Halvfelt - Semifield

Algebraisk struktur → Ring teori Ring teori
Enkle konsepter Ringer • Subringe • Ideell • Kvotient ring • Fraksjonalt ideal • Total kvotientring • Produktring • Gratis produkt av assosierende algebraer • Tensorprodukt av ringer Ring homomorfismer • Kjerne • Indre automorfisme • Frobenius endomorfisme Algebraiske strukturer • Modul • Assosiativ algebra • Gradert ring • Involutiv ring • Kategori av ringer • Første ring ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Terminalring ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Beslektede strukturer • Felt • Endelig felt • Ikke-assosiativ ring • Løgnring • Jordanring • Semiring • Halvfelt
Kommutativ algebra Kommutative ringer • Integrert domene • Integrert lukket domene • GCD-domene • Unikt faktoriseringsdomene • Hovedideell domene • Euklidisk domene • Felt • Endelig felt • Komposisjonsring • Polynomring • Formell kretsseriering Algebraisk tallteori • Felt for algebraisk nummer • Ring av heltall • Algebraisk uavhengighet • Transcendental tallteori • Transcendens grad p -adisk tallteori og desimaler • Direkte grense / omvendt grense • Nullring ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Heltall modulo p n ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p- ring ${\ displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Base - p sirkelring ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • Base - p heltall ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -adiske begrunnelser ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • Base - p reelle tall ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -adiske heltall ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p- store tall ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • p- magnetisk solenoid ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Algebraisk geometri • Avgrens variasjon
Ikke-kommutativ algebra Ikke-kommutative ringer • Divisjonsring • Halvrimitiv ring • Enkel ring • Kommutator Ikke-kommutativ algebraisk geometri Gratis algebra Clifford algebra • Geometrisk algebra Operatøralgebra
v t e

I matematikk er et halvfelt en algebraisk struktur med to binære operasjoner , addisjon og multiplikasjon, som ligner på et felt , men med noen aksiomer avslappet.

Oversikt

Begrepet semifelt har to motstridende betydninger, som begge inkluderer felt som et spesielt tilfelle.

• I prosjektiv geometri og endelig geometri ( MSC 51A, 51E, 12K10) er en semifelt en ikke-assosiativ divisjonsring med multiplikativt identitetselement. Mer presist, det er en ikke-assosiativ ring hvis ikke-null-elementer danner en løkke under multiplikasjon. Med andre ord er et semifelt et sett S med to operasjoner + (tillegg) og · (multiplikasjon), slik at
  • ( S , +) er en abelsk gruppe ,
  • multiplikasjon er fordelende på både venstre og høyre,
  • det eksisterer et multiplikativt identitetselement , og
  • inndeling er alltid mulig: for hver a og ikke-null b i S , eksisterer det unike x og y i S som b · x = a og y · b = a .

Merk deg spesielt at multiplikasjonen ikke antas å være kommutativ eller assosiativ . Et halvfelt som er assosiativt er en divisjonsring , og en som er både assosiativ og kommutativ er et felt . Et halvfelt etter denne definisjonen er et spesielt tilfelle av et kvasifelt . Hvis S er endelig, kan det siste aksiomet i definisjonen ovenfor erstattes med antagelsen om at det ikke er noen nulldelere , slik at a · b = 0 innebærer at a = 0 eller b = 0. Merk at på grunn av mangel på assosiativitet , er det siste aksiomet ikke ekvivalent med antagelsen om at hvert ikke-null element har en multiplikativ invers, slik det vanligvis finnes i definisjoner av felt og delingsringer.

• I ringteori , kombinatorikk , funksjonsanalyse og teoretisk informatikk ( MSC 16Y60) er et semifelt en semiring ( S , +, ·) der alle ikke-null-elementer har en multiplikativ invers. Disse objektene kalles også skikkelige semifelt . En variasjon av denne definisjonen oppstår hvis S inneholder et absorberende null som er forskjellig fra multiplikasjonsenheten e , er det nødvendig at elementene som ikke er null er inverterbare, og a · 0 = 0 · a = 0. Siden multiplikasjon er assosiativ , er (ikke-null) elementer i et semifelt danner en gruppe . Imidlertid er paret ( S , +) bare en semigruppe , dvs. omvendt additiv trenger ikke eksistere, eller, i det vanlige, "det er ingen subtraksjon". Noen ganger antas det ikke at multiplikasjonen er assosiativ.

Primitivitet av halvfelter

Et semifelt D kalles høyre (resp. Venstre) primitiv hvis det har et element w slik at settet med ikke-null elementer av D * er lik settet med alle høyre (resp. Venstre) hovedmakter av w.

Eksempler

Vi gir bare eksempler på semifelt i andre forstand, dvs. additive semigrupper med distribuerende multiplikasjon. Dessuten er addisjon kommutativ og multiplikasjon er assosiativ i våre eksempler.

• Positive rasjonelle tall med vanlig tillegg og multiplikasjon danner et kommutativ semifelt.

  Dette kan utvides med en absorberende 0.

• Positive reelle tall med vanlig tillegg og multiplikasjon danner et kommutativ semifelt.

  Dette kan utvides med en absorberende 0, og danner sannsynligheten semiring , som er isomorf til loggen semiring .

• Rasjonelle funksjoner av formen f / g , der f og g er polynomer i en variabel med positive koeffisienter, danner et kommutativt semifelt.

  Dette kan utvides til å omfatte 0.

• De reelle tallene R kan sees på et halvfelt der summen av to elementer er definert til å være deres maksimale og at produktet skal være deres ordinære sum; dette halvfeltet er mer kompakt betegnet ( R , max, +). Tilsvarende ( R , min, +) er et halvfelt. Disse kalles den tropiske semiring .

  Dette kan utvides med −∞ (en absorberende 0); dette er grensen ( tropisering ) av loggen semiring som basen går til uendelig.

• Generellisering av det forrige eksemplet, hvis ( A , ·, ≤) er en gitterbestilt gruppe, er ( A , +, ·) et additivt idempotent halvfelt med halvfeltsummen definert til å være overdelen av to elementer. Omvendt definerer ethvert additivt idempotent semifelt ( A , +, ·) en gitterbestilt gruppe ( A , ·, ≤), hvor a ≤ b hvis og bare hvis a + b = b .
• Den boolske halvfelt B = {0, 1} med tillegg definert av logisk eller , og multiplikasjon definert av logisk og .

Se også

• Plan ternær ring (første sans)

Referanser