Fire-vektor - Four-vector

En del av en serie på
Romtid
Romtidsbegreper
Generell relativitet
Klassisk tyngdekraft
Relevant matematikk
v t e

I spesiell relativitet er en firvektor (eller 4-vektor ) et objekt med fire komponenter, som transformeres på en spesifikk måte under Lorentz-transformasjon . Spesielt er en firvektor et element i et firedimensjonalt vektorrom betraktet som et representasjonsrom for standardrepresentasjonen til Lorentz-gruppen , (1/2,1/2) representasjon. Det skiller seg fra en euklidisk vektor i hvordan størrelsen bestemmes. Transformasjonene som bevarer denne størrelsen er Lorentz-transformasjonene, som inkluderer romlige rotasjoner og boosts (en endring med konstant hastighet til en annen treghetsreferanseramme ).

Fire vektorer beskriver for eksempel posisjon x ^μ i romtid modellert som Minkowski-rom , en partikkels fire momentum p ^μ , amplituden til det elektromagnetiske firepotensialet A ^μ ( x ) ved et punkt x i romtiden, og elementene i underområdet som spennes av gammamatrisene inne i Dirac-algebra .

Lorentz-gruppen kan være representert med 4 × 4-matriser Λ . Virkningen av en Lorentz-transformasjon på en generell kontravariante fire-vektor X (som i eksemplene ovenfor), som anses som en kolonnevektor med kartesiske koordinater i forhold til en treghetsramme i oppføringene, er gitt ved

${\ displaystyle X ^ {\ prime} = \ Lambda X,}$

(matrisemultiplikasjon) der komponentene til det primede objektet refererer til den nye rammen. Relatert til eksemplene ovenfor som er gitt som kontravariantvektorer, er det også de tilsvarende kovariante vektorene x _μ , p _μ og A _μ ( x ) . Disse forvandles i henhold til regelen

${\ displaystyle X ^ {\ prime} = \ left (\ Lambda ^ {- 1} \ right) ^ {\ textrm {T}} X,}$

hvor ^T betegner matrisen transponere . Denne regelen er forskjellig fra ovennevnte regel. Det tilsvarer den dobbelte representasjonen av standardrepresentasjonen. Men for Lorentz-gruppen den doble av enhver representasjon er tilsvarende til den opprinnelige representasjon. Dermed er også objektene med kovariante indekser firevektorer.

For et eksempel på et veloppdragen firekomponentobjekt i spesiell relativitet som ikke er en firvektor , se bispinor . Det er på samme måte definert, forskjellen er at transformasjonsregelen under Lorentz-transformasjoner er gitt av en annen representasjon enn standardrepresentasjonen. I dette tilfellet leser regelen X ′ = Π (Λ) X , der Π (Λ) er en matrise på 4 × 4 enn Λ . Lignende bemerkninger gjelder gjenstander med færre eller flere komponenter som er veloppdragen under Lorentz-transformasjoner. Disse inkluderer skalarer , spinorer , tensorer og spinorsensorer.

Artikkelen tar for seg firevektorer i sammenheng med spesiell relativitet. Selv om begrepet firvektorer også strekker seg til generell relativitet , krever noen av resultatene i denne artikkelen endring i generell relativitet.

Notasjon

Merknadene i denne artikkelen er: små bokstaver for tredimensjonale vektorer, hatter for tredimensjonale enhetsvektorer , store bokstaver for firedimensjonale vektorer (unntatt firegradienten) og tensorindeksnotasjon .

Fire-vektor algebra

Firevektorer i virkelig verdi

En firvektor A er en vektor med en "tidaktig" komponent og tre "romlignende" komponenter, og kan skrives i forskjellige ekvivalente betegnelser:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} & = \ left (A ^ {0}, \, A ^ {1}, \, A ^ {2}, \, A ^ {3} \ right ) \\ & = A ^ {0} \ mathbf {E} _ {0} + A ^ {1} \ mathbf {E} _ {1} + A ^ {2} \ mathbf {E} _ {2} + A ^ {3} \ mathbf {E} _ {3} \\ & = A ^ {0} \ mathbf {E} _ {0} + A ^ {i} \ mathbf {E} _ {i} \\ & = A ^ {\ alpha} \ mathbf {E} _ {\ alpha} \\ & = A ^ {\ mu} \ end {aligned}}}$

hvor i den siste formen størrelseskomponenten og basisvektoren er blitt kombinert til et enkelt element.

De øvre indeksene indikerer motstridende komponenter. Her er standardkonvensjonen at latinske indekser tar verdier for romlige komponenter, slik at i = 1, 2, 3 og greske indekser tar verdier for rom- og tidskomponenter, så α = 0, 1, 2, 3, brukt med summeringen konvensjon . Oppdelingen mellom tidskomponenten og de romlige komponentene er nyttig å gjøre når man bestemmer sammentrekninger av en fire vektor med andre tensormengder, for eksempel for å beregne Lorentz invarianter i indre produkter (eksempler er gitt nedenfor), eller heve og senke indekser .

I spesielle relativitets, den spacelike basis E ₁ , E ₂ , E ₃ og komponentene A ¹ , A ² , A ³ er ofte kartesisk basis og komponenter:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} & = \ left (A_ {t}, \, A_ {x}, \, A_ {y}, \, A_ {z} \ right) \\ & = A_ {t} \ mathbf {E} _ {t} + A_ {x} \ mathbf {E} _ {x} + A_ {y} \ mathbf {E} _ {y} + A_ {z} \ mathbf { E} _ {z} \\\ slutt {justert}}}$

selv om selvfølgelig ethvert annet grunnlag og komponenter kan brukes, slik som sfæriske polare koordinater

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} & = \ left (A_ {t}, \, A_ {r}, \, A _ {\ theta}, \, A _ {\ phi} \ right) \ \ & = A_ {t} \ mathbf {E} _ {t} + A_ {r} \ mathbf {E} _ {r} + A _ {\ theta} \ mathbf {E} _ {\ theta} + A _ {\ phi} \ mathbf {E} _ {\ phi} \\\ slutt {justert}}}$

eller sylindriske polare koordinater ,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} & = (A_ {t}, \, A_ {r}, \, A _ {\ theta}, \, A_ {z}) \\ & = A_ { t} \ mathbf {E} _ {t} + A_ {r} \ mathbf {E} _ {r} + A _ {\ theta} \ mathbf {E} _ {\ theta} + A_ {z} \ mathbf {E } _ {z} \\\ slutt {justert}}}$

eller andre ortogonale koordinater , eller til og med generelle krøllete koordinater . Merk at koordinatetikettene alltid er tegnet som etiketter og ikke er indekser som tar numeriske verdier. Generell relativitet må lokale krumlinjære koordinater på lokal basis brukes. Geometrisk kan en firvektor fortsatt tolkes som en pil, men i romtid - ikke bare plass. I relativitet er pilene tegnet som en del av Minkowski-diagrammet (også kalt romtiddiagram ). I denne artikkelen vil firevektorer bare bli referert til som vektorer.

Det er også vanlig å representere basene etter kolonnevektorer :

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {0} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {E} _ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {E} _ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {E} _ {3} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$

så det:

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ A ^ {1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatrix}}}$

Forholdet mellom samvarianten og kontravariantkoordinatene er gjennom Minkowski metriske tensor (referert til som metriske), η som hever og senker indekser som følger:

${\ displaystyle A _ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} A ^ {\ nu} \ ,,}$

og i forskjellige ekvivalente notasjoner er de kovariante komponentene:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} & = (A_ {0}, \, A_ {1}, \, A_ {2}, \, A_ {3}) \\ & = A_ {0 } \ mathbf {E} ^ {0} + A_ {1} \ mathbf {E} ^ {1} + A_ {2} \ mathbf {E} ^ {2} + A_ {3} \ mathbf {E} ^ { 3} \\ & = A_ {0} \ mathbf {E} ^ {0} + A_ {i} \ mathbf {E} ^ {i} \\ & = A _ {\ alpha} \ mathbf {E} ^ {\ alfa} \\\ slutt {justert}}}$

der den senkede indeksen indikerer at den er kovariant . Ofte er beregningen diagonal, slik det er tilfelle for ortogonale koordinater (se linjeelement ), men ikke generelt kurvlinære koordinater .

Basene kan representeres av radvektorer :

${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {0} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {E} ^ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {E} ^ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {E} ^ {3} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

så det:

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} A_ {0} & A_ {1} & A_ {2} & A_ {3} \ end {pmatrix}}}$

Motivasjonen for de ovennevnte konvensjonene er at det indre produktet er en skalar, se nedenfor for detaljer.

Lorentz transformasjon

Gitt to treghet eller roterte referanserammer , er en fire-vektor som er definert som en mengde som omformer i henhold til Lorentz transformasjonsmatrise  Λ :

${\ displaystyle \ mathbf {A} '= {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {A}}$

I indeksnotasjon transformerer de kontravariant og samvarianter i henhold til henholdsvis:

${\ displaystyle {A '} ^ {\ mu} = \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} A ^ {\ nu} \ ,, \ quad {A'} _ {\ mu} = \ Lambda _ {\ mu} {} ^ {\ nu} A _ {\ nu}}$

der matrisen Λ har komponenter Λ ^μ _ν i rad  μ og kolonne  ν , og den omvendte matrisen Λ ⁻¹ har komponenter Λ _μ ^ν i rad  μ og kolonne  ν .

For bakgrunn om arten av denne transformasjonsdefinisjonen, se tensor . Alle firvektorene transformeres på samme måte, og dette kan generaliseres til firedimensjonale relativistiske tensorer; se spesiell relativitet .

Rene rotasjoner om en vilkårlig akse

For to rammer rotert med en fast vinkel θ rundt en akse definert av enhetsvektoren :

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}} = \ left ({\ hat {n}} _ {1}, {\ hat {n}} _ {2}, {\ hat {n}} _ {3} \ høyre) \ ,,}$

uten noen øker, matrisen Λ har komponenter gitt ved:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Lambda _ {00} & = 1 \\\ Lambda _ {0i} = \ Lambda _ {i0} & = 0 \\\ Lambda _ {ij} & = \ left (\ delta _ {ij} - {\ hat {n}} _ {i} {\ hat {n}} _ {j} \ right) \ cos \ theta - \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {n}} _ {k} \ sin \ theta + {\ hat {n}} _ {i} {\ hat {n}} _ {j} \ end {aligned}}}$

hvor δ _ij er Kronecker-deltaet , og ε _ijk er det tredimensjonale Levi-Civita-symbolet . De romlige komponentene i fire vektorer roteres, mens de tidlige komponentene forblir uendret.

Når det gjelder rotasjoner bare om z- aksen, reduseres den romlige delen av Lorentz-matrisen til rotasjonsmatrisen om z- aksen:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {A '} ^ {0} \\ {A'} ^ {1} \\ {A '} ^ {2} \\ {A'} ^ {3} \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ theta & - \ sin \ theta & 0 \\ 0 & \ sin \ theta & \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} { \ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ A ^ {1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatrix}} \.}$

Ren boost i en vilkårlig retning

For to rammer som beveger seg med konstant relativ trehastighet v (ikke firehastighet, se nedenfor ), er det praktisk å betegne og definere den relative hastigheten i enheter av c ved:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} = (\ beta _ {1}, \, \ beta _ {2}, \, \ beta _ {3}) = {\ frac {1} {c}} ( v_ {1}, \, v_ {2}, \, v_ {3}) = {\ frac {1} {c}} \ mathbf {v} \ ,.}$

Deretter uten rotasjoner, matrisen Λ har komponenter gitt ved:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Lambda _ {00} & = \ gamma, \\\ Lambda _ {0i} = \ Lambda _ {i0} & = - \ gamma \ beta _ {i}, \\\ Lambda _ {ij} = \ Lambda _ {ji} & = (\ gamma -1) {\ frac {\ beta _ {i} \ beta _ {j}} {\ beta ^ {2}}} + \ delta _ {ij} = (\ gamma -1) {\ frac {v_ {i} v_ {j}} {v ^ {2}}} + \ delta _ {ij}, \\\ slutt {justert}} \, \ !}$

der Lorentz-faktoren er definert av:

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ boldsymbol {\ beta}} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}}}}} \ ,,}$

og δ _ij er Kronecker-deltaet . I motsetning til tilfelle for rene rotasjoner blandes de romlige og tidaktige komponentene sammen under boost.

For tilfeller av bare boost i x- retningen, reduseres matrisen til;

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A '^ {0} \\ A' ^ {1} \\ A '^ {2} \\ A' ^ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatrix} \ cosh \ phi & - \ sinh \ phi & 0 & 0 \\ - \ sinh \ phi & \ cosh \ phi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} A ^ {0 } \\ A ^ {1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatrix}}}$

Hvor den hurtighet φ uttrykk er benyttet, er skrevet i form av hyperbolske funksjoner :

${\ displaystyle \ gamma = \ cosh \ phi}$

Denne Lorentz-matrisen illustrerer boostet til å være en hyperbolsk rotasjon i firedimensjonell romtid, analog med den sirkulære rotasjonen ovenfor i et tredimensjonalt rom.

Eiendommer

Lineæritet

Fire vektorer har de samme linearitetsegenskapene som euklidiske vektorer i tre dimensjoner . De kan legges til på vanlig måte:

${\ displaystyle \ mathbf {A} + \ mathbf {B} = \ left (A ^ {0}, A ^ {1}, A ^ {2}, A ^ {3} \ right) + \ left (B ^ {0}, B ^ {1}, B ^ {2}, B ^ {3} \ right) = \ left (A ^ {0} + B ^ {0}, A ^ {1} + B ^ {1 }, A ^ {2} + B ^ {2}, A ^ {3} + B ^ {3} \ høyre)}$

og tilsvarende skalar multiplikasjon med en skalar λ er definert inngangsvis av:

${\ displaystyle \ lambda \ mathbf {A} = \ lambda \ left (A ^ {0}, A ^ {1}, A ^ {2}, A ^ {3} \ right) = \ left (\ lambda A ^ {0}, \ lambda A ^ {1}, \ lambda A ^ {2}, \ lambda A ^ {3} \ høyre)}$

Da er subtraksjon den inverse operasjonen av addisjon, definert inngangsvis av:

${\ displaystyle \ mathbf {A} + (- 1) \ mathbf {B} = \ left (A ^ {0}, A ^ {1}, A ^ {2}, A ^ {3} \ right) + ( -1) \ left (B ^ {0}, B ^ {1}, B ^ {2}, B ^ {3} \ right) = \ left (A ^ {0} -B ^ {0}, A ^ {1} -B ^ {1}, A ^ {2} -B ^ {2}, A ^ {3} -B ^ {3} \ høyre)}$

Minkowski tensor

Ved å bruke Minkowski-tensoren η _μν på to _firvektorer A og B , og skrive resultatet i punktproduktnotasjon , har vi, ved hjelp av Einstein-notasjon :

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = A ^ {\ mu} \ eta _ {\ mu \ nu} B ^ {\ nu}}$

Det er praktisk å omskrive definisjonen i matriseform :

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot B} = {\ begin {pmatrix} A ^ {0} & A ^ {1} & A ^ {2} & A ^ {3} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ eta _ {00} & \ eta _ {01} & \ eta _ {02} & \ eta _ {03} \\\ eta _ {10} & \ eta _ {11} & \ eta _ {12} & \ eta _ {13} \\\ eta _ {20} & \ eta _ {21} & \ eta _ {22} & \ eta _ {23} \\\ eta _ {30} & \ eta _ {31} & \ eta _ {32} & \ eta _ {33} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} B ^ {0} \\ B ^ {1} \\ B ^ {2} \\ B ^ { 3} \ end {pmatrix}}}$

i så fall er η _μν ovenfor oppføringen i rad μ og kolonne ν i Minkowski-metrikken som en kvadratmatrise. Minkowski-beregningen er ikke en euklidisk beregning , fordi den er ubestemt (se metrisk signatur ). Kan anvendes en rekke andre uttrykk, fordi den metriske tensor kan heve og senke komponentene av A eller B . For kontra / ko-variantkomponenter av A og ko / kontra-variantkomponenter av B har vi:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = A ^ {\ mu} \ eta _ {\ mu \ nu} B ^ {\ nu} = A _ {\ nu} B ^ {\ nu} = A ^ {\ mu} B _ {\ mu}}$

så i matriksnotasjonen:

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot B} = {\ begin {pmatrix} A_ {0} & A_ {1} & A_ {2} & A_ {3} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} B ^ {0 } \\ B ^ {1} \\ B ^ {2} \\ B ^ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} B_ {0} & B_ {1} & B_ {2} & B_ {3 } \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ A ^ {1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatrix}}}$

mens for A og B hver i kovariante komponenter:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = A _ {\ mu} \ eta ^ {\ mu \ nu} B _ {\ nu}}$

med et lignende matriseuttrykk som ovenfor.

Ved å bruke Minkowski-tensoren på en firvektor A med seg selv får vi:

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A} = A ^ {\ mu} \ eta _ {\ mu \ nu} A ^ {\ nu}}$

som, avhengig av tilfelle, kan betraktes som kvadratet, eller dets negative, av vektorens lengde.

Følgende er to vanlige valg for metrisk tensor på standardbasis (i hovedsak kartesiske koordinater). Hvis ortogonale koordinater blir brukt, vil det være skaleringsfaktorer langs den diagonale delen av den romlige delen av metrikken, mens for generelle krumlinjære koordinater vil hele den romlige delen av metrikken ha komponenter avhengig av den krumlinjære basis som brukes.

Standard basis, (+ −−−) signatur

I (+ −−−) metrisk signatur gir evaluering av summering over indekser :

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = A ^ {0} B ^ {0} -A ^ {1} B ^ {1} -A ^ {2} B ^ {2} -A ^ {3} B ^ {3}}$

mens du er i matriseform:

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot B} = {\ begin {pmatrix} A ^ {0} & A ^ {1} & A ^ {2} & A ^ {3} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} B ^ {0} \\ B ^ {1} \\ B ^ {2} \\ B ^ {3} \ end {pmatrix}}}$

Det er et gjennomgående tema i spesiell relativitetsteori å ta uttrykket

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = A ^ {0} B ^ {0} -A ^ {1} B ^ {1} -A ^ {2} B ^ {2} -A ^ {3} B ^ {3} = C}$

i en referanseramme , hvor C er verdien av det indre produktet i denne rammen, og:

${\ displaystyle \ mathbf {A} '\ cdot \ mathbf {B}' = {A '} ^ {0} {B'} ^ {0} - {A '} ^ {1} {B'} ^ {1 } - {A '} ^ {2} {B'} ^ {2} - {A '} ^ {3} {B'} ^ {3} = C '}$

i en annen ramme, der C ′ er verdien av det indre produktet i denne rammen. Siden det indre produktet er en invariant, må disse være like:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = \ mathbf {A} '\ cdot \ mathbf {B}'}$

det er:

${\ displaystyle C = A ^ {0} B ^ {0} -A ^ {1} B ^ {1} -A ^ {2} B ^ {2} -A ^ {3} B ^ {3} = { A '} ^ {0} {B'} ^ {0} - {A '} ^ {1} {B'} ^ {1} - {A '} ^ {2} {B'} ^ {2} - {A '} ^ {3} {B'} ^ {3}}$

Tatt i betraktning at fysiske størrelser i relativitet er fire vektorer, har denne ligningen utseendet til en " bevaringslov ", men det er ingen "bevaring" involvert. Den primære betydningen av det indre Minkowski-produktet er at verdien for to firvektorer er uforanderlig for alle observatører; endring av koordinater resulterer ikke i verdiendring av det indre produktet. Komponentene til firevektorene skifter fra en ramme til en annen; A og A ′ er forbundet med en Lorentz-transformasjon , og tilsvarende for B og B ′, selv om de indre produktene er de samme i alle rammer. Likevel blir denne typen uttrykk utnyttet i relativistiske beregninger på nivå med bevaringslover, siden størrelsen på komponenter kan bestemmes uten eksplisitt å utføre noen Lorentz-transformasjoner. Et spesielt eksempel er med energi og bevegelsesmengde i den energi-bevegelses forhold utledet fra fire-moment -vektor (se også nedenfor).

I denne signaturen har vi:

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A} = \ left (A ^ {0} \ right) ^ {2} - \ left (A ^ {1} \ right) ^ {2} - \ left (A ^ { 2} \ høyre) ^ {2} - \ venstre (A ^ {3} \ høyre) ^ {2}}$

Med signaturen (+ −−−), kan firevektorer klassifiseres som enten romlignende hvis , tidaktig hvis og nullvektorer hvis . ${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A} <0}$${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A}> 0}$${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A} = 0}$

Standard basis, (- +++) signatur

Noen forfattere definerer η med det motsatte tegnet, i så fall har vi (- +++) metrisk signatur. Evaluering av summeringen med denne signaturen:

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot B} = -A ^ {0} B ^ {0} + A ^ {1} B ^ {1} + A ^ {2} B ^ {2} + A ^ {3 } B ^ {3}}$

mens matriseformen er:

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot B} = \ left ({\ begin {matrix} A ^ {0} & A ^ {1} & A ^ {2} & A ^ {3} \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} B ^ {0} \\ B ^ {1} \\ B ^ {2} \\ B ^ {3} \ end {matrix}} \ høyre)}$

Merk at i dette tilfellet, i en ramme:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = -A ^ {0} B ^ {0} + A ^ {1} B ^ {1} + A ^ {2} B ^ {2} + A ^ {3} B ^ {3} = - C}$

mens du er i en annen:

${\ displaystyle \ mathbf {A} '\ cdot \ mathbf {B}' = - {A '} ^ {0} {B'} ^ {0} + {A '} ^ {1} {B'} ^ { 1} + {A '} ^ {2} {B'} ^ {2} + {A '} ^ {3} {B'} ^ {3} = - C '}$

så det:

${\ displaystyle -C = -A ^ {0} B ^ {0} + A ^ {1} B ^ {1} + A ^ {2} B ^ {2} + A ^ {3} B ^ {3} = - {A '} ^ {0} {B'} ^ {0} + {A '} ^ {1} {B'} ^ {1} + {A '} ^ {2} {B'} ^ { 2} + {A '} ^ {3} {B'} ^ {3}}$

som er ekvivalent med det ovennevnte uttrykk for C i form av A og B . Enten konvensjonen vil fungere. Med Minkowski-beregningen definert på de to måtene ovenfor, er den eneste forskjellen mellom kovariant og kontravariant firevektorkomponenter tegn, derfor avhenger tegnene av hvilken tegnkonvensjon som brukes.

Vi har:

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A} = - \ venstre (A ^ {0} \ høyre) ^ {2} + \ venstre (A ^ {1} \ høyre) ^ {2} + \ venstre (A ^ {2} \ høyre) ^ {2} + \ venstre (A ^ {3} \ høyre) ^ {2}}$

Med signaturen (- +++), kan fire-vektorer bli klassifisert som enten spacelike om , timelike om , og null hvis . ${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A}> 0}$${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A} <0}$${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A} = 0}$

To vektorer

Bruk av Minkowski-tensoren uttrykkes ofte som effekten av den dobbelte vektoren til en vektor på den andre:

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot B} = A ^ {*} (\ mathbf {B}) = A {_ {\ nu}} B ^ {\ nu}.}$

Her er A _ν s komponentene til den doble vektoren A * av A på den dobbelte basis og kalles de samvariante koordinatene til A , mens de opprinnelige A ^ν- komponentene kalles de kontravariale koordinatene.

Fire-vektor kalkulator

Derivater og differensialer

I spesiell relativitet (men ikke generell relativitet) er derivatet av en firvektor i forhold til en skalar λ (invariant) i seg selv en firvektor. Det er også nyttig å ta differensial av den fire-vektor, d A og dele det ved differensial av skalarfeltet, dλ :

${\ displaystyle {\ underset {\ text {different}} {d \ mathbf {A}}} = {\ underset {\ text {derivative}} {\ frac {d \ mathbf {A}} {d \ lambda}} } {\ undersett {\ text {differensial}} {d \ lambda}}}$

der de kontravariant komponentene er:

${\ displaystyle d \ mathbf {A} = \ left (dA ^ {0}, dA ^ {1}, dA ^ {2}, dA ^ {3} \ right)}$

mens de kovariante komponentene er:

${\ displaystyle d \ mathbf {A} = \ left (dA_ {0}, dA_ {1}, dA_ {2}, dA_ {3} \ right)}$

I relativistisk mekanikk tar man ofte differensialet til en firvektor og deler med differensialet i riktig tid (se nedenfor).

Grunnleggende firvektorer

Fire posisjoner

Et punkt i Minkowski-rommet er en tid og romlig posisjon, kalt en "hendelse", eller noen ganger posisjonen fire-vektor eller fire-posisjon eller 4-posisjon, beskrevet i noen referanseramme med et sett med fire koordinater:

${\ displaystyle \ mathbf {R} = \ left (ct, \ mathbf {r} \ right)}$

hvor r er den tredimensjonale romposisjonsvektoren . Hvis r er en funksjon av koordinatid t i samme ramme, dvs. r = r ( t ), tilsvarer dette en sekvens av hendelser ettersom t varierer. Definisjonen R ⁰ = ct sikrer at alle koordinatene har de samme enheter (av avstand). Disse koordinatene er komponentene i posisjonen fire-vektor for hendelsen.

Den forskyvning fire-vektoren er definert å være en "pil" linking to hendelser:

${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {R} = \ left (c \ Delta t, \ Delta \ mathbf {r} \ right)}$

For den differensielle fireposisjonen på en verdenslinje har vi en normnotasjon :

${\ displaystyle \ | d \ mathbf {R} \ | ^ {2} = \ mathbf {dR \ cdot dR} = dR ^ {\ mu} dR _ {\ mu} = c ^ {2} d \ tau ^ {2 } = ds ^ {2} \ ,,}$

definere differensiallinjeelementet d s og differensial riktig tidsintervallet d τ , men denne "normale" er også:

${\ displaystyle \ | d \ mathbf {R} \ | ^ {2} = (cdt) ^ {2} -d \ mathbf {r} \ cdot d \ mathbf {r} \ ,,}$

så det:

${\ displaystyle (cd \ tau) ^ {2} = (cdt) ^ {2} -d \ mathbf {r} \ cdot d \ mathbf {r} \ ,.}$

Når man vurderer fysiske fenomener, oppstår differensialligninger naturlig; når man vurderer rom- og tidsderivater av funksjoner, er det imidlertid uklart hvilken referanseramme disse derivatene er tatt med hensyn til. Det er enighet om at tidsderivater tas med hensyn til riktig tid . Ettersom riktig tid er en invariant, garanterer dette at riktig tid-derivatet av en hvilken som helst fire-vektor i seg selv er en fire-vektor. Det er da viktig å finne en sammenheng mellom dette riktige tidsderivatet og et annet tidsderivat (ved å bruke koordinattiden t til en treghetsreferanseramme). Denne relasjonen tilveiebringes ved å ta ovennevnte differensial-invariante romtidintervall, deretter dele med ( cdt ) ^{2 for} å oppnå: ${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {cd \ tau} {cdt}} \ right) ^ {2} = 1- \ left ({\ frac {d \ mathbf {r}} {cdt}} \ cdot {\ frac {d \ mathbf {r}} {cdt}} \ right) = 1 - {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} = {\ frac {1 } {\ gamma (\ mathbf {u}) ^ {2}}} \ ,,}$

hvor u = d r / dt er koordinaten 3- hastigheten til et objekt målt i samme ramme som koordinatene x , y , z og koordinatid t , og

${\ displaystyle \ gamma (\ mathbf {u}) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} }}}}$

er Lorentz-faktoren . Dette gir en nyttig sammenheng mellom differensialene i koordinatid og riktig tid:

${\ displaystyle dt = \ gamma (\ mathbf {u}) d \ tau \ ,.}$

Denne relasjonen kan også bli funnet fra tidstransformasjonen i Lorentz-transformasjonene .

Viktige firvektorer i relativitetsteorien kan defineres ved å bruke denne differensialen . ${\ displaystyle {\ frac {d} {d \ tau}}}$

Fire graderinger

Tatt i betraktning det partielle deriverte er lineære operatører , kan man danne en fire-gradient fra den partielle tidsderiverte ∂ / ∂ t og den romlige gradienten ∇. På grunnlag av standard, i indeks og forkortede notasjoner, er de kontravariant komponentene:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ partial}} & = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {0}}}, \, - {\ frac {\ partial} { \ partial x_ {1}}}, \, - {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {2}}}, \, - {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {3}}} \ right ) \\ & = (\ delvis ^ {0}, \, - \ delvis ^ {1}, \, - \ delvis ^ {2}, \, - \ delvis ^ {3}) \\ & = \ mathbf { E} _ {0} \ partial ^ {0} - \ mathbf {E} _ {1} \ partial ^ {1} - \ mathbf {E} _ {2} \ partial ^ {2} - \ mathbf {E} _ {3} \ partial ^ {3} \\ & = \ mathbf {E} _ {0} \ partial ^ {0} - \ mathbf {E} _ {i} \ partial ^ {i} \\ & = \ mathbf {E} _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha} \\ & = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, \, - \ nabla \ høyre) \\ & = \ left ({\ frac {\ partial _ {t}} {c}}, - \ nabla \ right) \\ & = \ mathbf {E} _ {0} {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} - \ nabla \\\ slutt {justert}}}$

Legg merke til at basisvektorene er plassert foran komponentene, for å forhindre forvirring mellom å ta derivatet av basisvektoren, eller bare indikere at det delvise derivatet er en komponent i denne firevektoren. Kovariantkomponentene er:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ partial}} & = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {0}}}, \, {\ frac {\ partial} { \ partial x ^ {1}}}, \, {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {2}}}, \, {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {3}}} \ høyre) \\ & = (\ delvis _ {0}, \, \ delvis _ {1}, \, \ delvis _ {2}, \, \ delvis _ {3}) \\ & = \ mathbf {E} ^ {0} \ partial _ {0} + \ mathbf {E} ^ {1} \ partial _ {1} + \ mathbf {E} ^ {2} \ partial _ {2} + \ mathbf {E} ^ { 3} \ delvis _ {3} \\ & = \ mathbf {E} ^ {0} \ delvis _ {0} + \ mathbf {E} ^ {i} \ delvis _ {i} \\ & = \ mathbf { E} ^ {\ alpha} \ partial _ {\ alpha} \\ & = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, \, \ nabla \ høyre) \\ & = \ venstre ({\ frac {\ partial _ {t}} {c}}, \ nabla \ høyre) \\ & = \ mathbf {E} ^ {0} {\ frac {1} { c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + \ nabla \\\ slutten {justert}}}$

Siden dette er en operatør, har den ikke en "lengde", men å evaluere det indre produktet av operatøren med seg selv gir en annen operatør:

${\ displaystyle \ partial ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2 }}} - \ nabla ^ {2} = {\ frac {{\ partial _ {t}} ^ {2}} {c ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}}$

ringte D'Alembert-operatøren .

Kinematikk

Fire hastigheter

Den fire-hastigheten av en partikkel er definert ved:

${\ displaystyle \ mathbf {U} = {\ frac {d \ mathbf {X}} {d \ tau}} = {\ frac {d \ mathbf {X}} {dt}} {\ frac {dt} {d \ tau}} = \ gamma (\ mathbf {u}) \ left (c, \ mathbf {u} \ right),}$

Geometrisk er U en normalisert vektor som tangerer partikkelens verdenslinje . Ved å bruke differensialet i fireposisjonen, kan størrelsen på firhastigheten oppnås:

${\ displaystyle \ | \ mathbf {U} \ | ^ {2} = U ^ {\ mu} U _ {\ mu} = {\ frac {dX ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac { dX _ {\ mu}} {d \ tau}} = {\ frac {dX ^ {\ mu} dX _ {\ mu}} {d \ tau ^ {2}}} = c ^ {2} \ ,,}$

kort sagt, størrelsen på firhastigheten for ethvert objekt er alltid en fast konstant:

${\ displaystyle \ | \ mathbf {U} \ | ^ {2} = c ^ {2}}$

Normen er også:

${\ displaystyle \ | \ mathbf {U} \ | ^ {2} = {\ gamma (\ mathbf {u})} ^ {2} \ left (c ^ {2} - \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u} \ høyre) \ ,,}$

så det:

${\ displaystyle c ^ {2} = {\ gamma (\ mathbf {u})} ^ {2} \ left (c ^ {2} - \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u} \ right) \, ,}$

som reduserer til definisjonen av Lorentz-faktoren .

Enheter med fire hastigheter er m / s i SI og 1 i det geometriserte enhetssystemet . Firehastighet er en kontravariant vektor.

Fire-akselerasjon

Den fire-akselerasjonen er gitt ved:

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ frac {d \ mathbf {U}} {d \ tau}} = \ gamma (\ mathbf {u}) \ left ({\ frac {d {\ gamma} (\ mathbf {u})} {dt}} c, {\ frac {d {\ gamma} (\ mathbf {u})} {dt}} \ mathbf {u} + \ gamma (\ mathbf {u}) \ mathbf {a} \ høyre).}$

hvor a = d u / dt er koordinaten 3-akselerasjon. Siden størrelsen på U er konstant, er akselerasjonen fire ortogonal i forhold til de fire hastighetene, dvs. Minkowski indre produkt av fire akselerasjonen og fire hastigheten er null:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {U} = A ^ {\ mu} U _ {\ mu} = {\ frac {dU ^ {\ mu}} {d \ tau}} U _ {\ mu} = {\ frac {1} {2}} \, {\ frac {d} {d \ tau}} \ venstre (U ^ {\ mu} U _ {\ mu} \ høyre) = 0 \,}$

som er sant for alle verdenslinjer. Den geometriske betydningen av fireakselerasjon er krumningsvektoren til verdenslinjen i Minkowski-rommet.

Dynamikk

Fire momentum

For en massiv partikkel av hvilemasse (eller invariant masse ) m ₀ , er fire momentum gitt av:

${\ displaystyle \ mathbf {P} = m_ {0} \ mathbf {U} = m_ {0} \ gamma (\ mathbf {u}) (c, \ mathbf {u}) = \ left ({\ frac {E } {c}}, \ mathbf {p} \ høyre)}$

der den totale energien til den bevegelige partikkelen er:

${\ displaystyle E = \ gamma (\ mathbf {u}) m_ {0} c ^ {2}}$

og det totale relativistiske momentum er:

${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ gamma (\ mathbf {u}) m_ {0} \ mathbf {u}}$

Tar det indre produktet av firemomentet med seg selv:

${\ displaystyle \ | \ mathbf {P} \ | ^ {2} = P ^ {\ mu} P _ {\ mu} = m_ {0} ^ {2} U ^ {\ mu} U _ {\ mu} = m_ {0} ^ {2} c ^ {2}}$

og også:

${\ displaystyle \ | \ mathbf {P} \ | ^ {2} = {\ frac {E ^ {2}} {c ^ {2}}} - \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p}}$

som fører til energimomentforholdet :

${\ displaystyle E ^ {2} = c ^ {2} \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p} + \ left (m_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2} \ ,.}$

Denne siste relasjonen er nyttig relativistisk mekanikk , essensiell i relativistisk kvantemekanikk og relativistisk kvantefeltsteori , alt sammen med anvendelser på partikkelfysikk .

Firestyrke

Den fire-kraft som virker på en partikkel er definert analogt til 3-kraft som den tidsderiverte av 3-fart i Newtons andre lov :

${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {d \ mathbf {P}} {d \ tau}} = \ gamma (\ mathbf {u}) \ left ({\ frac {1} {c}} { \ frac {dE} {dt}}, {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ right) = \ gamma (\ mathbf {u}) \ left ({\ frac {P} {c} }, \ mathbf {f} \ right)}$

hvor P er kraften som overføres for å bevege partikkelen, og f er 3-kraften som virker på partikkelen. For en partikkel med konstant invariant masse m ₀ tilsvarer dette

${\ displaystyle \ mathbf {F} = m_ {0} \ mathbf {A} = m_ {0} \ gamma (\ mathbf {u}) \ left ({\ frac {d {\ gamma} (\ mathbf {u} )} {dt}} c, \ left ({\ frac {d {\ gamma} (\ mathbf {u})} {dt}} \ mathbf {u} + \ gamma (\ mathbf {u}) \ mathbf { a} \ høyre) \ høyre)}$

En invariant avledet fra firestyrken er:

${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {U} = F ^ {\ mu} U _ {\ mu} = m_ {0} A ^ {\ mu} U _ {\ mu} = 0}$

fra resultatet ovenfor.

Termodynamikk

Fire-varmestrøm

De fire-varmefluks vektorfeltet, er i det vesentlige lik den 3d varmefluksen vektorfeltet q , i den lokale rammen av fluidet:

${\ displaystyle \ mathbf {Q} = -k {\ boldsymbol {\ partial}} T = -k \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} , \ nabla T \ høyre)}$

hvor T er absolutt temperatur og k er varmeledningsevne .

Fire-baryon tallstrøm

Strømmen av baryoner er:

${\ displaystyle \ mathbf {S} = n \ mathbf {U}}$

hvor n er antall tettheten av baryoner i den lokale resten rammen av baryon fluid (positive verdier for baryoner, negativ for antibaryons ), og U den fire-hastighetsfelt (av væske) som ovenfor.

Fire entropi

Den fire- entropi -vektoren er definert ved:

${\ displaystyle \ mathbf {s} = s \ mathbf {S} + {\ frac {\ mathbf {Q}} {T}}}$

hvor s er entropien per baryon, og T den absolutte temperaturen , i fluidets lokale hvileramme.

Elektromagnetisme

Eksempler på firevektorer i elektromagnetisme inkluderer følgende.

Firestrøm

Den elektromagnetiske firestrømmen (eller mer korrekt en firestrømstetthet) er definert av

${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ left (\ rho c, \ mathbf {j} \ right)}$

dannet fra strømtettheten j og ladetettheten ρ .

Fire-potensial

Det elektromagnetiske firepotensialet (eller mer korrekt et fire-EM-vektorpotensial) definert av

${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, \ mathbf {a} \ right)}$

dannet fra vektorpotensialet a og det skalære potensialet ϕ .

Fire-potensialet er ikke unikt bestemt, fordi det avhenger av valg av måler .

I bølge ligningen for det elektromagnetiske feltet:

${\ displaystyle (\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial}) \ mathbf {A} = 0}$ {i vakuum}

${\ displaystyle (\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial}) \ mathbf {A} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}${med en firestrøms kilde og bruker tilstanden Lorenz gauge }${\ displaystyle (\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {A}) = 0}$

Bølger

Fire-frekvens

En fotonisk planbølge kan beskrives av firefrekvensen definert som

${\ displaystyle \ mathbf {N} = \ nu \ left (1, {\ hat {\ mathbf {n}}} \ right)}$

hvor ν er frekvensen til bølgen og er en enhetsvektor i bølgenes kjøreretning. Nå: ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$

${\ displaystyle \ | \ mathbf {N} \ | = N ^ {\ mu} N _ {\ mu} = \ nu ^ {2} \ left (1 - {\ hat {\ mathbf {n}}} \ cdot { \ hat {\ mathbf {n}}} \ høyre) = 0}$

så firefrekvensen til et foton er alltid en nullvektor.

Firebølgevektor

Mengdene som er gjensidig med tid t og rom r er henholdsvis vinkelfrekvensen ω og bølgevektoren k . De danner komponentene i firebølgevektoren eller bølge firevektoren:

${\ displaystyle \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {\ mathbf {k}}} \ right) = \ left ({\ frac {\ omega} { c}}, {\ frac {\ omega} {v_ {p}}} \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ ,.}$

En bølgepakke med nesten monokromatisk lys kan beskrives av:

${\ displaystyle \ mathbf {K} = {\ frac {2 \ pi} {c}} \ mathbf {N} = {\ frac {2 \ pi} {c}} \ nu \ left (1, {\ hat { \ mathbf {n}}} \ right) = {\ frac {\ omega} {c}} \ left (1, {\ hat {\ mathbf {n}}} \ right) \ ,.}$

Forholdene mellom de Broglie viste da at firebølgevektor gjaldt både materiebølger og lysbølger. :

${\ displaystyle \ mathbf {P} = \ hbar \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {p}} \ right) = \ hbar \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right) \ ,.}$

gir og , hvor ħ er Planck-konstanten delt på 2 π . ${\ displaystyle E = \ hbar \ omega}$${\ displaystyle {\ vec {p}} = \ hbar {\ vec {k}}}$

Kvadratet til normen er:

${\ displaystyle \ | \ mathbf {K} \ | ^ {2} = K ^ {\ mu} K _ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} - \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {k} \ ,,}$

og av de Broglie-forholdet:

${\ displaystyle \ | \ mathbf {K} \ | ^ {2} = {\ frac {1} {\ hbar ^ {2}}} \ | \ mathbf {P} \ | ^ {2} = \ left ({ \ frac {m_ {0} c} {\ hbar}} \ høyre) ^ {2} \ ,,}$

vi har materiebølgen analog av energimomentforholdet:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} - \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {k} = \ left ({\ frac {m_ {0} c } {\ hbar}} \ right) ^ {2} \ ,.}$

Merk at for masseløse partikler, i hvilket tilfelle m ₀ = 0 , har vi:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} = \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {k} \ ,,}$

eller ‖ k ‖ = ω / c . Merk at dette er i samsvar med ovennevnte tilfelle; for fotoner med en 3-bølgevektor med modul ω / c , i retning av bølgeutbredelse definert av enhetsvektoren . ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$

Kvanteteori

Fire-sannsynlig strøm

I kvantemekanikk , det fire sannsynligheten strømmen er eller sannsynlighet fire-strøm som er analog med den elektromagnetiske fire-strøm :

${\ displaystyle \ mathbf {J} = (\ rho c, \ mathbf {j})}$

hvor ρ er sannsynlighetstetthetsfunksjonen som tilsvarer tidskomponenten, og j er sannsynlighetsstrømvektoren . I ikke-relativistisk kvantemekanikk er denne strømmen alltid godt definert fordi uttrykkene for tetthet og strøm er positive bestemte og kan innrømme en sannsynlighetstolkning. I relativistisk kvantemekanikk og kvantefeltsteori er det ikke alltid mulig å finne en strøm, spesielt når interaksjoner er involvert.

Utskifting av energi fra energi operatøren og fremdriften av momentum operatøren i den fire-momentum, oppnår man den fire-momentum operatør , benyttes i relativistiske bølgelikninger .

Fire-spinn

Den fire-spin av en partikkel er definert i hviletilstanden av en partikkel for å bli

${\ displaystyle \ mathbf {S} = (0, \ mathbf {s})}$

hvor s er spin- pseudovektoren. I kvantemekanikken er ikke alle tre komponentene i denne vektoren samtidig målbare, bare en komponent er det. Den tidaktige komponenten er null i partikkelens hvileramme, men ikke i noen annen ramme. Denne komponenten kan bli funnet fra en passende Lorentz-transformasjon.

Normen i kvadrat er (negativ av) størrelsen kvadratet av spinnet, og ifølge kvantemekanikken har vi

${\ displaystyle \ | \ mathbf {S} \ | ^ {2} = - | \ mathbf {s} | ^ {2} = - \ hbar ^ {2} s (s + 1)}$

Denne verdien er observerbar og kvantisert, med s den spin kvante nummer (ikke omfanget av spinn vektor).

Andre formuleringer

Fire vektorer i algebraen til det fysiske rommet

En firvektor A kan også defineres ved å bruke Pauli-matriser som grunnlag , igjen i forskjellige ekvivalente betegnelser:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} & = \ left (A ^ {0}, \, A ^ {1}, \, A ^ {2}, \, A ^ {3} \ right ) \\ & = A ^ {0} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0} + A ^ {1} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {1} + A ^ {2} {\ boldsymbol { \ sigma}} _ {2} + A ^ {3} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {3} \\ & = A ^ {0} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0} + A ^ {i} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {i} \\ & = A ^ {\ alpha} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {\ alpha} \\\ end {aligned}}}$

eller eksplisitt:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} & = A ^ {0} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} + A ^ {1} {\ begin {pmatrix} 0 og 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} + A ^ {2} {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}} + A ^ {3} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \ end {pmatrix}} \\ & = {\ begin {pmatrix} A ^ {0} + A ^ {3} & A ^ {1} -iA ^ {2} \\ A ^ {1} + iA ^ { 2} og A ^ {0} -A ^ {3} \ end {pmatrix}} \ end {justert}}}$

og i denne formuleringen er firvektoren representert som en hermitisk matrise ( matrikstransponerer og komplekst konjugat av matrisen etterlater den uendret), snarere enn en virkelig verdsatt kolonne eller radvektor. Den determinant av matrisen er modul av den fire-vektor, så determinanten er en invariant:

${\ displaystyle {\ begin {align} | \ mathbf {A} | & = {\ begin {vmatrix} A ^ {0} + A ^ {3} & A ^ {1} -iA ^ {2} \\ A ^ {1} + iA ^ {2} & A ^ {0} -A ^ {3} \ end {vmatrix}} \\ & = \ left (A ^ {0} + A ^ {3} \ right) \ left ( A ^ {0} -A ^ {3} \ høyre) - \ venstre (A ^ {1} -iA ^ {2} \ høyre) \ venstre (A ^ {1} + iA ^ {2} \ høyre) \ \ & = \ venstre (A ^ {0} \ høyre) ^ {2} - \ venstre (A ^ {1} \ høyre) ^ {2} - \ venstre (A ^ {2} \ høyre) ^ {2} - \ venstre (A ^ {3} \ høyre) ^ {2} \ slutt {justert}}}$

Denne ideen om å bruke Pauli-matriser som basisvektorer er brukt i algebraen til det fysiske rommet , et eksempel på en Clifford-algebra .

Fire vektorer i romtid algebra

I romtid algebra , et annet eksempel på Clifford algebra, kan gammamatrisene også danne et grunnlag . (De kalles også Dirac-matriser på grunn av deres utseende i Dirac-ligningen ). Det er mer enn en måte å uttrykke gammamatriser, beskrevet i hovedartikkelen.

Den Feynman skråstrek notasjon er en forkortelse for en fire-vektor A kontrakt med gamma-matriser:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \! \! \! \! / = A _ {\ alpha} \ gamma ^ {\ alpha} = A_ {0} \ gamma ^ {0} + A_ {1} \ gamma ^ { 1} + A_ {2} \ gamma ^ {2} + A_ {3} \ gamma ^ {3}}$

Firemomentet som er kontrahert med gammamatrisene, er et viktig tilfelle i relativistisk kvantemekanikk og relativistisk kvantefeltsteori . I Dirac-ligningen og andre relativistiske bølgelikninger , uttrykk for formen:

${\ displaystyle \ mathbf {P} \! \! \! \! / = P _ {\ alpha} \ gamma ^ {\ alpha} = P_ {0} \ gamma ^ {0} + P_ {1} \ gamma ^ { 1} + P_ {2} \ gamma ^ {2} + P_ {3} \ gamma ^ {3} = {\ dfrac {E} {c}} \ gamma ^ {0} -p_ {x} \ gamma ^ { 1} -p_ {y} \ gamma ^ {2} -p_ {z} \ gamma ^ {3}}$

vises, der energikomponentene E og momentum ( p _x , p _y , p _z ) blir erstattet av deres respektive operatorer .

Se også

• Relativistisk mekanikk
• paravektor
• bølgevektor
• Støv (relativitet) for tallfluks firevektoren
• Grunnleggende introduksjon til matematikken i buet romtid
• Minkowski plass

Referanser

• Rindler, W. Introduksjon til spesiell relativitet (2. utg.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN  0-19-853952-5