Guruswami – Sudan-dekodingsalgoritme - Guruswami–Sudan list decoding algorithm

I kodeteori , liste dekoding er et alternativ til unike dekoding av feilrettingskoder i nærvær av mange feil. Hvis en kode har relativ avstand , er det i prinsippet mulig å gjenopprette en kodet melding når opptil brøkdel av kodeordsymbolene er ødelagt. Men når feilraten er større enn , vil dette generelt ikke være mulig. Listekoding overvinner problemet ved å tillate dekoderen å sende ut en kort liste over meldinger som kan ha blitt kodet. Listekoding kan korrigere mer enn brøkdel av feil. ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle \ delta / 2}$ ${\ displaystyle \ delta / 2}$ ${\ displaystyle \ delta / 2}$

Det er mange polynom-tidsalgoritmer for dekoding av listen. I denne artikkelen presenterer vi først en algoritme for Reed – Solomon (RS) -koder som korrigerer opp til feil og skyldes Madhu Sudan . Deretter beskriver vi den forbedrede avkodingsalgoritmen til Guruswami - Sudan- listen, som kan rette opp til feil. ${\ displaystyle 1 - {\ sqrt {2R}}}$ ${\ displaystyle 1 - {\ sqrt {R}}}$

Her er en oversikt over frekvensen R og avstand for forskjellige algoritmer. ${\ displaystyle \ delta}$

https://wiki.cse.buffalo.edu/cse545/sites/wiki.cse.buffalo.edu.cse545/files/81/Graph.jpg

Algoritme 1 (Sudans listeavkodningsalgoritme)

Problemstilling

Inngang: Et felt ; n distinkte par av elementer i ; og heltall og . ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle {(x_ {i}, y_ {i}) _ {i = 1} ^ {n}}}$ ${\ displaystyle F \ times F}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle t}$

Utgang: En liste over alle funksjoner som tilfredsstiller ${\ displaystyle f: F \ til F}$

${\ displaystyle f (x)}$ er høyest et polynom ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle d}$

{\ displaystyle \ # \ {i | f (x_ {i}) = y_ {i} \} \ geq t}

( 1 )

For å forstå Sudans algoritme bedre, kan det være lurt å først kjenne til en annen algoritme som kan betraktes som den tidligere versjonen eller den grunnleggende versjonen av algoritmene for listekoding av RS-koder - Berlekamp – Welch-algoritmen . Welch og Berlekamp opprinnelig kom med en algoritme som kan løse problemet i polynomisk tid med beste terskel på å være . Mekanismen til Sudans algoritme er nesten den samme som algoritmen til Berlekamp – Welch-algoritmen, bortsett fra i trinn 1, vil man beregne et bivariat polynom med begrenset grad. Sudans listeavkodingsalgoritme for Reed – Solomon-kode, som er en forbedring av Berlekamp og Welch-algoritmen, kan løse problemet med . Denne båndet er bedre enn den unike dekodingen som er bundet til . ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle t \ geq (n + d + 1) / 2}$ ${\ displaystyle (1, k)}$ ${\ displaystyle t = ({\ sqrt {2nd}})}$ ${\ displaystyle 1- \ left ({\ frac {R} {2}} \ høyre)}$ ${\ displaystyle R <0,07}$

Algoritme

Definisjon 1 (vektet grad)

For vekter , de - vektede graden av monomial er . Den vektede graden av et polynom er maksimum for monomialene med ikke-null koeffisienter av den vektede graden av monomialet. ${\ displaystyle w_ {x}, w_ {y} \ in \ mathbb {Z} ^ {+}}$ ${\ displaystyle (w_ {x}, w_ {y})}$ ${\ displaystyle q_ {ij} x ^ {i} y ^ {j}}$ ${\ displaystyle iw_ {x} + jw_ {y}}$ ${\ displaystyle (w_ {x}, w_ {y})}$ ${\ displaystyle Q (x, y) = \ sum _ {ij} q_ {ij} x ^ {i} y ^ {j}}$ ${\ displaystyle (w_ {x}, w_ {y})}$

For eksempel har graders 7 ${\ displaystyle xy ^ {2}}$ ${\ displaystyle (1,3)}$

Algoritme:

Innganger: ; { } / * Parameter l, m skal angis senere. * / ${\ displaystyle n, d, t}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) \ cdots (x_ {n}, y_ {n})}$

Trinn 1: Finn et bivariat polynom som tilfredsstiller ikke null ${\ displaystyle Q: F ^ {2} \ mapsto F}$

${\ displaystyle Q (x, y)}$ har høyst vektet grad ${\ displaystyle (1, d)}$ ${\ displaystyle D = m + ld}$
For hver , ${\ displaystyle i \ in [n]}$

{\ displaystyle Q (x_ {i}, y_ {i}) = 0}

( 2 )

Trinn 2. Faktor Q i irredusible faktorer.

Trinn 3. Send ut alle polynomene slik at det er en faktor Q og for minst t-verdiene på ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle (yf (x))}$ ${\ displaystyle f (x_ {i}) = y_ {i}}$ ${\ displaystyle i \ in [n]}$

Analyse

Man må bevise at ovennevnte algoritme går i polynomisk tid og gir riktig resultat. Det kan gjøres ved å bevise følgende sett med krav.

Krav 1:

Hvis det eksisterer en funksjon som tilfredsstiller (2), kan man finne den i polynomisk tid. ${\ displaystyle Q: F ^ {2} \ to F}$

Bevis:

Merk at et bivariat polynom med vektet grad maksimalt kan skrives unikt som . Så må man finne koeffisientene som tilfredsstiller begrensningene , for hver . Dette er et lineært sett med ligninger i de ukjente { }. Man kan finne en løsning ved å bruke Gaussisk eliminering i polynomisk tid. ${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle (1, d)}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle Q (x, y) = \ sum _ {j = 0} ^ {l} \ sum _ {k = 0} ^ {m + (lj) d} q_ {kj} x ^ {k} y ^ { j}}$ ${\ displaystyle q_ {kj}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {l} \ sum _ {k = 0} ^ {m + (lj) d} q_ {kj} x_ {i} ^ {k} y_ {i} ^ {j } = 0}$ ${\ displaystyle i \ in [n]}$ ${\ displaystyle q_ {kj}}$

Krav 2:

Hvis det da finnes en funksjon som tilfredsstiller (2) ${\ displaystyle (m + 1) (l + 1) + d {\ begin {pmatrix} l + 1 \\ 2 \ end {pmatrix}}> n}$ ${\ displaystyle Q (x, y)}$

Bevis:

For å sikre at det ikke finnes en løsning uten null, bør antall koeffisienter i være større enn antall begrensninger. Anta at den maksimale graden av in er m og den maksimale graden av in er . Da vil graden være på det meste . Man må se at det lineære systemet er homogent. Innstillingen tilfredsstiller alle lineære begrensninger. Dette tilfredsstiller imidlertid ikke (2), siden løsningen kan være identisk null. For å sikre at en ikke-null løsning eksisterer, må man sørge for at antallet ukjente i det lineære systemet skal være , slik at man kan ha et ikke-null . Siden denne verdien er større enn n, er det flere variabler enn begrensninger, og det eksisterer derfor en løsning som ikke er null. ${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle deg_ {x} (Q)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle deg_ {y} (Q)}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle m + ld}$ ${\ displaystyle q_ {jk} = 0}$ ${\ displaystyle (m + 1) (l + 1) + d {\ begin {pmatrix} l + 1 \\ 2 \ end {pmatrix}}> n}$ ${\ displaystyle Q (x, y)}$

Krav 3:

Hvis er en funksjon som tilfredsstiller (2) og er funksjon som tilfredsstiller (1) og , deretter deler ${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle t> m + ld}$ ${\ displaystyle (yf (x))}$ ${\ displaystyle Q (x, y)}$

Bevis:

Vurder en funksjon . Dette er et polynom i , og hevder at det har høyest grad . Vurder ethvert monomial av . Siden har høyst vektet grad , kan man si det . Dermed er begrepet et polynom i grad . Dermed har grad på det meste ${\ displaystyle p (x) = Q (x, f (x))}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle m + ld}$ ${\ displaystyle q_ {jk} x ^ {k} y ^ {j}}$ ${\ displaystyle Q (x)}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle (1, d)}$ ${\ displaystyle m + ld}$ ${\ displaystyle k + jd \ leq m + ld}$ ${\ displaystyle q_ {kj} x ^ {k} f (x) ^ {j}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle k + jd \ leq m + ld}$ ${\ displaystyle p (x)}$ ${\ displaystyle m + ld}$

Neste hevder at det er identisk null. Siden er null når som helst , kan man si at er null for strengere enn poeng. Dermed har flere nuller enn graden og er dermed identisk null, noe som antyder ${\ displaystyle p (x)}$ ${\ displaystyle Q (x_ {i}, f (x_ {i}))}$ ${\ displaystyle y_ {i} = f (x_ {i})}$ ${\ displaystyle p (x_ {i})}$ ${\ displaystyle m + ld}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle Q (x, f (x)) \ equiv 0}$

Finne optimale verdier for og . Merk at og For en gitt verdi kan man beregne den minste som den andre betingelsen holder for. Ved å bytte den andre tilstanden kan man maksimalt være å erstatte denne verdien i den første tilstanden. Man kan bli minst Minimere ovennevnte ligning av ukjent parameter . Man kan gjøre det ved å ta avledet av ligningen og likestille det til null. Ved å gjøre det vil man få, erstatte verdien tilbake til, og en vil få ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle m + ld <t}$ ${\ displaystyle (m + 1) (l + 1) + d {\ begin {pmatrix} l + 1 \\ 2 \ end {pmatrix}}> n}$ ${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle (n + 1-d {\ begin {pmatrix} l + 1 \\ 2 \ end {pmatrix}}) / 2-1}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle {\ frac {n + 1} {l + 1}} + {\ frac {dl} {2}}}$ ${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle l = {\ sqrt {\ frac {2 (n + 1)} {d}}} - 1}$ ${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle m \ geq {\ sqrt {\ frac {(n + 1) d} {2}}} - {\ sqrt {\ frac {(n + 1) d} {2}}} + {\ frac { d} {2}} - 1 = {\ frac {d} {2}} - 1}$ ${\ displaystyle t> {\ sqrt {\ frac {2 (n + 1) d ^ {2}} {d}}} - {\ frac {d} {2}} - 1}$ ${\ displaystyle t> {\ sqrt {2 (n + 1) d}} - {\ frac {d} {2}} - 1}$

Algoritme 2 (Guruswami – Sudan-dekodingsalgoritme)

Definisjon

Vurder en Reed – Solomon-kode over det endelige feltet med evalueringssett og et positivt heltall , Guruswami-Sudan List Decoder aksepterer en vektor som inngang, og sender ut en liste over polynomer av grad som er i 1 til 1 korrespondanse med kodeord. ${\ displaystyle (n, k)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} = GF (q)}$ ${\ displaystyle (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ alpha _ {n})}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle \ beta = (\ beta _ {1}, \ beta _ {2}, \ ldots, \ beta _ {n})}$ ${\ displaystyle \ in}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ leq k}$

Ideen er å legge til flere restriksjoner på det bi-variate polynomet som resulterer i økning av begrensninger sammen med antall røtter. ${\ displaystyle Q (x, y)}$

Mangfold

Et bi-variabelt polynom har null multiplikasjon ved middel som ikke har noen grad av grad , der x- graden av er definert som den maksimale graden av en hvilken som helst x-term i ${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle (0,0)}$ ${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle \ leq r}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle \ qquad}$ ${\ displaystyle deg_ {x} f (x)}$ ${\ displaystyle =}$ ${\ displaystyle \ max _ {i \ i I} \ {i \}}$

For eksempel: La . ${\ displaystyle Q (x, y) = y-4x ^ {2}}$

https://wiki.cse.buffalo.edu/cse545/sites/wiki.cse.buffalo.edu.cse545/files/76/Fig1.jpg

Har derfor null på multiplikasjon 1 ved (0,0). ${\ displaystyle Q (x, y)}$

La . ${\ displaystyle Q (x, y) = y + 6x ^ {2}}$

https://wiki.cse.buffalo.edu/cse545/sites/wiki.cse.buffalo.edu.cse545/files/76/Fig2.jpg

Har derfor null på multiplikasjon 1 ved (0,0). ${\ displaystyle Q (x, y)}$

La ${\ displaystyle Q (x, y) = (y-4x ^ {2}) (y + 6x ^ {2}) = y ^ {2} + 6x ^ {2} y-4x ^ {2} y-24x ^ {4}}$

https://wiki.cse.buffalo.edu/cse545/sites/wiki.cse.buffalo.edu.cse545/files/76/Fig3.jpg

Har derfor null på multiplikasjon 2 ved (0,0). ${\ displaystyle Q (x, y)}$

På samme måte, hvis deretter har null på multiplikasjon 2 ved . ${\ displaystyle Q (x, y) = [(y- \ beta) -4 (x- \ alpha) ^ {2})] [(y- \ beta) +6 (x- \ alpha) ^ {2} )]}$ ${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$

Generell definisjon av mangfold

${\ displaystyle Q (x, y)}$ har røtter i hvis har en null av multiplisitet på når . ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ ${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) \ neq (0,0)}$

Algoritme

La det overførte kodeordet være , være støttesettet for det overførte kodeordet og det mottatte ordet være ${\ displaystyle (f (\ alpha _ {1}), f (\ alpha _ {2}), \ ldots, f (\ alpha _ {n}))}$ ${\ displaystyle (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ alpha _ {n})}$ ${\ displaystyle (\ beta _ {1}, \ beta _ {2}, \ ldots, \ beta _ {n})}$

Algoritmen er som følger:

• Interpolasjonstrinn

For en mottatt vektor , konstruer en ikke-null bi-variat polynom med en vektet grad av høyst slik som har null multiplikasjon ved hvert av punktene der ${\ displaystyle (\ beta _ {1}, \ beta _ {2}, \ ldots, \ beta _ {n})}$ ${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle (1, k) -}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle (\ alpha _ {i}, \ beta _ {i})}$ ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$

{\ displaystyle Q (\ alpha _ {i}, \ beta _ {i}) = 0 \,}

• Faktoriseringstrinn

Finn alle faktorene i skjemaet og for minst verdiene av ${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle yp (x)}$ ${\ displaystyle p (\ alpha _ {i}) = \ beta _ {i}}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle i}$

der & er et polynom av grad ${\ displaystyle 0 \ leq i \ leq n}$ ${\ displaystyle p (x)}$ ${\ displaystyle \ leq k}$

Husk at polynomer av grad er i 1 til 1 korrespondanse med kodeord. Derfor viser dette trinnet listen over kodeord. ${\ displaystyle \ leq k}$

Analyse

Interpolasjonstrinn

Lemma: Interpolasjonstrinn innebærer begrensninger på koeffisientene til ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} r + 1 \\ 2 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$

La hvor og ${\ displaystyle Q (x, y) = \ sum _ {i = 0, j = 0} ^ {i = m, j = p} a_ {i, j} x ^ {i} y ^ {j}}$ ${\ displaystyle \ deg _ {x} Q (x, y) = m}$ ${\ displaystyle \ deg _ {y} Q (x, y) = p}$

Så, ........................ (ligning 1) ${\ displaystyle Q (x + \ alpha, y + \ beta)}$ ${\ displaystyle =}$ ${\ displaystyle \ sum _ {u = 0, v = 0} ^ {r}}$ ${\ displaystyle Q_ {u, v}}$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ ${\ displaystyle x ^ {u}}$ ${\ displaystyle y ^ {v}}$

hvor ${\ displaystyle Q_ {u, v}}$ ${\ displaystyle (x, y)}$ ${\ displaystyle =}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0, j = 0} ^ {i = m, j = p}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} i \\ u \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} j \\ v \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle a_ {i, j}}$ ${\ displaystyle x ^ {iu}}$ ${\ displaystyle y ^ {jv}}$

Bevis for ligning 1:

{\ displaystyle Q (x + \ alpha, y + \ beta) = \ sum _ {i, j} a_ {i, j} (x + \ alpha) ^ {i} (y + \ beta) ^ {j}}

{\ displaystyle Q (x + \ alpha, y + \ beta) = \ sum _ {i, j} a_ {i, j} {\ Bigg (} \ sum _ {u} {\ begin {pmatrix} i \\ u \ slutt {pmatrix}} x ^ {u} \ alpha ^ {iu} {\ Bigg)} {\ Bigg (} \ sum _ {v} {\ begin {pmatrix} i \\ v \ end {pmatrix}} y ^ {v} \ beta ^ {jv} {\ Bigg)}}

................. Bruke binomial utvidelse

{\ displaystyle Q (x + \ alpha, y + \ beta) = \ sum _ {u, v} x ^ {u} y ^ {v} {\ Bigg (} \ sum _ {i, j} {\ begin {pmatrix } i \\ u \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} i \\ v \ end {pmatrix}} a_ {i, j} \ alpha ^ {iu} \ beta ^ {jv} {\ Bigg)} }

{\ displaystyle Q (x + \ alpha, y + \ beta) = \ sum _ {u, v}}

{\ displaystyle Q_ {u, v} (\ alpha, \ beta) x ^ {u} y ^ {v}}

Bevis på Lemma:

Polynomet har null mangfold ved if ${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$

{\ displaystyle Q_ {u, v}}

{\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}

{\ displaystyle \ equiv}

{\ displaystyle 0}

slik at

{\ displaystyle 0 \ leq u + v \ leq r-1}

{\ displaystyle u}

kan ta verdier som . Dermed er det totale antallet begrensninger

{\ displaystyle rv}

{\ displaystyle 0 \ leq v \ leq r-1}

${\ displaystyle \ sum _ {v = 0} ^ {r-1} {rv}}$ ${\ displaystyle =}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} r + 1 \\ 2 \ end {pmatrix}}}$

Dermed kan antall valg gjøres for og hvert valg innebærer begrensninger på koeffisientene til ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} r + 1 \\ 2 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle (u, v)}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$

Faktoriseringstrinn

Forslag:

${\ displaystyle Q (x, p (x)) \ equiv 0}$ hvis er en faktor av ${\ displaystyle yp (x)}$ ${\ displaystyle Q (x, y)}$

Bevis:

Siden, er en faktor av , kan representeres som ${\ displaystyle yp (x)}$ ${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle Q (x, y)}$

${\ displaystyle Q (x, y) = L (x, y) (yp (x))}$ ${\ displaystyle +}$ ${\ displaystyle R (x)}$

hvor, er kvotienten oppnådd når er delt på er resten ${\ displaystyle L (x, y)}$ ${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle yp (x)}$ ${\ displaystyle R (x)}$

Nå, hvis erstattes av , bare hvis ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle p (x)}$ ${\ displaystyle Q (x, p (x))}$ ${\ displaystyle \ equiv}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle R (x)}$ ${\ displaystyle \ equiv}$ ${\ displaystyle 0}$

Teorem:

Hvis , så er en faktor av ${\ displaystyle p (\ alpha) = \ beta}$ ${\ displaystyle (x- \ alpha) ^ {r}}$ ${\ displaystyle Q (x, p (x))}$

Bevis:

${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle =}$ ${\ displaystyle \ sum _ {u, v}}$ ${\ displaystyle Q_ {u, v}}$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ ${\ displaystyle (x- \ alpha) ^ {u}}$ ${\ displaystyle (y- \ beta) ^ {v}}$ ........................... Fra ligning 2

${\ displaystyle Q (x, p (x))}$ ${\ displaystyle =}$ ${\ displaystyle \ sum _ {u, v}}$ ${\ displaystyle Q_ {u, v}}$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ ${\ displaystyle (x- \ alpha) ^ {u}}$ ${\ displaystyle (p (x) - \ beta) ^ {v}}$

Gitt, mod ${\ displaystyle p (\ alpha)}$ ${\ displaystyle =}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle (p (x) - \ beta)}$ ${\ displaystyle (x- \ alpha)}$ ${\ displaystyle =}$ ${\ displaystyle 0}$

Derfor mod ${\ displaystyle (x- \ alpha) ^ {u}}$ ${\ displaystyle (p (x) - \ beta) ^ {v}}$ ${\ displaystyle (x- \ alpha) ^ {u + v}}$ ${\ displaystyle =}$ ${\ displaystyle 0}$

Dermed er en faktor av . ${\ displaystyle (x- \ alpha) ^ {r}}$ ${\ displaystyle Q (x, p (x))}$

Som bevist ovenfor,

${\ displaystyle t \ cdot r> D}$

${\ displaystyle t> {\ frac {D} {r}}}$

${\ displaystyle {\ frac {D (D + 2)} {2 (k-1)}}> n {\ begin {pmatrix} r + 1 \\ 2 \ end {pmatrix}}}$ hvor LHS er den øvre grensen på antall koeffisienter av og RHS er det tidligere bevist Lemma. ${\ displaystyle Q (x, y)}$