Nutation - Nutation

  Rotasjon,   presesjon, og   nutasjon i en planets skråhet

Nutasjon (fra latin nūtātiō , "nikkende, svaiende") er en gyngende, svaiende eller nikkende bevegelse i rotasjonsaksen til et stort sett aksielt symmetrisk objekt, for eksempel et gyroskop , planet eller kule i flukt , eller som en tilsiktet oppførsel av en mekanisme. I en passende referanseramme kan den defineres som en endring i den andre Euler -vinkelen . Hvis det ikke er forårsaket av krefter utenfor kroppen, kalles det fri mutter eller Euler mutter . En ren mutter er en bevegelse av en rotasjonsakse slik at den første Euler -vinkelen er konstant. Derfor kan det sees at den sirkulære røde pilen i diagrammet indikerer de kombinerte effektene av presesjon og mutter, mens mutter i fravær av presesjon bare ville endre tilt fra vertikal (andre Euler -vinkel). I romfartøyets dynamikk blir imidlertid presesjon (en endring i den første Euler -vinkelen) noen ganger referert til som nutasjon.

Stiv kropp

Hvis en topp settes på en helling på en horisontal overflate og roteres raskt, begynner rotasjonsaksen å gå rundt vertikalen. Etter et kort intervall setter toppen seg i en bevegelse der hvert punkt på rotasjonsaksen følger en sirkelbane. Den vertikale tyngdekraften gir et horisontalt dreiemoment τ rundt kontaktpunktet med overflaten; toppen roterer i retning av dette dreiemomentet med en vinkelhastighet Ω slik at når som helst

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {L},}$ (vektor kryss produkt )

der L er øyeblikkelig vinkelmoment på toppen.

I utgangspunktet er det imidlertid ingen presesjon, og den øvre delen av toppen faller sidelengs og nedover, og vipper derved. Dette gir opphav til en ubalanse i dreiemomenter som starter presesjonen. Når du faller, overskrider toppen mengden tilt som den ville gå presist på og deretter svinge om dette nivået. Denne svingningen kalles nutasjon . Hvis bevegelsen dempes, vil svingningene dø ned til bevegelsen er en jevn presesjon.

Næringsfysikken i topper og gyroskoper kan utforskes ved å bruke modellen til en tung symmetrisk topp med spissen fast. (En symmetrisk topp er en med rotasjonssymmetri, eller mer generelt en der to av de tre viktigste treghetsmomentene er like.) I utgangspunktet ignoreres effekten av friksjon. Toppens bevegelse kan beskrives med tre Euler -vinkler : vippevinkelen θ mellom symmetriaksen til toppen og vertikal (andre Euler -vinkel); den asimut φ av topp om den vertikale (første Euler-vinkler); og rotasjonsvinkelen ψ på toppen rundt sin egen akse (tredje Euler -vinkel). Dermed er presesjon endringen i φ og nutasjon er endringen i θ .

Hvis toppen har masse M og massesenteret er i en avstand l fra dreiepunktet, er dens gravitasjonspotensial i forhold til støttens plan

${\ displaystyle V = Mgl \ cos (\ theta).}$

I et koordinatsystem hvor z -aksen er symmetriaksen, har toppen vinkelhastigheter ω ₁ ,  ω ₂ ,  ω ₃ og treghetsmomenter I ₁ ,  I ₂ ,  I ₃ om x- , y- og z -aksene. Siden vi tar en symmetrisk topp, har vi I ₁ = I ₂ . Den kinetiske energien er

${\ displaystyle E _ {\ text {r}} = {\ frac {1} {2}} I_ {1} \ venstre (\ omega _ {1}^{2}+\ omega _ {2}^{2} \ høyre)+{\ frac {1} {2}} I_ {3} \ omega _ {3}^{2}.}$

Når det gjelder Euler -vinklene, er dette

${\ displaystyle E _ {\ text {r}} = {\ frac {1} {2}} I_ {1} \ venstre ({\ dot {\ theta}}^{2}+{\ dot {\ phi}} ^{2} \ sin ^{2} (\ theta) \ høyre)+{\ frac {1} {2}} I_ {3} \ venstre ({\ punkt {\ psi}}+{\ punkt {\ phi }} \ cos (\ theta) \ høyre)^{2}.}$

Hvis Euler - Lagrange -ligningene er løst for dette systemet, blir det funnet at bevegelsen er avhengig av to konstanter a og b (hver relatert til en bevegelseskonstant ). Presessjonshastigheten er relatert til tilt by

${\ displaystyle {\ dot {\ phi}} = {\ frac {ba \ cos (\ theta)} {\ sin ^{2} (\ theta)}}}.}$

Tilting bestemmes av en differensialligning for u = cos ( θ ) av formen

${\ displaystyle {\ dot {u}}^{2} = f (u)}$

hvor f er et kubisk polynom som er avhengig av parametere a og b samt konstanter som er relatert til energien og gravitasjonsmomentet. Røttene til f er cosinus av vinklene der endringshastigheten til θ er null. En av disse er ikke relatert til en fysisk vinkel; de to andre bestemmer de øvre og nedre grensene på vippevinkelen, mellom hvilke gyroskopet svinger.

Astronomi

Næringen av en planet skjer fordi gravitasjonseffektene til andre kropper får hastigheten på dens aksiale presesjon til å variere over tid, slik at hastigheten ikke er konstant. Den engelske astronomen James Bradley oppdaget mutasjonen av jordas akse i 1728.

Jord

Årlige endringer i plasseringen av kreftens trope nær en motorvei i Mexico

Nutation endrer subtilt jordens aksiale tilt med hensyn til ekliptisk plan, og forskyver de store breddegradsirkler som er definert av jordens tilt ( tropiske sirkler og polarsirkler ).

Når det gjelder jorden, er de viktigste kildene til tidevannskraft Solen og månen , som kontinuerlig endrer plassering i forhold til hverandre og dermed forårsaker næring i jordas akse. Den største komponenten av jordens nutering har en periode på 18,6 år, den samme som for presesjonen til månens orbitale noder . Det er imidlertid andre betydelige periodiske termer som må tas hensyn til, avhengig av ønsket nøyaktighet av resultatet. En matematisk beskrivelse (sett med ligninger) som representerer nutasjon kalles en "nutationsteori". I teorien justeres parametere i en mer eller mindre ad hoc -metode for å få den beste tilpasningen til data. Enkel stiv kroppsdynamikk gir ikke den beste teorien; man må ta hensyn til deformasjoner av jorden, inkludert mantelelastisitet og endringer i kjerne -mantelgrensen .

Den viktigste termen for nutering skyldes regresjonen av månens nodal line og har samme periode på 6798 dager (18,61 år). Den når pluss minus 17 ″ i lengdegrad og 9,2 ″ i skråhet . Alle andre termer er mye mindre; den nest største, med en periode på 183 dager (0,5 år), har amplituder på henholdsvis 1,3 ″ og 0,6 ″. Perioden for alle termer større enn 0,0001 ″ (omtrent like nøyaktig som tilgjengelig teknologi kan måle) ligger mellom 5,5 og 6798 dager; av en eller annen grunn (som med tidevannsperioder i havet) ser det ut til at de unngår intervallet fra 34,8 til 91 dager, så det er vanlig å dele næringen i lange og korte perioder. Langtidsbetingelsene beregnes og nevnes i almanakkene, mens tilleggskorreksjonen på grunn av kortperioden vanligvis tas fra en tabell. De kan også beregnes fra Julian dag i henhold til IAU 2000B metodikk.

I populærkulturen

I 1961 katastrofefilm dagen jorden tok fyr , den nesten samtidige detonasjon av to super- hydrogenbomber ved polene fører til en endring i jordens nutasjon, samt en 11 ° forskyvning i aksehelling og en endring i jordens bane rundt solen.

Se også

• Librering

Merknader

Referanser