Normal basis - Normal basis

I matematikk , spesielt den algebraiske teorien om felt , er et normalt grunnlag en spesiell type grunnlag for Galois-utvidelser av endelig grad, karakterisert som å danne en enkelt bane for Galois-gruppen . De normale basis teorem sier at noen endelig Galois utvidelse av felt har en normal basis. I algebraisk tallteori er studiet av det mer raffinerte spørsmålet om eksistensen av et normalt integrert grunnlag en del av Galois- modulteorien.

Normalsetning

La være en Galois-utvidelse med Galois-gruppen . Den klassiske normal basis teorem angir at det er et element slik at det danner en basis av K , betraktes som en vektor plass enn F . Det vil si at ethvert element kan skrives unikt som for noen elementer ${\ displaystyle F \ delmengde K}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ beta \ i K}$${\ displaystyle \ {g (\ beta): g \ i G \}}$${\ displaystyle \ alpha \ in K}$${\ textstyle \ alpha = \ sum _ {g \ in G} a_ {g} \, g (\ beta)}$${\ displaystyle a_ {g} \ i F.}$

Et normalt grunnlag står i kontrast til et primitivt grunnlag av formen , hvor er et element hvis minimale polynom har grad . ${\ displaystyle \ {1, \ beta, \ beta ^ {2}, \ ldots, \ beta ^ {n-1} \}}$${\ displaystyle \ beta \ i K}$${\ displaystyle n = [K: F]}$

Gruppepresentasjon synspunkt

En feltforlengelse med Galois-gruppe G kan naturlig sees på som en representasjon av gruppen G over feltet F der hver automorfisme er representert av seg selv. Representasjoner av G over felt F kan sees på som venstre moduler for gruppealgebra . Hver homomorfisme av venstre- moduler er form for noen . Da er en lineær basis fra spissen F , følger det lett det er bijektiv iff genererer en normal basis av K enn F . Normalgrunnsetningen tilsvarer derfor utsagnet som sier at hvis er endelig Galois-utvidelse, så som venstre- modul. Når det gjelder representasjoner av G over F , betyr dette at K er isomorf til den vanlige representasjonen . ${\ displaystyle K / F}$ ${\ displaystyle F [G]}$${\ displaystyle F [G]}$${\ displaystyle \ phi: F [G] \ rightarrow K}$${\ displaystyle \ phi (r) = r \ beta}$${\ displaystyle \ beta \ i K}$${\ displaystyle \ {1 \ cdot \ sigma | \ sigma \ in G \}}$${\ displaystyle F [G]}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle K / F}$${\ displaystyle K \ cong F [G]}$${\ displaystyle F [G]}$

Tilfelle av endelige felt

For endelige felt kan dette angis som følger: La betegne feltet av q- elementer, der q = p ^m er en primær kraft, og la betegne dets forlengelsesfelt av grad n ≥ 1. Her er Galois-gruppen med en syklisk gruppe generert av q -kraften Frobenius automorfisme med Da eksisterer det et element β ∈ K slik at ${\ displaystyle F = \ mathrm {GF} (q) = \ mathbb {F} _ {q}}$${\ displaystyle K = \ mathrm {GF} (q ^ {n}) = \ mathbb {F} _ {q ^ {n}}}$${\ displaystyle G = {\ text {Gal}} (K / F) = \ {1, \ Phi, \ Phi ^ {2}, \ ldots, \ Phi ^ {n-1} \}}$${\ displaystyle \ Phi ^ {n} = 1,}$ ${\ displaystyle \ Phi (\ alpha) = \ alpha ^ {q},}$${\ displaystyle \ Phi ^ {n} = 1 = \ mathrm {Id} _ {K}.}$

er en basis av K enn F .

Bevis for begrensede felt

I tilfelle Galois-gruppen er syklisk som ovenfor, generert av med normalsatsen, følger av to grunnleggende fakta. Den første er den lineær uavhengighet av tegn: en multiplikativ karakter er en kartlegging χ fra en gruppe H til et felt K tilfredsstillende ; så er alle forskjellige karakterer lineært uavhengige i K- vektorområdet for kartlegginger. Vi bruker dette på Galois-gruppens automorfismer som er tenkt på som kartlegginger fra multiplikasjonsgruppen . Nå som et F -vektorrom, slik vi kan betrakte som et element i matriksalgebraen siden dens krefter er lineært uavhengige (over K og a fortiori over F ), må dens minimale polynom ha grad minst n , dvs. det må være . ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi ^ {n} = 1,}$ ${\ displaystyle \ chi (h_ {1} h_ {2}) = \ chi (h_ {1}) \ chi (h_ {2})}$${\ displaystyle \ chi _ {1}, \ chi _ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle \ chi _ {i} = \ Phi ^ {i}: K \ til K,}$${\ displaystyle H = K ^ {\ times}}$${\ displaystyle K \ cong F ^ {n}}$${\ displaystyle \ Phi: F ^ {n} \ til F ^ {n}}$${\ displaystyle M_ {n} (F);}$${\ displaystyle 1, \ Phi, \ ldots, \ Phi ^ {n-1}}$${\ displaystyle X ^ {n} -1}$

Det andre grunnleggende faktum er klassifiseringen av endelig genererte moduler over en PID som . Hver slik modul M kan representeres som , hvor kan velges slik at de er moniske polynomer eller null og er et multiplum av . er monic polynom av minste grad tilintetgjøre modulen, eller null hvis det ikke eksisterer et slikt ikke-null polynom. I det første tilfellet , i det andre tilfellet . I vårt tilfelle av syklisk G av størrelse n generert av har vi en F- algebra isomorfisme der X tilsvarer , så hvert modul kan sees på som et- modul med multiplikasjon med X som multipliseres med . I tilfelle K betyr dette , så monic polynom av minste grad utslettende K er det minimale polynomet av . Siden K er et endelig dimensjonalt F- rom, er representasjonen over mulig med . Siden vi bare kan ha , og som -moduler. (Merk dette er en isomorfisme av F- lineære rom, men ikke av ringer eller F- algebraer!) Dette gir isomorfisme av -moduler som vi snakket om ovenfor, og under det tilsvarer grunnlaget på høyre side et normalt grunnlag for K til venstre. ${\ displaystyle F [X]}$${\ textstyle M \ cong \ bigoplus _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {F [X]} {(f_ {i} (X))}}}$${\ displaystyle f_ {i} (X)}$${\ displaystyle f_ {i + 1} (X)}$${\ displaystyle f_ {i} (X)}$${\ displaystyle f_ {k} (X)}$${\ textstyle \ dim _ {F} M = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ deg f_ {i}}$${\ displaystyle \ dim _ {F} M = \ infty}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ textstyle F [G] \ cong {\ frac {F [X]} {(X ^ {n} -1)}}$${\ displaystyle 1 \ cdot \ Phi}$${\ displaystyle F [G]}$${\ displaystyle F [X]}$${\ displaystyle 1 \ cdot \ Phi}$${\ displaystyle X \ alpha = \ Phi (\ alpha)}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle f_ {k} (X) = X ^ {n} -1}$${\ displaystyle \ dim _ {F} (K) = n,}$${\ displaystyle k = 1}$${\ textstyle K \ cong {\ frac {F [X]} {(X ^ {n} {-} \, 1)}}}$${\ displaystyle F [X]}$${\ displaystyle F [G]}$${\ displaystyle K \ cong F [G]}$${\ displaystyle \ {1, X, X ^ {2}, \ ldots, X ^ {n-1} \}}$${\ displaystyle \ {\ beta, \ Phi (\ beta), \ Phi ^ {2} (\ beta), \ ldots, \ Phi ^ {n-1} (\ beta) \}}$

Merk at dette beviset også vil gjelde i tilfelle en syklisk Kummer-utvidelse .

Eksempel

Tenk feltet over , med Frobenius automorfisme . Beviset ovenfor klargjør valget av normale baser når det gjelder strukturen til K som en representasjon av G (eller F [ G ] -modul). Den irredusible faktoriseringen ${\ displaystyle K = \ mathrm {GF} (2 ^ {3}) = \ mathbb {F} _ {8}}$${\ displaystyle F = \ mathrm {GF} (2) = \ mathbb {F} _ {2}}$${\ displaystyle \ Phi (\ alpha) = \ alpha ^ {2}}$

${\ displaystyle X ^ {n} -1 \ = \ X ^ {3} -1 \ = \ (X {+} 1) (X ^ {2} {+} X {+} 1) \ \ in \ F [X]}$

betyr at vi har en direkte sum av F [ G ] -moduler (av det kinesiske restsetningen ):

${\ displaystyle K \ \ cong \ {\ frac {F [X]} {(X ^ {3} {-} \, 1)}} \ \ cong \ {\ frac {F [X]} {(X { +} 1)}} \ oplus {\ frac {F [X]} {(X ^ {2} {+} X {+} 1)}}.}$

Den første komponenten er rettferdig , mens den andre er isomorf som et F [ G ] -modul til under handlingen (Dermed som F [ G ] -moduler, men ikke som F- algebraer.) ${\ displaystyle F \ delmengde K}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2 ^ {2}} \ cong \ mathbb {F} _ {2} [X] / (X ^ {2} {+} X {+} 1)}$${\ displaystyle \ Phi \ cdot X ^ {i} = X ^ {i + 1}.}$${\ displaystyle K \ cong \ mathbb {F} _ {2} \ oplus \ mathbb {F} _ {4}}$

Elementene som kan brukes på et normalt grunnlag er nettopp de utenfor noen av undermodulene, slik at og . Når det gjelder G- baner til K , som tilsvarer de irredusible faktorene til: ${\ displaystyle \ beta \ i K}$${\ displaystyle (\ Phi {+} 1) (\ beta) \ neq 0}$${\ displaystyle (\ Phi ^ {2} {+} \ Phi {+} 1) (\ beta) \ neq 0}$

elementene til er røttene til , de ikke-null elementene i undermodulen er røttene til , mens det normale grunnlaget, som i dette tilfellet er unikt, er gitt av røttene til den gjenværende faktoren . ${\ displaystyle F = \ mathbb {F} _ {2}}$${\ displaystyle t (t {+} 1)}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {4}}$${\ displaystyle t ^ {3} + t + 1}$${\ displaystyle t ^ {3} {+} t ^ {2} {+} 1}$

For utvidelsesfeltet der n = 4 er delbart med p = 2, har vi derimot F [ G ] -modul isomorfisme ${\ displaystyle L = \ mathrm {GF} (2 ^ {4}) = \ mathbb {F} _ {16}}$

Her er ikke operatøren diagonaliserbar , modulen L har nestet undermoduler gitt av generaliserte egenrom av , og de normale basiselementene β er de utenfor det største riktige generaliserte eigensområdet, elementene med . ${\ displaystyle \ Phi \ cong X}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle (\ Phi {+} 1) ^ {3} (\ beta) \ neq 0}$

Søknad om kryptografi

Normalt grunnlag brukes ofte i kryptografiske applikasjoner basert på det diskrete logaritmeproblemet , som kryptografi med

elliptisk kurve , siden aritmetikk ved hjelp av et normalt grunnlag vanligvis er mer beregningseffektivt enn å bruke andre baser.

I feltet ovenfor kan vi for eksempel representere elementer som bitstrenger: ${\ displaystyle K = \ mathrm {GF} (2 ^ {3}) = \ mathbb {F} _ {8}}$

$${\ displaystyle \ alpha \ = \ (a_ {2}, a_ {1}, a_ {0}) \ = \ a_ {2} \ Phi ^ {2} (\ beta) + a_ {1} \ Phi (\ beta) + a_ {0} \ beta \ = \ a_ {2} \ beta ^ {4} + a_ {1} \ beta ^ {2} + a_ {0} \ beta,}$$

der koeffisientene er biter Nå kan vi kvadratere elementer ved å gjøre et venstre sirkulært skift , siden kvadrering av β ⁴ gir β ⁸ = β . Dette gjør det normale grunnlaget spesielt attraktivt for kryptosystemer som bruker hyppig kvadrat. ${\ displaystyle a_ {i} \ in \ mathrm {GF} (2) = \ {0,1 \}.}$${\ displaystyle \ alpha ^ {2} = \ Phi (a_ {2}, a_ {1}, a_ {0}) = (a_ {1}, a_ {0}, a_ {2})}$

Bevis for uendelige felt

Anta er begrenset Galois forlengelse av uendelig felt

F . La , der . Ved primitiv elementsetning eksisterer det slik at . La f være den minimale monic polynom av . Da er f irredusibel monikpolynom av grad n over F / Betegn . Siden f er av grad n , har vi for . Betegn ${\ displaystyle K / F}$${\ displaystyle [K: F] = n}$${\ displaystyle {\ text {Gal}} (K / F) = G = \ {\ sigma _ {1} ... \ sigma _ {n} \}}$${\ displaystyle \ sigma _ {1} = {\ text {Id}}}$${\ displaystyle \ alpha \ in K}$${\ displaystyle K = F [\ alpha]}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha _ {i} = \ sigma _ {i} \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha _ {i} \ neq \ alpha _ {j}}$${\ displaystyle i \ neq j}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} g (X) & = \ {\ frac {f (X)} {(X- \ alpha) f '(\ alpha)}} \\ g_ {i} (X) & = \ {\ frac {f (X)} {(X- \ alpha _ {i}) f '(\ alpha _ {i})}} & = \ \ sigma _ {i} (g (X)) \ slutt {justert}}}$$

Det har vi med andre ord

$${\ displaystyle {\ begin {align} f (X) & = \ \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X- \ alpha _ {i}) \\ g_ {i} (X) & = \ \ prod _ {\ begin {array} {c} 1 \ leq j \ leq n \\ j \ neq i \ end {array}} {\ frac {X- \ alpha _ {j}} {\ alpha _ {i } - \ alpha _ {j}}} \\ g (X) & = \ g_ {1} (X) \\\ slutten {justert}}}$$

Merk at og for . Deretter definerer du matrise A for polynomer over K og polynom D ved ${\ displaystyle g (\ alpha) = 1}$${\ displaystyle g_ {i} (\ alpha) = 0}$${\ displaystyle i \ neq 1}$${\ displaystyle n \ times n}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} A_ {ij} (X) & = & \ sigma _ {i} (\ sigma _ {j} (g (X)) & = & \ sigma _ {i} (g_ { j} (X)) \\ D (X) & = & \ det A (X) \ end {aligned}}}$$

Vær oppmerksom på at der k bestemmes av , spesielt iff . Det følger at det er permutasjonsmatrise som tilsvarer permutasjonen av G som sender hver til . (Vi betegner med matrise elementer som er verdier av elementer fra at .) Derfor har vi . Vi ser at D er et ikke-null polynom, derfor kan det ha bare et endelig antall røtter. Siden vi antar at F er uendelig, kan vi finne slike . Definere ${\ displaystyle A_ {ij} (X) = g_ {k} (X)}$${\ displaystyle \ sigma _ {k} = \ sigma _ {i} \ cdot \ sigma _ {j}}$${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle \ sigma _ {i} = \ sigma _ {j} ^ {- 1}}$${\ displaystyle A (\ alpha)}$${\ displaystyle \ sigma _ {i}}$${\ displaystyle \ sigma _ {i} ^ {- 1}}$${\ displaystyle A (\ alpha)}$${\ displaystyle A (X)}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle D (\ alpha) = \ det A (\ alpha) = \ pm 1}$${\ displaystyle a \ in F}$${\ displaystyle D (a) \ neq 0}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} \ beta & = & g (a) \\\ beta _ {i} & = & g_ {i} (a) & = & \ sigma _ {i} (\ beta) \ end { justert}}}$$

Vi hevder at det er et normalt grunnlag. Vi må bare vise at det er lineært uavhengig over F , så antar for noen . Å bruke automorfisme får vi for alle i . Med andre ord, . Siden konkluderer vi , som fullfører beviset. ${\ displaystyle \ {\ beta _ {1}, \ ldots, \ beta _ {n} \}}$${\ displaystyle \ beta _ {1}, \ ldots, \ beta _ {n}}$${\ textstyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {j} \ beta _ {j} = 0}$${\ displaystyle x_ {1} ... x_ {n} \ i F}$${\ displaystyle \ sigma _ {i}}$${\ textstyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {j} \ sigma _ {i} (g_ {j} (a)) = 0}$${\ displaystyle A (a) \ cdot {\ overline {x}} = {\ overline {0}}}$${\ displaystyle \ det A (a) = D (a) \ neq 0}$${\ displaystyle {\ overline {x}} = {\ overline {0}}}$

Merk at vi har gjort bruk av det faktum at , så for noen

F -automorphism og polynom løpet verdien av polynomet på lik . Derfor kunne vi ikke bare ha tatt . ${\ displaystyle a \ in F}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle h (X)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ sigma (h (X))}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ sigma (h (a))}$${\ displaystyle a = \ alpha}$

Primitivt normalt grunnlag

Et primitivt normalt grunnlag for en utvidelse av endelige felt E / F er et normalt grunnlag for E / F som genereres av et primitivt element av E , det vil si en generator for multiplikasjonsgruppen . (Merk at dette er en mer restriktiv definisjon av primitivt element enn det som er nevnt ovenfor etter den generelle normbaserte teorien: man krever krefter fra elementet for å produsere hvert element som ikke er null av

K , ikke bare et grunnlag.) Lenstra og Schoof (1987) ) beviste at enhver endelig feltforlengelse har et primitivt normalt grunnlag, tilfelle når F er et primærfelt som har blitt avgjort av Harold Davenport . ${\ displaystyle K ^ {\ times}}$

Gratis elementer

Hvis K / F er et Galois-forlengelse og x i E genererer en normal basis over F , og x er fri i K / F . Dersom x har den egenskap at det for hver undergruppe H i Galois-gruppen G , med faste felt K ^H , x er fri for K / K ^H , da x sies å være helt fri i K / F . Hver Galois-utvidelse har et helt gratis element.

Se også

• Dobbelt basis i feltutvidelse
• Polynomisk grunnlag
• Zechs logaritme

Referanser

• Cohen, S .; Niederreiter, H. , red. (1996). Endelige felt og applikasjoner. Forhandlingene fra den 3. internasjonale konferansen, Glasgow, Storbritannia, 11. – 14. Juli 1995 . London Mathematical Society Lecture Note Series. 233 . Cambridge University Press . ISBN   978-0-521-56736-7 . Zbl   0851.00052 .
• Lenstra, HW, jr ; Schoof, RJ (1987). "Primitive normale baser for endelige felt" . Matematikk i beregning . 48 (177): 217–231. doi : 10.2307 / 2007886 . JSTOR   2007886 . Zbl   0615.12023 .
• Menezes, Alfred J. , red. (1993). Anvendelser av begrensede felt . Kluwer International Series in Engineering and Computer Science. 199 . Boston: Kluwer Academic Publishers. ISBN   978-0792392828 . Zbl   0779.11059 .