n -tilknyttet plass

I den matematiske gren av algebraisk topologi , spesielt homotopiteori , n -connectedness (noen ganger, n -enkel tilknytning ) generaliserer begrepene sti-tilknytning og enkel tilknytning . Å si at et rom er n -koblet er å si at dets første n homotopigrupper er trivielle, og å si at et kart er n -koblet betyr at det er en isomorfisme "opp til dimensjon n, i homotopi ".

Et topologisk rom X sies å være n -koblet (for positivt n ) når det ikke er tomt, banekoblet , og dets første n homotopigrupper forsvinner identisk, det vil si

{\ displaystyle \ pi _ {i} (X) \ cong 0, \ quad 1 \ leq i \ leq n,}

hvor betegner i -th homotopigruppen og 0 betegner trivialgruppen. ${\ displaystyle \ pi _ {i} (X)}$

Kravene til å være ikke-tomme og baneforbundet kan tolkes som henholdsvis (−1) -koblet og 0-koblet , noe som er nyttig for å definere 0-tilkoblede og 1-tilkoblede kart, som nedenfor. Det 0te homotopisettet kan defineres som:

{\ displaystyle \ pi _ {0} (X, *): = [(S ^ {0}, *), (X, *)].}

Dette er bare et spiss sett , ikke en gruppe, med mindre X i seg selv er en topologisk gruppe ; den fremstående punkt er den klasse av det trivielle kartet, sender S ⁰ til basispunktet av X . Ved å bruke dette settet er et mellomrom 0-koblet hvis og bare hvis det 0te homotopiesettet er ettpunktssettet. Definisjonen av homotopigrupper og dette homotopisettet krever at X peker (har et valgt basispunkt), noe som ikke kan gjøres hvis X er tom.

Et topologisk rom X er baneforbundet hvis og bare hvis den 0te homotopigruppen forsvinner identisk, ettersom baneforbindelse innebærer at to punkter x ₁ og x ₂ i X kan kobles til en kontinuerlig bane som starter i x ₁ og ender i x ₂ , som tilsvarer påstanden om at hver kartlegging fra S ⁰ (et diskret sett med to punkter) til X kan deformeres kontinuerlig til et konstant kart. Med denne definisjonen kan vi definere X som n- koblet hvis og bare hvis

{\ displaystyle \ pi _ {i} (X) \ simeq 0, \ quad 0 \ leq i \ leq n.}

Eksempler

Et mellomrom X er (−1) -koblet hvis og bare hvis det ikke er tomt.
Et mellomrom X er 0-tilkoblet hvis og bare hvis det ikke er tomt og banekoblet .
Et rom er 1-tilkoblet hvis og bare hvis det bare er koblet til .
En n- sfære er ( n - 1) -koblet.

n -tilknyttet kart

Den tilsvarende relative forestillingen til den absolutte forestillingen om et n- tilkoblet rom er et n- koblet kart , som er definert som et kart hvis homotopifiber Ff er et ( n - 1) -koblet rom. Når det gjelder homotopigrupper, betyr det at et kart er n -koblet hvis og bare hvis: ${\ displaystyle f \ kolon X \ til Y}$

${\ displaystyle \ pi _ {i} (f) \ colon \ pi _ {i} (X) {\ overset {\ sim} {\ to}} \ pi _ {i} (Y)}$ er en isomorfisme for , og ${\ displaystyle i <n}$
${\ displaystyle \ pi _ {n} (f) \ colon \ pi _ {n} (X) \ twoheadrightarrow \ pi _ {n} (Y)}$ er en overgivelse.

Den siste tilstanden er ofte forvirrende; det er fordi den forsvinnende av den ( n - 1) -St homotopiteori gruppe av homotopiteori fiber Ff tilsvarer en surjection på n ^th homotopigrupper, i den nøyaktige sekvensen:

{\ displaystyle \ pi _ {n} (X) {\ oversett {\ pi _ {n} (f)} {\ to}} \ pi _ {n} (Y) \ to \ pi _ {n-1} (Ff).}

Hvis gruppen til høyre forsvinner, er kartet til venstre en overvisning. ${\ displaystyle \ pi _ {n-1} (Ff)}$

Lavdimensjonale eksempler:

Et koblet kart (0-tilkoblet kart) er et som er på banekomponenter (0th homotopy-gruppe); dette tilsvarer at homotopifiberen ikke er tom.
Et enkelt koblet kart (1-tilkoblet kart) er et som er en isomorfisme på banekomponenter (0te homotopigruppe) og på den grunnleggende gruppen (1. homotopigruppe).

n -forbindelse for mellomrom kan i sin tur defineres i form av n -forbindelse av kart: et mellomrom X med basispunkt x ₀ er et n- tilkoblet rom hvis og bare hvis inkluderingen av basispunktet er et n- tilkoblet kart. Enkeltpunktssettet er kontraktibelt, så alle homotopigruppene forsvinner, og dermed tilsvarer "isomorfisme under n og videre til n " de første n homotopigruppene X forsvinner. ${\ displaystyle x_ {0} \ hookrightarrow X}$

Tolkning

Det er instruktivt for et undersett: et n -connected inkludering er en slik at, opp til dimensjon n - 1, homotopies i større plass X kan homotoped inn homotopies i delmengden A . ${\ displaystyle A \ hookrightarrow X}$

For eksempel, for at et inkluderingskart skal være 1-tilkoblet, må det være: ${\ displaystyle A \ hookrightarrow X}$

videre til ${\ displaystyle \ pi _ {0} (X),}$
en-til-en på og ${\ displaystyle \ pi _ {0} (A) \ til \ pi _ {0} (X),}$
videre til ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X).}$

En-til-en på betyr at hvis det er en sti som forbinder to punkter ved å passere gjennom X, er det en sti i A som forbinder dem, mens på betyr at en sti i X faktisk er homotopisk til en sti i A. ${\ displaystyle \ pi _ {0} (A) \ til \ pi _ {0} (X)}$ ${\ displaystyle a, b \ i A}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$

Med andre ord innebærer en funksjon som er en isomorfisme bare at noen av elementene som er homotopiske i X er abstrakt homotopiske i A - homotopien i A kan være uavhengig av homotopien i X - mens den er n- koblet (så også til ) betyr at (opp til dimensjonen n - 1) homotopies i X kan skyves inn i homotopies i A . ${\ displaystyle \ pi _ {n-1} (A) \ til \ pi _ {n-1} (X)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {n-1} (A)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {n} (X)}$

Dette gir en mer konkret forklaring på nytteverdien av definisjonen av n- tilkobling: for eksempel et rom der inkluderingen av k- skjelettet er n- koblet (for n > k ) - slik som inkluderingen av et punkt i n- sfære - har den egenskapen at celler i dimensjoner mellom k og n ikke påvirker de lavere dimensjonale homotopitypene.

applikasjoner

Konseptet n -connectedness brukes i Hurewicz-teoremet som beskriver forholdet mellom singularhomologi og de høyere homotopigruppene.

I geometrisk topologi sies det at tilfeller der inkluderingen av et geometrisk definert rom, slik som nedsenkingsrommet i et mer generelt topologisk rom, slik som rommet til alle kontinuerlige kart mellom to tilknyttede rom, er n- koblet, sies å tilfredsstille en homotopi. prinsipp eller "h-prinsipp". Det finnes en rekke kraftige generelle teknikker for å bevise h-prinsipper. ${\ displaystyle M \ til N,}$ ${\ displaystyle X (M) \ til X (N),}$

Languages

In other projects

n -tilknyttet plass - n-connected space

Innhold