt ledende bit (til venstre for det binære punktet) med verdi 1, med mindre eksponenten er lagret med alle nuller. Dermed vises bare 23 brøkbiter av betydningen i minneformatet, men den totale presisjonen er 24 bits (tilsvarer logg ₁₀ (2 ²⁴ ) ≈ 7,225 desimal siffer). Bitene er lagt ut som følger:

Den virkelige verdien antas av en gitt 32-biters binær32- data med et gitt tegn , forspent eksponent e (det 8-bits usignerte heltallet) og en 23-biters brøkdel er

{\ displaystyle (-1)^{b_ {31}} \ ganger 2^{(b_ {30} b_ {29} \ punkter b_ {23}) _ {2} -127} \ ganger (1.b_ {22 } b_ {21} \ prikker b_ {0}) _ {2}}

,

som gir

{\ displaystyle {\ text {value}} = (-1)^{\ text {sign}} \ ganger 2^{(E-127)} \ times \ left (1+ \ sum _ {i = 1}^ {23} b_ {23-i} 2^{-i} \ høyre).}

I dette eksemplet:

${\ displaystyle {\ text {sign}} = b_ {31} = 0}$ ,
${\ displaystyle (-1)^{\ text {sign}} = (-1)^{0} =+1 \ in \ {-1,+1 \}}$ ,
${\ displaystyle E = b_ {30} b_ {29} \ prikker b_ {23} = \ sum _ {i = 0}^{7} b_ {23+i} 2^{+i} = 124 \ in \ { 1, \ ldots, (2^{8} -1) -1 \} = \ {1, \ ldots, 254 \}}$ ,
${\ displaystyle 2^{(E-127)} = 2^{124-127} = 2^{-3} \ in \ {2^{-126}, \ ldots, 2^{127} \}}$ ,
${\ displaystyle 1.b_ {22} b_ {21} ... b_ {0} = 1+\ sum _ {i = 1}^{23} b_ {23-i} 2^{-i} = 1+ 1 \ cdot 2^{-2} = 1,25 \ in \ {1,1+2^{-23}, \ ldots, 2-2^{-23} \} \ delsett [1; 2-2^{- 23}] \ delsett [1; 2)}$ .

og dermed:

${\ displaystyle {\ text {verdi}} = (+1) \ ganger 2^{-3} \ ganger 1,25 =+0,15625}$ .

Merk:

${\ displaystyle 1+2^{-23} \ ca 1.000 \, 000 \, 119}$ ,
${\ displaystyle 2-2^{-23} \ ca 1.999 \, 999 \, 881}$ ,
${\ displaystyle 2^{-126} \ approx 1.175 \, 494 \, 35 \ times 10^{-38}}$ ,
${\ displaystyle 2^{+127} \ ca 1.701 \, 411 \, 83 \ ganger 10^{+38}}$ .

Eksponentkoding

Den enkeltpresisjonære binære flytende eksponenten er kodet ved hjelp av en offset-binær representasjon, med nullforskyvningen 127; også kjent som eksponentskjevhet i IEEE 754 -standarden.

E _min = 01 _H −7F _H = −126
E _max = FE _H −7F _H = 127
Eksponentskjevhet = 7F _H = 127

For å få den sanne eksponenten slik den er definert av den offset-binære representasjonen, må forskyvningen på 127 trekkes fra den lagrede eksponenten.

De lagrede eksponentene 00 _H og FF _H tolkes spesielt.

Eksponent	brøk = 0	brøk ≠ 0	Ligning
00 _H = 00000000 ₂	± null	unormalt tall	${\ displaystyle (-1)^{sign} \ times 2^{-126} \ times 0.fraction}$
01 _H , ..., FE _H = 00000001 ₂ , ..., 11111110 ₂	normal verdi		${\ displaystyle (-1)^{sign} \ times 2^{exponent-127} \ times 1.fraction}$
FF _H = 11111111 ₂	± uendelig	NaN (stille, signalering)

Minimum positiv normalverdi er og minimum positiv (subnormal) verdi . ${\ displaystyle 2^{-126} \ ca 1,18 \ ganger 10^{-38}}$ ${\ displaystyle 2^{-149} \ ca 1,4 \ ganger 10^{-45}}$

Konvertering fra desimalrepresentasjon til binary32 -format

Generelt, se selve IEEE 754 -standarden for streng konvertering (inkludert avrundingsatferd) av et reelt tall til det tilsvarende binary32 -formatet.

Her kan vi vise hvordan du konverterer et ekte base-10 til et IEEE 754 binary32-format ved å bruke følgende disposisjon:

Tenk på et reelt tall med et helt tall og en brøkdel, for eksempel 12.375
Konverter og normaliser heltallsdelen til binær
Konverter brøkdelen ved å bruke følgende teknikk som vist her
Legg til de to resultatene og juster dem for å få en riktig sluttkonvertering

Konvertering av brøkdelen: Vurder 0,375, brøkdelen av 12,375. For å konvertere den til en binær brøk, multipliser brøkdelen med 2, ta heltallsdelen og gjenta med den nye fraksjonen med 2 til en brøkdel av null er funnet eller til presisjonsgrensen er nådd, som er 23 brøk siffer for IEEE 754 binary32 format .

{\ displaystyle 0.375 \ ganger 2 = 0.750 = 0+0.750 \ Høyre pil b _ {-1} = 0}

, representerer heltallsdelen det binære fraksjonstallet. Multipliser 0,750 med 2 for å fortsette

{\ displaystyle 0.750 \ ganger 2 = 1.500 = 1+0.500 \ Høyre pil b _ {-2} = 1}

{\ displaystyle 0.500 \ ganger 2 = 1.000 = 1+0.000 \ Høyre pil b _ {-3} = 1}

, brøk = 0,011, avslutt

Vi ser at det kan være nøyaktig representert i binær som . Ikke alle desimalfraksjoner kan representeres i en endelig sifret binær brøk. For eksempel kan desimal 0,1 ikke representeres i binær nøyaktig, bare tilnærmet. Derfor: ${\ displaystyle (0.375) _ {10}}$ ${\ displaystyle (0.011) _ {2}}$

{\ displaystyle (12.375) _ {10} = (12) _ {10}+(0.375) _ {10} = (1100) _ {2}+(0.011) _ {2} = (1100.011) _ {2} }

Siden IEEE 754 binary32 -format krever at reelle verdier er representert i format (se Normalisert nummer , detormaliserte tallet ), flyttes 1100.011 til høyre med 3 sifre for å bli ${\ displaystyle (1.x_ {1} x_ {2} ... x_ {23}) _ {2} \ ganger 2^{e}}$ ${\ displaystyle (1.100011) _ {2} \ ganger 2^{3}}$

Endelig kan vi se at: ${\ displaystyle (12.375) _ {10} = (1.100011) _ {2} \ ganger 2^{3}}$

Som vi utledes av:

Eksponenten er 3 (og i partisk form er det derfor ) ${\ displaystyle 130 = 1000 \ 0010}$
Brøken er 100011 (ser til høyre for det binære punktet)

Fra disse kan vi danne den resulterende 32-biters IEEE 754 binary32-formatrepresentasjonen på 12.375:

{\ displaystyle (12.375) _ {10} = (0 \ 10000010 \ 10001100000000000000000) _ {2} = (41460000) _ {16}}

Merk: Vurder å konvertere 68.123 til IEEE 754 binary32 -format: Ved å bruke fremgangsmåten ovenfor forventer du å få med de siste 4 bitene 1001. På grunn av standard avrundingsatferd for IEEE 754 -format, er det du får , hvis siste 4 bits er 1010. ${\ displaystyle ({\ text {42883EF9}}) _ {16}}$ ${\ displaystyle ({\ text {42883EFA}}) _ {16}}$

Eksempel 1: Tenk på desimal 1. Vi kan se at: ${\ displaystyle (1) _ {10} = (1.0) _ {2} \ ganger 2^{0}}$

Som vi utledes av:

Eksponenten er 0 (og i partisk form er det derfor ) ${\ displaystyle 127 = 0111 \ 1111}$
Brøken er 0 (ser til høyre for det binære punktet i 1.0 er alt ) ${\ displaystyle 0 = 000 ... 0}$

Fra disse kan vi danne den resulterende 32-biters IEEE 754 binary32-formatrepresentasjonen av reelt tall 1:

{\ displaystyle (1) _ {10} = (0 \ 01111111 \ 00000000000000000000000) _ {2} = ({\ text {3F800000}}) _ {16}}

Eksempel 2: Vurder en verdi 0,25. Vi kan se at: ${\ displaystyle (0.25) _ {10} = (1.0) _ {2} \ ganger 2^{-2}}$

Som vi utledes av:

Eksponenten er −2 (og i partisk form er det ) ${\ displaystyle (127+(-2)) _ {10} = (125) _ {10} = (0111 \ 1101) _ {2}}$
Brøken er 0 (ser til høyre for binært punkt i 1.0 er alle nuller)

Fra disse kan vi danne den resulterende 32-biters IEEE 754 binary32-formatrepresentasjonen av reelt tall 0.25:

{\ displaystyle (0.25) _ {10} = (0 \ 01111101 \ 00000000000000000000000) _ {2} = ({\ text {3E800000}}) _ {16}}

Eksempel 3: Vurder en verdi på 0,375. Vi så det ${\ displaystyle 0.375 = {(0.011) _ {2}} = {(1.1) _ {2}} \ ganger 2^{-2}}$

Derfor, etter å ha bestemt en representasjon på 0,375, kan vi fortsette som ovenfor: ${\ displaystyle {(1.1) _ {2}} \ ganger 2^{-2}}$

Eksponenten er −2 (og i partisk form er det ) ${\ displaystyle (127+(-2)) _ {10} = (125) _ {10} = (0111 \ 1101) _ {2}}$
Brøken er 1 (ser til høyre for binært punkt i 1.1 er en singel ) ${\ displaystyle 1 = x_ {1}}$

Fra disse kan vi danne den resulterende 32-biters IEEE 754 binary32-formatrepresentasjonen av reelt tall 0.375:

{\ displaystyle (0.375) _ {10} = (0 \ 01111101 \ 10000000000000000000000) _ {2} = ({\ text {3EC00000}}) _ {16}}

Enkeltpresisjon eksempler

Disse eksempler er gitt i bits representasjon , i heksadesimal og binær , av den flyttallsverdi. Dette inkluderer tegnet, (partisk) eksponenten og betydningen.

0 00000000 00000000000000000000001₂ = 0000 0001₁₆ = 2⁻¹²⁶ × 2⁻²³ = 2⁻¹⁴⁹ ≈ 1.4012984643 × 10⁻⁴⁵
                                                   (smallest positive subnormal number)

0 00000000 11111111111111111111111₂ = 007f ffff₁₆ = 2⁻¹²⁶ × (1 − 2⁻²³) ≈ 1.1754942107 ×10⁻³⁸
                                                   (largest subnormal number)

0 00000001 00000000000000000000000₂ = 0080 0000₁₆ = 2⁻¹²⁶ ≈ 1.1754943508 × 10⁻³⁸
                                                   (smallest positive normal number)

0 11111110 11111111111111111111111₂ = 7f7f ffff₁₆ = 2¹²⁷ × (2 − 2⁻²³) ≈ 3.4028234664 × 10³⁸
                                                   (largest normal number)

0 01111110 11111111111111111111111₂ = 3f7f ffff₁₆ = 1 − 2⁻²⁴ ≈ 0.999999940395355225
                                                   (largest number less than one)

0 01111111 00000000000000000000000₂ = 3f80 0000₁₆ = 1 (one)

0 01111111 00000000000000000000001₂ = 3f80 0001₁₆ = 1 + 2⁻²³ ≈ 1.00000011920928955
                                                   (smallest number larger than one)

1 10000000 00000000000000000000000₂ = c000 0000₁₆ = −2
0 00000000 00000000000000000000000₂ = 0000 0000₁₆ = 0
1 00000000 00000000000000000000000₂ = 8000 0000₁₆ = −0
                                   
0 11111111 00000000000000000000000₂ = 7f80 0000₁₆ = infinity
1 11111111 00000000000000000000000₂ = ff80 0000₁₆ = −infinity
                                   
0 10000000 10010010000111111011011₂ = 4049 0fdb₁₆ ≈ 3.14159274101257324 ≈ π ( pi )
0 01111101 01010101010101010101011₂ = 3eaa aaab₁₆ ≈ 0.333333343267440796 ≈ 1/3
                                   
x 11111111 10000000000000000000001₂ = ffc0 0001₁₆ = qNaN (on x86 and ARM processors)
x 11111111 00000000000000000000001₂ = ff80 0001₁₆ = sNaN (on x86 and ARM processors)

Som standard runder 1/3 opp, i stedet for nedover som dobbel presisjon , på grunn av det like store antallet bits i betydningen. Bitene på 1/3 utover avrundingspunktet 1010...er mer enn 1/2 av en enhet på det siste stedet .

Kodinger av qNaN og sNaN er ikke spesifisert i IEEE 754 og implementert ulikt på forskjellige prosessorer. Den x86 familien og ARM familie prosessorer bruker mest signifikante bit av significand feltet for å indikere en rolig NaN. De PA-RISC prosessorer bruker bit for å indikere en signale NaN.

Konvertering fra enkel presisjon binær til desimal

Vi starter med den heksadesimale representasjonen av verdien, 41C80000 , i dette eksemplet, og konverterer den til binær:

{\ displaystyle {\ text {41C8 0000}} _ {16} = 0100 \ 0001 \ 1100 \ 1000 \ 0000 \ 0000 \ 0000 \ 0000_ {2}}

så deler vi den ned i tre deler: tegnbit, eksponent og betydning.

Skiltbit: ${\ displaystyle 0_ {2}}$
Eksponent: ${\ displaystyle 1000 \ 0011_ {2} = 83_ {16} = 131_ {10}}$
Betydelig: ${\ displaystyle 100 \ 1000 \ 0000 \ 0000 \ 0000 \ 0000_ {2} = 480000_ {16}}$

Vi legger deretter den implisitte 24. bit til betydningen:

Betydelig: ${\ displaystyle \ mathbf {1} 100 \ 1000 \ 0000 \ 0000 \ 0000 \ 0000_ {2} = {\ text {C80000}} _ {16}}$

og dekode eksponentverdien ved å trekke fra 127:

Rå eksponent: ${\ displaystyle 83_ {16} = 131_ {10}}$
Avkodet eksponent: ${\ displaystyle 131-127 = 4}$

Hver av de 24 bitene i betydningen (inkludert den implisitte 24. bit), bit 23 til bit 0, representerer en verdi, som starter med 1 og halvdeler for hver bit, som følger:

bit 23 = 1
bit 22 = 0.5
bit 21 = 0.25
bit 20 = 0.125
bit 19 = 0.0625
bit 18 = 0.03125
.
.
bit 0 = 0.00000011920928955078125

Betydningen i dette eksemplet har tre bits satt: bit 23, bit 22 og bit 19. Vi kan nå dekode betydningen ved å legge til verdiene representert av disse bitene.

Avkodet betydning: ${\ displaystyle 1+0.5+0.0625 = 1.5625 = {\ text {C80000}}/2^{23}}$

Da må vi multiplisere med basen, 2, til eksponentens kraft, for å få det endelige resultatet:

{\ displaystyle 1.5625 \ ganger 2^{4} = 25}

Og dermed

{\ displaystyle {\ text {41C8 0000}} = 25}

Dette tilsvarer:

{\ displaystyle n = (-1)^{s} \ ganger (1+m*2^{-23}) \ ganger 2^{x-127}}

hvor $s$ er tegnbiten, $x$ er eksponenten, og $m$ er betydningen.

Presisjonsbegrensninger på desimalverdier i [1, 16777216]

Desimaler mellom 1 og 2: fast intervall 2 ⁻²³ (1+2 ⁻²³ er den nest største flottøren etter 1)
Desimaler mellom 2 og 4: fast intervall 2 ⁻²²
Desimaler mellom 4 og 8: fast intervall 2 ⁻²¹
...
Desimaler mellom 2 ⁿ og 2 ⁿ⁺¹ : fast intervall 2 ^n-23
...
Desimaler mellom 2 ²² = 4194304 og 2 ²³ = 8388608: fast intervall 2 ⁻¹ = 0,5
Desimaler mellom 2 ²³ = 8388608 og 2 ²⁴ = 16777216: fast intervall 2 ⁰ = 1

Presisjonsbegrensninger på heltallsverdier

Heltall mellom 0 og 16777216 kan representeres nøyaktig (gjelder også for negative heltall mellom −16777216 og 0)
Heltall mellom 2 ²⁴ = 16777216 og 2 ²⁵ = 33554432 runde til et multiplum av 2 (partall)
Heltall mellom 2 ²⁵ og 2 ²⁶ runde til et multiplum av 4
...
Heltall mellom 2 ⁿ og 2 ⁿ⁺¹ runde til et multiplum av 2 ^n-23
...
Heltall mellom 2 ¹²⁷ og 2 ¹²⁸ runde til et multiplum av 2 ¹⁰⁴
Heltall større enn eller lik 2 ¹²⁸ avrundes til "uendelig".

Optimaliseringer

Utformingen av floating-point-format tillater forskjellige optimaliseringer, som følge av den enkle genereringen av en base-2-logaritme- tilnærming fra et heltallssyn av råbitmønsteret. Heltall aritmetikk og bitforskyvning kan gi en tilnærming til gjensidig kvadratrot ( rask invers kvadratrot ), vanligvis påkrevd i datagrafikk .

Se også

IEEE-standard for flytende aritmetikk (IEEE 754)
ISO/IEC 10967 , språkuavhengig regning
Primitiv datatype
Numerisk stabilitet

Languages

In other projects

Enkeltpresisjon flytende punktformat- Single-precision floating-point format

Innhold

IEEE 754 binær flytende punktformat med én presisjon: binary32

Eksponentkoding

Konvertering fra desimalrepresentasjon til binary32 -format

Enkeltpresisjon eksempler

Konvertering fra enkel presisjon binær til desimal

Presisjonsbegrensninger på desimalverdier i [1, 16777216]

Presisjonsbegrensninger på heltallsverdier

Optimaliseringer

Se også

Referanser

Eksterne linker