Hyperplan - Hyperplane

To kryssende plan i tredimensjonalt rom . Et plan er et hyperplan av dimensjon 2 når det er innebygd i et rom med dimensjon 3.

I geometri er et hyperplan et underområde hvis dimensjon er en mindre enn det omgivende rommet . Hvis et rom er tredimensjonalt, så er dets hyperplan de 2-dimensjonale planene , mens hvis rommet er todimensjonalt, er dets hyperplan de 1-dimensjonale linjene . Denne forestillingen kan brukes i ethvert generelt rom der begrepet dimensjonen til et underområde er definert.

I forskjellige innstillinger kan hyperplaner ha forskjellige egenskaper. For eksempel er et hyperplan av et n -dimensjonalt affint rom et flatt delmengde med dimensjonen n - 1 og det skiller rommet i to halvrom . Mens et hyperplan med et n- dimensjonalt prosjektivt rom ikke har denne egenskapen.

Forskjellen i dimensjon mellom et underrom $S$ og dens omgivende rom som $X$ er kjent som codimension av $S$ i forhold til $X$ . Derfor er en nødvendig betingelse for $S$ for å være et hyperplan i $X$ er for $S$ å ha codimension en i $X$ .

Teknisk beskrivelse

I geometri , et hyperplan av en n -dimensjonal plass V er et underrom av dimensjon n - 1, eller tilsvarende, av codimension 1 i V . Rommet V kan være et euklidisk rom eller mer generelt et affinert rom , eller et vektorrom eller et prosjektivt rom , og begrepet hyperplan varierer tilsvarende siden definisjonen av underområde er forskjellig i disse innstillingene; i alle tilfeller kan imidlertid hvilket som helst hyperplan gis i koordinater som løsningen på en enkelt (på grunn av "kodimensjon 1" -begrensningen) algebraisk ligning av grad 1.

Hvis V er et vektorrom, skiller man "vektorhyperplaner" (som er lineære underområder , og derfor må passere gjennom opprinnelsen) og "affine hyperplaner" (som ikke trenger å passere gjennom opprinnelsen; de kan oppnås ved oversettelse av en vektor hyperplan). Et hyperplan i et euklidisk rom skiller det rommet i to halvrom , og definerer en refleksjon som fikser hyperplanet og bytter ut de to halvromene.

Spesielle typer hyperfly

Flere spesifikke typer hyperplaner er definert med egenskaper som egner seg godt til bestemte formål. Noen av disse spesialiseringene er beskrevet her.

Affine hyperplanes

Et affint hyperplan er et affint underområde av kodimensjon 1 i et affinert rom . I kartesiske koordinater kan et slikt hyperplan beskrives med en enkelt lineær ligning av følgende form (hvor minst en av disse er ikke-null og er en vilkårlig konstant): ${\ displaystyle a_ {i}}$ ${\ displaystyle b}$

{\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} = b. \}

Når det gjelder et reelt affint rom, med andre ord når koordinatene er reelle tall, skiller dette affinrommet rommet i to halvrom, som er de sammenkoblede komponentene i komplementet til hyperplanet, og er gitt av ulikhetene

{\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} <b \}

og

{\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n}> b. \}

Som et eksempel er et punkt et hyperplan i 1-dimensjonalt rom, en linje er et hyperplan i 2-dimensjonalt rom, og et plan er et hyperplan i 3-dimensjonalt rom. En linje i tredimensjonalt rom er ikke et hyperplan, og skiller ikke rommet i to deler (komplementet til en slik linje er koblet sammen).

Ethvert hyperplan i et euklidisk rom har nøyaktig to enhets normale vektorer.

Affine hyperplanes brukes til å definere avgjørelsesgrenser i mange maskinlæringsalgoritmer som lineær kombinasjon (skrå) beslutningstrær og perseptroner .

Vector hyperplanes

I et vektorrom er et vektorhyperplan et underområde av kodedimensjon 1, bare muligens forskjøvet fra opprinnelsen av en vektor, i så fall blir det referert til som en flat . Et slikt hyperplan er løsningen på en enkelt lineær ligning .

Projiserende hyperfly

Projiserende hyperplaner , brukes i prosjektiv geometri . Et prosjektivt underområde er et sett med punkter med egenskapen at for alle to punkter i settet, er alle punktene på linjen bestemt av de to punktene inneholdt i settet. Projektiv geometri kan sees på som affin geometri med forsvinningspunkter (punkter ved uendelig) lagt til. Et affint hyperplan sammen med de tilknyttede punktene ved uendelig danner et prosjektivt hyperplan. Et spesielt tilfelle av et prosjektivt hyperplan er det uendelige eller ideelle hyperplanet , som er definert med settet med alle punkter ved uendelig.

I det prosjektive rommet deler et hyperplan ikke rommet i to deler; det tar heller to hyperplaner å skille punkter og dele opp rommet. Årsaken til dette er at rommet i det vesentlige "brytes rundt" slik at begge sider av et enslig hyperplan er koblet til hverandre.

applikasjoner

I konveks geometri er to usammenhengende konvekse sett i n-dimensjonalt euklidisk rom skilt av et hyperplan, et resultat som kalles hyperplan-separasjonssetningen .

I maskinlæring er hyperplaner et nøkkelverktøy for å lage støttevektormaskiner for slike oppgaver som datasyn og naturlig språkbehandling .

Dihedrale vinkler

Den tosidige vinkelen mellom to ikke-parallelle hyperplaner i et euklidisk rom er vinkelen mellom de tilsvarende normale vektorene . Produktet av transformasjonene i de to hyperplanene er en rotasjon hvis akse er underområdet til kodimensjon 2 oppnådd ved å krysse hyperplanene, og hvis vinkel er dobbelt så stor som vinkelen mellom hyperplanene.

Støtt hyperfly

Et hyperplan H kalles et "støtte" hyperplan av polyederet P hvis P er inneholdt i et av de to lukkede halvrom som er begrenset av H og . Skjæringspunktet mellom P og H er definert som et "ansikt" til polyhedronet. Teorien om polyhedra og dimensjonen til ansiktene blir analysert ved å se på disse kryssene som involverer hyperplan. ${\ displaystyle H \ cap P \ neq \ varnothing}$

Se også

Referanser

Binmore, Ken G. (1980). Grunnlaget for topologisk analyse: En grei introduksjon: Bok 2 Topologiske ideer . Cambridge University Press. s. 13. ISBN 0-521-29930-6 .
Charles W. Curtis (1968) Lineær algebra , side 62, Allyn & Bacon , Boston.
Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry , side 7, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
Victor V. Prasolov & VM Tikhomirov (1997,2001) Geometri , side 22, bind 200 i Translations of Mathematical Monographs , American Mathematical Society , Providence ISBN 0-8218-2038-9 .

Eksterne linker

Weisstein, Eric W. "Hyperplane" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Flat" . MathWorld .

Languages

In other projects