Polymatroid - Polymatroid

I matematikk er en polymatroid en polytop assosiert med en submodulær funksjon . Forestillingen ble introdusert av Jack Edmonds i 1970. Den beskrives også som multiset -analogen til matroid .

Definisjon

La oss være et begrenset sett og en ikke-reduserende submodulær funksjon , det vil si for hver vi har og for hver vi har . Vi definerer polymatroid assosiert med å være følgende polytop : ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle f: 2^{E} \ rightarrow \ mathbb {R} _ {+}}$${\ displaystyle A \ subseteq B \ subseteq E}$${\ displaystyle f (A) \ leq f (B)}$${\ displaystyle A, B \ subseteq E}$${\ displaystyle f (A)+f (B) \ geq f (A \ cup B)+f (A \ cap B)}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle P_ {f} = {\ Big \ {} {\ textbf {x}} \ in \ mathbb {R} _ {+}^{E} ~ {\ Big |} ~ \ sum _ {e \ in U} {\ textbf {x}} (e) \ leq f (U), \ forall U \ subseteq E {\ Big \}}}$.

Når vi lar oppføringene av være negative, betegner vi denne polytopen med , og kaller den den utvidede polymatroid som er knyttet til . ${\ displaystyle {\ textbf {x}}}$${\ displaystyle EP_ {f}}$${\ displaystyle f}$

En tilsvarende definisjon

La være et begrenset sett og . Vi kaller modulen for å være summen av alle oppføringene, betegnet og betegnet når som helst for hver gang (legg merke til at dette gir en ordre til ). En polymatroid på bakkesettet er en ikke -fritatt kompakt undersett i settet med uavhengige vektorer, slik at: ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ textbf {u}}, {\ textbf {v}} \ in \ mathbb {R} ^{E}}$${\ displaystyle {\ textbf {u}}}$${\ displaystyle | {\ textbf {u}} |}$${\ displaystyle {\ textbf {u}} \ leq {\ textbf {v}}}$${\ displaystyle v_ {i} -u_ {i} \ geq 0}$${\ displaystyle i \ i E}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}^{E}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}^{E}}$

1. Vi har det hvis , så for hver :${\ displaystyle {\ textbf {v}} \ i P}$${\ displaystyle {\ textbf {u}} \ i P}$${\ displaystyle {\ textbf {u}} \ leq {\ textbf {v}}}$
2. Hvis med , så er det en vektor slik det .${\ displaystyle {\ textbf {u}}, {\ textbf {v}} \ i P}$${\ displaystyle | {\ textbf {v}} |> | {\ textbf {u}} |}$${\ displaystyle w \ in P}$${\ displaystyle {\ textbf {u}} <{\ textbf {w}} \ leq (\ max \ {u_ {1}, v_ {1} \}, \ dots, \ max \ {u_ {| E |} , v_ {| E |} \})}$

Denne definisjonen tilsvarer den som er beskrevet før, hvor er funksjonen definert av for hver . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (A) = \ max {\ Big \ {} \ sum _ {i \ in A} {\ textbf {v}} (i) ~ {\ Big |} ~ {\ textbf {v}} \ i P {\ Big \}}}$${\ displaystyle A \ delsett E}$

Forholdet til matroider

Til hver matroid på bakkesettet kan vi knytte settet , hvor for hvert vi har det ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle P_ {M} = \ {{\ textbf {w}} _ {F} ~ | ~ F \ i M \}}$${\ displaystyle i \ i E}$

${\ displaystyle {\ textbf {w}} _ {F} (i) = {\ begin {cases} 1, & i \ in F; \\ 0, & i \ not \ in F. \ end {cases}}}$

Ved å ta det konvekse skroget får vi en polymatroid, i betydningen den andre definisjonen, knyttet til rangfunksjonen til . ${\ displaystyle P_ {M}}$${\ displaystyle M}$

Forholdet til generalisert permutahedra

Fordi generalisert permutahedra kan konstrueres fra submodulære funksjoner, og hver generalisert permutahedron har en tilhørende submodulær funksjon, har vi at det skal være en samsvar mellom generalisert permutahedra og polymatroider. Faktisk er hver polymatroid en generalisert permutahedron som har blitt oversatt for å ha et toppunkt i opprinnelsen. Dette resultatet antyder at kombinatorisk informasjon om polymatroider deles med generalisert permutahedra.

Egenskaper

${\ displaystyle P_ {f}}$er nonempty hvis og bare hvis og det er nonempty hvis og bare hvis . ${\ displaystyle f \ geq 0}$${\ displaystyle EP_ {f}}$${\ displaystyle f (\ emptyset) \ geq 0}$

Gitt enhver utvidet polymatroid er det en unik submodulær funksjon slik at og . ${\ displaystyle EP}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (\ emptyset) = 0}$${\ displaystyle EP_ {f} = EP}$

Kontrapolymatroider

For en supermodulær f kan man analogt definere contrapolymatroid

${\ displaystyle {\ Big \ {} w \ in \ mathbb {R} _ {+}^{E} ~ {\ Big |} ~ \ forall S \ subseteq E, \ sum _ {e \ in S} w ( e) \ geq f (S) {\ Big \}}}$

Dette generaliserer analogt den dominerende av den spennende settpolytopen til matroider.

Diskrete polymatroider

Når vi bare fokuserer på gitterpunktene til våre polymatroider får vi det som kalles, diskrete polymatroider . Formelt sett går definisjonen av en diskret polymatroid nøyaktig som den for polymatroider bortsett fra hvor vektorene vil bo i, i stedet for at de vil leve i . Dette kombinatoriske objektet er av stor interesse på grunn av deres forhold til monomidealer . ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}^{E}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {+}^{E}}$

Referanser

Fotnoter

Ytterligere lesning

• Lee, Jon (2004), A First Course in Combinatorial Optimization , Cambridge University Press , ISBN 0-521-01012-8
• Fujishige, Satoru (2005), submodulære funksjoner og optimalisering , Elsevier , ISBN 0-444-52086-4
• Narayanan, H. (1997), Submodular Functions and Electrical Networks , ISBN 0-444-82523-1