Hamiltonisk system - Hamiltonian system

Et Hamiltonian-system er et dynamisk system styrt av Hamiltons ligninger . I fysikk beskriver dette dynamiske systemet utviklingen av et fysisk system som et planetesystem eller et elektron i et elektromagnetisk felt . Disse systemene kan studeres i både Hamiltonian mekanikk og dynamisk systemteori .

Oversikt

Uformelt er et Hamiltonian-system en matematisk formalisme utviklet av Hamilton for å beskrive evolusjonsligningene til et fysisk system. Fordelen med denne beskrivelsen er at den gir viktig innsikt i dynamikken, selv om det opprinnelige verdiproblemet ikke kan løses analytisk. Et eksempel er den planetariske bevegelsen til tre kropper: selv om det ikke er noen enkel løsning på det generelle problemet, viste Poincaré for første gang at det viser deterministisk kaos .

Formelt sett er et Hamiltonian-system et dynamisk system som er fullstendig beskrevet av skalarfunksjonen , Hamiltonian. Tilstanden til systemet, er beskrevet av generaliserte koordinater 'momentum' og 'stilling' hvor begge og er vektorer med samme dimensjon  N . Så, systemet er fullstendig beskrevet av den 2 N- dimensjonale vektoren ${\ displaystyle H ({\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {p}}, t)}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {p}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {p}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} = ({\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {p}})}$

og evolusjonsligningen er gitt av Hamiltons ligninger:

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {d {\ boldsymbol {p}}} {dt}} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial {\ boldsymbol {q}}}}, \\ [5pt] & {\ frac {d {\ boldsymbol {q}}} {dt}} = + {\ frac {\ partial H} {\ partial {\ boldsymbol {p}}}}. \ End {justert }}}$

Banen er løsningen på det opprinnelige verdiproblemet definert av Hamiltons ligninger og den opprinnelige tilstanden . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} (t)}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} (0) = {\ boldsymbol {r}} _ {0} \ in \ mathbb {R} ^ {2N}}$

Tidsuavhengig Hamiltonian-system

Hvis Hamiltonian ikke eksplisitt er tidsavhengig, dvs. hvis , så varierer Hamiltonian ikke med tiden i det hele tatt: ${\ displaystyle H ({\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {p}}, t) = H ({\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {p}})}$

og dermed er Hamiltonian en bevegelseskonstant , hvis konstant tilsvarer den totale energien i systemet ,. Eksempler på slike systemer er pendelen , den harmoniske oscillatoren eller dynamisk biljard . ${\ displaystyle H = E}$

Eksempel

Et eksempel på tidsuavhengig Hamiltonian-system er den harmoniske oscillatoren. Tenk på systemet som er definert av koordinatene og hvis Hamiltonian er gitt av ${\ displaystyle {\ boldsymbol {p}} = p}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}} = x}$

${\ displaystyle H = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + {\ frac {1} {2}} kx ^ {2}.}$

Hamiltonian av dette systemet er ikke avhengig av tid, og dermed er energien i systemet bevart.

Symplektisk struktur

En viktig egenskap ved et Hamilton-dynamisk system er at det har en symplektisk struktur . Skrive

${\ displaystyle \ nabla _ {\ boldsymbol {r}} H ({\ boldsymbol {r}}) = {\ begin {bmatrix} \ partial _ {\ boldsymbol {q}} H ({\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {p}}) \\\ delvis _ {\ boldsymbol {p}} H ({\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {p}}) \\\ end {bmatrix}}}$

evolusjonsligningen til det dynamiske systemet kan skrives som

${\ displaystyle {\ frac {d {\ boldsymbol {r}}} {dt}} = S_ {N} \ nabla _ {\ boldsymbol {r}} H ({\ boldsymbol {r}})}$

hvor

${\ displaystyle S_ {N} = {\ begin {bmatrix} 0 & I_ {N} \\ - I_ {N} & 0 \\\ end {bmatrix}}}$

og jeg _N på N x N identitetsmatrise .

En viktig konsekvens av denne egenskapen er at et uendelig minimalt fase-rom-volum er bevart. En følge av dette er Liouvilles teorem , som sier at på et Hamiltonian-system bevares fase-romvolumet til en lukket overflate under tidsutvikling.

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S_ {t}} d {\ boldsymbol {r}} = \ int _ {S_ {t}} {\ frac {d {\ boldsymbol {r }}} {dt}} \ cdot d {\ boldsymbol {S}} = \ int _ {S_ {t}} {\ boldsymbol {F}} \ cdot d {\ boldsymbol {S}} = \ int _ {S_ {t}} \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {F}} \, d {\ boldsymbol {r}} = 0}$

der den tredje likheten kommer fra divergenssatsen .

Eksempler

• Dynamisk biljard
• Planetariske systemer , mer spesifikt, n-kroppsproblemet .
• Kanonisk generell relativitet

Se også

• Handlingsvinkelkoordinater
• Liouvilles teorem
• Integrerbart system
• Kolmogorov – Arnold – Moser-setning

Referanser

Videre lesning

• Almeida, AM (1992). Hamilton-systemer: Kaos og kvantisering . Cambridge monografier om matematisk fysikk. Cambridge (ua: Cambridge Univ. Press )
• Audin, M., (2008). Hamilton-systemer og deres integrerbarhet . Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN  978-0-8218-4413-7
• Dickey, LA (2003). Soliton-ligninger og Hamiltonian-systemer . Avanserte serier i matematisk fysikk, v. 26. River Edge, NJ: World Scientific .
• Treschev, D., & Zubelevich, O. (2010). Introduksjon til forstyrrelsesteorien til Hamiltonian-systemer . Heidelberg: Springer
• Zaslavsky, GM (2007). Fysikken til kaos i Hamiltonian-systemer . London: Imperial College Press .

Eksterne linker

• James Meiss (red.). "Hamiltonian Systems" . Scholarpedia .