Logaritme av en matrise - Logarithm of a matrix

I matematikk er en logaritme av en matrise en annen matrise slik at matrisens eksponensial for den sistnevnte matrisen er lik den opprinnelige matrisen. Det er således en generalisering av den skalare logaritmen og i en viss forstand en invers funksjon av den matrise eksponensiell . Ikke alle matriser har en logaritme, og de matrisene som har en logaritme, kan ha mer enn én logaritme. Studiet av logaritmer av matriser fører til Lie -teori siden når en matrise har en logaritme, er den i en Lie -gruppe og logaritmen er det tilsvarende elementet i vektorrommet i Lie -algebraen .

Definisjon

Eksponensialet til en matrise A er definert av

{\ displaystyle e^{A} \ equiv \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {A^{n}} {n!}}}

.

Gitt en matrise B , en annen matrise A sies å være en matrise logaritmen av $B hvis e A = B$ . Fordi den eksponensielle funksjonen ikke er en-til-en for komplekse tall (f.eks. ), Kan tall ha flere komplekse logaritmer, og som en konsekvens av dette kan noen matriser ha mer enn én logaritme, som forklart nedenfor. ${\ displaystyle e^{\ pi i} = e^{3 \ pi i} =-1}$

Power series uttrykk

Hvis B er tilstrekkelig nær identitetsmatrisen, kan en logaritme av B beregnes ved hjelp av følgende kraftserie :

{\ displaystyle \ log (B) = \ sum _ {k = 1}^{\ infty} {(-1)^{k+1} {\ frac {(BI)^{k}} {k}}} = (BI)-{\ frac {(BI)^{2}} {2}}+{\ frac {(BI)^{3}} {3}}-{\ frac {(BI)^{4} } {4}}+\ cdots}

.

Spesielt hvis den foregående serien konvergerer og . ${\ displaystyle \ left \ | BI \ right \ | <1}$ ${\ displaystyle e^{\ log (B)} = B}$

Eksempel: Logaritme for rotasjoner i planet

Rotasjonene i planet gir et enkelt eksempel. En rotasjon av vinkel α rundt opprinnelsen er representert av 2 × 2-matrisen

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} \ cos (\ alpha) &-\ sin (\ alpha) \\\ sin (\ alpha) & \ cos (\ alpha) \\\ end {pmatrix}}.}

For et helt tall n , matrisen

{\ displaystyle B_ {n} = (\ alpha +2 \ pi n) {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\\ end {pmatrix}},}

er en logaritmen av A .

Bevis

${\ displaystyle logg (A) = B_ {n} ~}$ ⇔ ${\ displaystyle ~~ e^{B_ {n}} = A}$

${\ displaystyle e^{B_ {n}} = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {1 \ over k!} B_ {n}^{k} ~}$ hvor

${\ displaystyle (B_ {n})^{0} = 1 ~ I_ {2},}$

${\ displaystyle (B_ {n})^{1} = (\ alpha +2 \ pi n) {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ +1 & 0 \\\ end {pmatrix}},}$

${\ displaystyle (B_ {n})^{2} = (\ alpha +2 \ pi n)^{2} {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\\ end {pmatrix}},}$

${\ displaystyle (B_ {n})^{3} = (\ alpha +2 \ pi n)^{3} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \\\ end {pmatrix}},}$

${\ displaystyle (B_ {n})^{4} = (\ alpha +2 \ pi n)^{4} ~ I_ {2}}$
…

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {1 \ over k!} B_ {n}^{k} = {\ begin {pmatrix} \ cos (\ alpha) &-\ sin (\ alpha) \\\ sin (\ alpha) & \ cos (\ alpha) \\\ end {pmatrix}} = A ~.}$
qed.

Dermed har matrisen A uendelig mange logaritmer. Dette tilsvarer det faktum at rotasjonsvinkelen bare bestemmes opptil multipler av 2 π .

På Lie -teoriens språk er rotasjonsmatrisene A elementer i Lie -gruppen SO (2) . De tilsvarende logaritmene B er elementer i Lie-algebraen so (2), som består av alle skjevsymmetriske matriser . Matrisen

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \\\ end {pmatrix}}}

er en generator av Lie -algebraen så (2).

Eksistens

Spørsmålet om en matrise har en logaritme har det enkleste svaret når det vurderes i den komplekse setting. En kompleks matrise har en logaritme hvis og bare hvis den er inverterbar . Logaritmen er ikke unik, men hvis en matrise ikke har negative reelle egenverdier , er det en unik logaritme som har egenverdier som alle ligger i stripen { z ∈ C | −π <Im z <π}. Denne logaritmen er kjent som hovedlogaritmen .

Svaret er mer involvert i den virkelige setting. En ekte matrise har en reell logaritme hvis og bare hvis den er inverterbar og hver Jordan -blokk som tilhører en negativ egenverdi forekommer et jevnt antall ganger. Hvis en inverterbar ekte matrise ikke tilfredsstiller tilstanden med Jordan-blokkene, har den bare ikke-virkelige logaritmer. Dette kan allerede sees i skalarfeltet: ingen gren av logaritmen kan være reell ved -1. Eksistensen av virkelige matriselogaritmer for virkelige 2 × 2 matriser blir vurdert i en senere seksjon.

Egenskaper

Hvis A og B begge er positive-bestemte matriser , så

{\ displaystyle \ operatorname {tr} {\ log {(AB)}} = \ operatorname {tr} {\ log {(A)}}+\ operatorname {tr} {\ log {(B)}},}

og hvis A og B pendler, dvs. AB = BA , da

{\ displaystyle \ log {(AB)} = \ log {(A)}+\ log {(B)}. \,}

Erstatter i denne ligningen B = A ⁻¹ , får man

{\ displaystyle \ log {(A^{-1})} =-\ log {(A)}.}

På samme måte, nå for ikke-pendlende A og B ,

{\ displaystyle \ log {(A+tB)} = \ log {(A)}+t \ int _ {0}^{\ infty} \! \! \! dz ~~ {\ frac {I} {A +zI}} B {\ frac {I} {A+zI}}+O (t^{2}).}

Ytterligere eksempel: Logaritme for rotasjoner i 3D -rom

En rotasjon $R$ ∈ SO (3) i is³ er gitt av en 3 × 3 ortogonal matrise .

Logaritmen til en slik rotasjonsmatrise $R$ kan lett beregnes ut fra den antisymmetriske delen av Rodrigues rotasjonsformel (se også aksevinkel ). Det gir logaritmen til den minimale Frobenius -normen , men mislykkes når $R$ har egenverdier lik -1 der dette ikke er unikt.

Merk videre at gitt rotasjonsmatriser A og B ,

{\ displaystyle d_ {g} (A, B): = \ | \ log (A^{\ top} B) \ | _ {F}}

er den geodesiske avstanden på 3D -manifolden av rotasjonsmatriser.

Beregning av logaritmen til en diagonaliserbar matrise

En metode for å finne ln A for en diagonaliserbar matrise A er følgende:

Finn matrisen V til egenvektorer til A (hver kolonne i V er en egenvektor til A ).

Finner den omvendte V ^-1 av V .

La

{\ displaystyle A '= V^{-1} AV. \,}

Deretter A ' vil være en diagonal matrise hvis diagonale elementer er egenverdiene til A .

Erstatt hvert diagonalt element i A ′ med sin (naturlige) logaritme for å oppnå .

{\ displaystyle \ log A '}

Deretter

{\ displaystyle \ log A = V (\ log A ') V^{-1}. \,}

At logaritmen til A kan være en kompleks matrise, selv om A er reell, følger av det faktum at en matrise med virkelige og positive oppføringer likevel kan ha negative eller komplekse egenverdier (dette gjelder for eksempel rotasjonsmatriser ). Ikke-unikheten til logaritmen til en matrise følger av ikke-unikheten til logaritmen til et komplekst tall.

Logaritmen til en ikke-diagonaliserbar matrise

Algoritmen illustrert ovenfor fungerer ikke for ikke-diagonaliserbare matriser, for eksempel

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}

For slike matriser må man finne sin Jordan -nedbrytning, og i stedet for å beregne logaritmen til diagonale oppføringer som ovenfor, ville man beregne logaritmen til Jordan -blokkene .

Det siste oppnås ved å legge merke til at man kan skrive en Jordan -blokk som

{\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} \ lambda & 1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ lambda & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & \ lambda & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ lambda \\\ end {pmatrix}} = \ lambda {\ begin {pmatrix} 1 & \ lambda ^{-1} & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ lambda ^ {-1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ lambda ^{-1} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \ lambda ^{-1 } \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ ende {pmatrix}} = \ lambda (I+K)}

der K er en matrise med nuller på og under hoveddiagonalen. (Tallet λ er null ved antagelsen om at matrisen hvis logaritme man prøver å ta er inverterbar.)

Deretter, av Mercator -serien

{\ displaystyle \ log (1+x) = x-{\ frac {x^{2}} {2}}+{\ frac {x^{3}} {3}}-{\ frac {x^{ 4}} {4}}+\ cdots}

man får

{\ displaystyle \ log B = \ log {\ big (} \ lambda (I+K) {\ big)} = \ log (\ lambda I)+\ log (I+K) = (\ log \ lambda) I +K-{\ frac {K^{2}} {2}}+{\ frac {K^{3}} {3}}-{\ frac {K^{4}} {4}}+\ cdots }

Denne serien har et begrenset antall termer ( K ^m er null hvis m er dimensjonen til K ), og derfor er summen veldefinert.

Ved å bruke denne tilnærmingen finner man

{\ displaystyle \ log {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}.}

Et funksjonelt analyseperspektiv

En firkantmatrise representerer en lineær operator på det euklidiske rommet R ⁿ hvor n er dimensjonen til matrisen. Siden et slikt rom er endelig-dimensjonalt, er denne operatøren faktisk begrenset .

Ved å bruke verktøyene til holomorf funksjonell beregning , gitt en holomorf funksjon f ( z ) definert på et åpent sett i det komplekse planet og en begrenset lineær operator T , kan man beregne f ( T ) så lenge f ( z ) er definert på spektrum av T .

Funksjonen f ( z ) = log z kan defineres på ethvert enkelt tilkoblet åpent sett i det komplekse planet som ikke inneholder opprinnelsen, og det er holomorft på et slikt domene. Dette innebærer at man kan definere ln T så lenge T -spekteret ikke inneholder opprinnelsen, og det er en vei som går fra opprinnelse til uendelig og ikke krysser spekteret av T (f.eks. Hvis T -spektret er en sirkel med opprinnelse inne i den, er det umulig å definere ln T ).

Spekteret til en lineær operator på R ⁿ er settet med egenverdier i matrisen, og det er et begrenset sett. Så lenge opprinnelsen ikke er i spekteret (matrisen er inverterbar), er betingelsen for banen fra forrige avsnitt tilfredsstilt, og ln T er veldefinert. Det ikke-unike i matriselogaritmen følger av det faktum at man kan velge mer enn en gren av logaritmen som er definert på settet med egenverdier til en matrise.

Et løgn -gruppeteorisk perspektiv

I teorien om Lie -grupper er det et eksponentielt kart fra en Lie -algebra g til den tilsvarende Lie -gruppen G

{\ displaystyle \ exp: g \ rightarrow G.}

For matrise Lie -grupper er elementene i g og G kvadratiske matriser og det eksponentielle kartet er gitt av matrisens eksponensial . Det omvendte kartet er multivaluert og sammenfaller med matriselogaritmen som er diskutert her. Logaritmen kartlegger fra Lie -gruppen G til Lie -algebraen g . Vær oppmerksom på at det eksponentielle kartet er en lokal diffeomorfisme mellom et nabolag U i nullmatrisen og et nabolag V i identitetsmatrisen . Dermed er (matrisen) logaritmen veldefinert som et kart, ${\ displaystyle \ log = \ exp ^{-1}}$ ${\ displaystyle {\ understrekning {0}} \ i g}$ ${\ displaystyle {\ understrekning {1}} \ i G}$

{\ displaystyle \ logg: V \ delsett G \ høyre pil U \ delsett g. \,}

En viktig følge av Jacobis formel er da

{\ displaystyle \ log (\ det (A)) = \ mathrm {tr} (\ log A) ~.}

Se også

Merknader

^ Hall 2015 -setning 2.8
^ Higham (2008) , teorem 1.27
^ Higham (2008) , teorem 1.31
^ Culver (1966)
^ Engø (2001)
^ Hall 2015 -setning 3.42

Referanser

Gantmacher, Felix R. (1959), The Theory of Matrices , 1 , New York: Chelsea, s. 239–241.
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2. utg.), Springer, ISBN 978-3319134666
Culver, Walter J. (1966), "Om eksistensen og særegenheten til den virkelige logaritmen til en matrise", Proceedings of the American Mathematical Society , 17 (5): 1146–1151, doi : 10.1090/S0002-9939-1966- 0202740-6 , ISSN 0002-9939.
Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Teori og beregning , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7.
Engø, Kenth (juni 2001), "On the BCH-formula in so (3)" , BIT Numerical Mathematics , 41 (3): 629–632, doi : 10.1023/A: 1021979515229 , ISSN 0006-3835

[1] Hall 2015 -setning 2.8

[2] Higham (2008) , teorem 1.27

[3] Higham (2008) , teorem 1.31

[4] Culver (1966)

[5] Engø (2001)

[6] Hall 2015 -setning 3.42

Languages

In other projects