Kompakt gruppe - Compact group

I matematikk er en kompakt ( topologisk ) gruppe en topologisk gruppe hvis topologi er kompakt (når et element i gruppen opereres, er resultatet også innenfor gruppen). Kompakte grupper er en naturlig generalisering av begrensede grupper med den diskrete topologien og har egenskaper som overfører på betydelig måte. Kompakte grupper har en godt forstått teori, i forhold til gruppeaksjoner og representasjonsteori .

I det følgende vil vi anta at alle grupper er Hausdorff -mellomrom .

Compact Lie -grupper

Løgnegrupper danner en klasse med topologiske grupper, og de kompakte Lie-gruppene har en spesielt godt utviklet teori. Grunnleggende eksempler på kompakte Lie -grupper inkluderer

• den sirkel gruppen T og de Torus gruppene T ⁿ ,
• de ortogonale gruppene O ( n ), den spesielle ortogonale gruppen SO ( n ) og dens dekkende spinngruppe Spin ( n ),
• den enhetlige gruppe U ( n ) og den spesielle enhetlig gruppe SU ( n ),
• den symplektiske gruppen Sp ( n ),
• de kompakte formene til de eksepsjonelle Lie -gruppene : G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ og E ₈ ,

Den klassifisering teorem av kompakte Lie grupper sier at opp til endelig utvidelser og endelige dekker dette, eksos listen over eksempler (som allerede inneholder noen oppsigelser). Denne klassifiseringen er beskrevet mer detaljert i neste avsnitt.

Klassifisering

Gitt en hvilken som helst kompakt Lie -gruppe G, kan man ta sin identitetskomponent G ₀ , som er koblet til . Den kvotient gruppe G / G ₀ er den gruppe av komponenter rc ₀ ( G ) som må være begrenset ettersom G er kompakt. Vi har derfor en endelig utvidelse

${\ displaystyle 1 \ to G_ {0} \ to G \ to \ pi _ {0} (G) \ to 1.}$

I mellomtiden, for tilkoblede kompakte Lie -grupper, har vi følgende resultat:

Teorem : Hver tilkoblet kompakt Lie -gruppe er kvoten av en endelig sentral undergruppe av et produkt av en enkelt tilkoblet kompakt Lie -gruppe og en torus.

Dermed kan klassifiseringen av tilkoblede kompakte Lie -grupper i prinsippet reduseres til kunnskap om de enkelt tilkoblede kompakte Lie -gruppene sammen med informasjon om deres sentre. (For informasjon om senteret, se avsnittet nedenfor om grunnleggende gruppe og senter.)

Til slutt er hver kompakt, tilkoblet, enkelt tilkoblet Lie-gruppe K et produkt av kompakte, tilkoblede, enkelt-tilkoblede enkle Lie-grupper K _{i som} hver er isomorf til nøyaktig ett av følgende:

• Den kompakte symplektiske gruppen ${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (n), \, n \ geq 1}$
• Den spesielle enhetsgruppen ${\ displaystyle \ operatorname {SU} (n), \, n \ geq 3}$
• Den spin-gruppen ${\ displaystyle \ operatorname {Spin} (n), \, n \ geq 7}$

eller en av de fem eksepsjonelle gruppene G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ og E ₈ . Begrensningene på n er å unngå spesielle isomorfismer blant de forskjellige familiene for små verdier av n . For hver av disse gruppene er senteret eksplisitt kjent. Klassifiseringen er gjennom det tilhørende rotsystemet (for en fast maksimal torus), som igjen er klassifisert etter sine Dynkin -diagrammer .

Klassifiseringen av kompakte, enkelt tilkoblede Lie -grupper er den samme som klassifiseringen av komplekse semisimple Lie -algebraer . Faktisk, hvis K er en ganske enkelt tilkoblet kompakt Lie -gruppe, så er kompleksiseringen av Lie -algebraen til K semi -enkel. Motsatt har hver kompleks semisimple Lie -algebra en kompakt ekte form isomorf til Lie -algebraen til en kompakt, ganske enkelt forbundet Lie -gruppe.

Maksimal tori- og rotsystem

En nøkkelidé i studiet av en tilkoblet kompakt Lie -gruppe K er konseptet med en maksimal torus , det vil si en undergruppe T av K som er isomorf til et produkt av flere kopier av og som ikke finnes i noen større undergrupper av denne typen . Et grunnleggende eksempel er saken , i så fall kan vi tenke oss å være gruppen av diagonale elementer i . Et grunnleggende resultat er torus -setningen som sier at hvert element av tilhører en maksimal torus og at alle maksimale tori er konjugerte. ${\ displaystyle S^{1}}$${\ displaystyle K = \ operatorname {SU} (n)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$

Den maksimale torus i en kompakt gruppe spiller en rolle som er analog med Cartan -subalgebra i en kompleks semisimple Lie -algebra. Spesielt når en maksimal torus er valgt, kan man definere et rotsystem og en Weyl -gruppe som ligner på det man har for semi -enkle Lie -algebraer . Disse strukturene spiller deretter en vesentlig rolle både i klassifiseringen av tilkoblede kompakte grupper (beskrevet ovenfor) og i representasjonsteorien til en fast slik gruppe (beskrevet nedenfor). ${\ displaystyle T \ delsett K}$

Rotsystemene knyttet til de enkle kompakte gruppene som vises i klassifiseringen av enkelt tilkoblede kompakte grupper er som følger:

• De spesielle enhetsgruppene tilsvarer rotsystemet${\ displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$${\ displaystyle A_ {n-1}}$
• De ulike spin -gruppene tilsvarer rotsystemet${\ displaystyle \ operatorname {Spin} (2n+1)}$${\ displaystyle B_ {n}}$
• De kompakte symplektiske gruppene tilsvarer rotsystemet${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (n)}$${\ displaystyle C_ {n}}$
• De jevne spinngruppene tilsvarer rotsystemet${\ displaystyle \ operatorname {Spin} (2n)}$${\ displaystyle D_ {n}}$
• De eksepsjonelle kompakte Lie -gruppene tilsvarer de fem eksepsjonelle rotsystemene G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ eller E ₈

Grunnleggende gruppe og senter

Det er viktig å vite om en tilkoblet kompakt Lie -gruppe bare er koblet til, og hvis ikke, for å bestemme dens grunnleggende gruppe . For kompakte Lie -grupper er det to grunnleggende tilnærminger for å beregne den grunnleggende gruppen. Den første metode gjelder for de klassiske kompakte gruppene , , , og og forløper ved induksjon på . Den andre tilnærmingen bruker rotsystemet og gjelder for alle tilkoblede kompakte Lie -grupper. ${\ displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$${\ displaystyle \ operatorname {U} (n)}$${\ displaystyle \ operatorname {SO} (n)}$${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (n)}$${\ displaystyle n}$

Det er også viktig å kjenne sentrum av en tilkoblet kompakt Lie -gruppe. Senteret for en klassisk gruppe kan lett beregnes "for hånd", og består i de fleste tilfeller rett og slett av hvilke røtter identiteten har . (Gruppen SO (2) er et unntak - sentrum er hele gruppen, selv om de fleste elementene ikke er røtter av identiteten.) Således består for eksempel senteret av n røtter av enhet ganger identiteten, en syklisk rekkefølge . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$${\ displaystyle n}$

Generelt kan senteret uttrykkes i form av rotgitteret og kjernen til det eksponentielle kartet for maksimal torus. Den generelle metoden viser for eksempel at den enkelt tilkoblede kompakte gruppen som tilsvarer det eksepsjonelle rotsystemet har et trivielt senter. Dermed er den kompakte gruppen en av svært få enkle kompakte grupper som samtidig enkelt er koblet til og er senterfrie. (De andre er og .) ${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle F_ {4}}$${\ displaystyle E_ {8}}$

Ytterligere eksempler

Blant grupper som ikke er Lie-grupper, og som ikke bærer strukturen til et mangfold , er eksempler den additive gruppen Z _p av p-adiske heltall og konstruksjoner fra den. Faktisk er enhver profinitt gruppe en kompakt gruppe. Dette betyr at Galois -grupper er kompakte grupper, et grunnleggende faktum for teorien om algebraiske utvidelser i tilfelle uendelig grad.

Pontryagin -dualitet gir et stort utvalg eksempler på kompakte kommutative grupper. Disse er i dualitet med abelske diskrete grupper .

Haar -mål

Kompakte grupper har alle et Haar -mål , som vil være invariant ved både venstre og høyre oversettelse ( modulfunksjonen må være en kontinuerlig homomorfisme til positive reals ( R ⁺ , ×), og så 1). Med andre ord er disse gruppene unimodulære . Haarmål normaliseres lett til å være et sannsynlighetsmål , analogt med dθ/2π på sirkelen.

Et slikt Haar -mål er i mange tilfeller lett å beregne; for eksempel for ortogonale grupper var det kjent for Adolf Hurwitz , og i Lie -gruppen kan tilfeller alltid gis av en variabel differensial form . I det uendelige tilfellet er det mange undergrupper med begrenset indeks , og Haar -mål for en coset vil være indeksens gjensidige. Derfor kan integraler ofte beregnes ganske direkte, et faktum som stadig brukes i tallteori .

If er en kompakt gruppe og er det tilhørende Haar-målet, gir Peter – Weyl-setningen en dekomponering av som en ortogonal direkte sum av endelige dimensjonale underrom av matriseoppføringer for de ureduserbare representasjonene av . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle L^{2} (K, dm)}$${\ displaystyle K}$

Representasjonsteori

Representasjonsteorien for kompakte grupper (ikke nødvendigvis Lie -grupper og ikke nødvendigvis forbundet) ble grunnlagt av Peter – Weyl -teoremet . Hermann Weyl ga videre den detaljerte karakterteorien til de kompakte tilkoblede Lie -gruppene, basert på maksimal torus -teori. Den resulterende Weyl -karakterformelen var et av de innflytelsesrike resultatene av matematikk fra det tjuende århundre. Kombinasjonen av Peter – Weyl -setningen og Weyl -karakterformelen førte Weyl til en fullstendig klassifisering av representasjonene til en tilkoblet kompakt Lie -gruppe; denne teorien er beskrevet i neste avsnitt.

En kombinasjon av Weyl arbeid og Cartan teorem gir en oversikt over hele representasjon teorien av kompakte grupper G . Det vil si at ved Peter – Weyl teoremet er de ureduserbare enhetsrepresentasjonene ρ av G inn i en enhetlig gruppe (av endelig dimensjon), og bildet vil være en lukket undergruppe av enhetsgruppen ved kompakthet. Cartans teorem sier at Im (ρ) selv må være en Lie -undergruppe i enhetsgruppen. Hvis G ikke i seg selv er en Lie -gruppe, må det være en kjerne til ρ. Videre kan man danne et omvendt system , for kjernen av ρ mindre og mindre, av endelige dimensjonale enhetsrepresentasjoner, som identifiserer G som en invers grense for kompakte Lie-grupper. Her er det faktum at i grensen en trofast representasjon av G finnes en annen konsekvens av Peter – Weyl -setningen.

Den ukjente delen av representasjonsteorien til kompakte grupper blir derved grovt sett kastet tilbake på de komplekse representasjonene av begrensede grupper . Denne teorien er ganske detaljrik, men er kvalitativt godt forstått.

Representasjonsteori for en tilkoblet kompakt Lie -gruppe

Noen enkle eksempler på representasjonsteorien for kompakte Lie -grupper kan utarbeides for hånd, for eksempel representasjonene til rotasjonsgruppen SO (3) , den spesielle enhetsgruppen SU ​​(2) og den spesielle enhetsgruppen SU ​​(3) . Vi fokuserer her på den generelle teorien. Se også den parallelle teorien om representasjoner av en semisimple Lie -algebra .

Gjennom denne delen, fikse vi en tilkoblet kompakt Lie gruppe K og en maksimal torus T i K .

Representasjonsteori for T

Siden T er kommutativ, forteller Schurs lemma oss at hver irreduserbar representasjon av T er endimensjonal: ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ rho: T \ rightarrow GL (1; \ mathbb {C}) = \ mathbb {C} ^{*}.}$

Siden også T er kompakt, faktisk må kartlegge seg inn . ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle S^{1} \ delsett \ mathbb {C}}$

For å beskrive disse representasjonene konkret, lar vi være Lie -algebraen til T, og vi skriver poeng som ${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$${\ displaystyle h \ in T}$

${\ displaystyle h = e^{H}, \ quad H \ in {\ mathfrak {t}}.}$

I slike koordinater, vil ha skjemaet ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ rho (e^{H}) = e^{i \ lambda (H)}}$

for noen lineær funksjonell på . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$

Siden det eksponentielle kartet ikke er injektivt, gir ikke alle slike lineære funksjoner et veldefinert kart over T inn . La oss heller betegne kjernen til det eksponentielle kartet: ${\ displaystyle H \ mapsto e^{H}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle S^{1}}$${\ displaystyle \ Gamma}$

${\ displaystyle \ Gamma = \ left \ {H \ in {\ mathfrak {t}} \ mid e^{2 \ pi H} = \ operatorname {Id} \ right \},}$

der er identiteten element av T . (Vi skalerer eksponentialkartet her med en faktor på for å unngå slike forhold andre steder.) Deretter for å gi en veldefinert kartet , må tilfredsstille ${\ displaystyle \ operatorname {Id}}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ lambda (H) \ in \ mathbb {Z}, \ quad H \ in \ Gamma,}$

hvor er settet med heltall. En lineær funksjonell som tilfredsstiller denne tilstanden kalles et analytisk integrert element . Denne integritetsbetingelsen er relatert til, men ikke identisk med, begrepet integralt element i settingen av semisimple Lie -algebraer. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ lambda}$

Anta at for eksempel T bare er gruppen av komplekse tall med absolutt verdi 1. Lie -algebraen er settet med rent imaginære tall, og kjernen til det (skalerte) eksponentielle kartet er settet med tall i skjemaet hvor er et heltall. En lineær funksjonell tar heltallverdier på alle slike tall hvis og bare hvis det er av formen for et helt tall . De irreduserbare representasjonene av T i dette tilfellet er endimensjonale og av formen ${\ displaystyle S^{1}}$${\ displaystyle e^{i \ theta}}$${\ displaystyle H = i \ theta, \, \ theta \ in \ mathbb {R},}$${\ displaystyle in}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda (i \ theta) = k \ theta}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle \ rho (e^{i \ theta}) = e^{ik \ theta}, \ quad k \ in \ mathbb {Z}.}$

Representasjonsteori for K

Vi lar nå betegne en endelig-dimensjonal, ureduserbar representasjon av K (over ). Vi deretter vurdere begrensning av til T . Denne begrensningen er ikke ureduserbar med mindre den er endimensjonal. Ikke desto mindre, dekomponerer den begrensning som en direkte sum av ikke-reduserbare representasjoner av T . (Legg merke til at en gitt irreduserbar representasjon av T kan forekomme mer enn én gang.) Nå beskrives hver irreduserbar representasjon av T med en lineær funksjon som i foregående underavsnitt. Hvis en gitt oppstår minst en gang i nedbrytningen av begrensningen til T , kaller vi en vekt på . Strategien for representasjonsteorien til K er å klassifisere de ureduserbare representasjonene når det gjelder vekten. ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Sigma}$

Vi beskriver nå kort strukturene som trengs for å formulere teoremet; flere detaljer finnes i artikkelen om vekter i representasjonsteori . Vi trenger forestillingen om et rotsystem for K (i forhold til en gitt maksimal torus T ). Konstruksjonen til dette rotsystemet er veldig lik konstruksjonen for komplekse semisimple Lie -algebraer . Nærmere bestemt vektene er de ikke-nullvekter for adjungerte virkningen av T på complexified Lie algebra av K . Rotsystemet R har alle de vanlige egenskapene til et rotsystem , bortsett fra at elementene i R ikke strekker seg . Vi velger deretter en base for R, og vi sier at et integrert element er dominerende hvis for alle . Til slutt sier vi at en vekt er høyere enn en annen hvis forskjellen kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av elementer av med ikke-negative koeffisienter. ${\ displaystyle R \ delsett {\ mathfrak {t}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda (\ alpha) \ geq 0}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta}$

De ureduserbare endelige dimensjonale representasjonene av K blir deretter klassifisert etter et teorem med høyeste vekt , som er nært beslektet med det analoge teoremet som klassifiserer representasjoner av et semisimple Lie-algebra . Resultatet sier at:

1. hver irreduserbar representasjon har høyeste vekt,
2. den høyeste vekten er alltid et dominerende, analytisk integrert element,
3. to ureduserbare representasjoner med samme høyeste vekt er isomorfe, og
4. hvert dominerende, analytisk integrerte element oppstår som den høyeste vekten av en ureduserbar representasjon.

Teoremet med den høyeste vekten for representasjoner av K er da nesten det samme som for semisimple Lie -algebraer, med et bemerkelsesverdig unntak: Konseptet med et integrert element er annerledes. Vektene til en representasjon er analytisk integrerte i den forstand som er beskrevet i forrige underavdeling. Hvert analytisk integrert element er integrert i Lie algebra -forstand, men ikke omvendt. (Dette fenomenet gjenspeiler at generelt sett ikke alle representasjoner av Lie -algebraen kommer fra en representasjon av gruppen K. ) På den annen side, hvis K ganske enkelt er koblet sammen, er settet med mulige høyeste vekter i gruppens forstand det samme som settet med mulige høyeste vekter i Lie algebra -forstand. ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}$

Weyl -karakterformelen

Hvis er representasjon av K , definerer vi karakteren til å være funksjonen gitt av ${\ displaystyle \ Pi: K \ to \ operatorname {GL} (V)}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ mathrm {X}: K \ to \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ mathrm {X} (x) = \ operatorname {trace} (\ Pi (x)), \ quad x \ i K}$.

Denne funksjonen er lett å se for å være en klasse funksjon, dvs. for alle og i K . Således, er avhengig av dens begrensning til T . ${\ displaystyle \ mathrm {X} (xyx^{-1}) = \ mathrm {X} (y)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ mathrm {X}}$

Studiet av tegn er en viktig del av representasjonsteorien til kompakte grupper. En viktig resultat, noe som er en konsekvens av den Peter-Weyl teorem , er at tegnene danner en ortonormal basis for settet av kvadratisk integrerbare klasse funksjoner i K . Et annet nøkkelresultat er Weyl -tegnformelen , som gir en eksplisitt formel for tegnet - eller rettere sagt begrensningen av tegnet til T - når det gjelder den høyeste vekten av representasjonen.

I den nært beslektede representasjonsteorien for semisimple Lie -algebraer er Weyl -tegnformelen et tilleggsresultat som er etablert etter at representasjonene er klassifisert. I Weyls analyse av den kompakte gruppesaken er imidlertid Weyl -tegnformelen faktisk en avgjørende del av selve klassifiseringen. Spesielt i Weyls analyse av representasjonene av K , er den vanskeligste delen av teoremet - som viser at hvert dominerende, analytisk integrert element faktisk er den høyeste vekten av en representasjon - på en helt annen måte enn den vanlige Lie -algebra -konstruksjonen ved hjelp av Verma moduler . I Weyls tilnærming er konstruksjonen basert på Peter – Weyl -teoremet og et analytisk bevis på Weyl -karakterformelen . Til slutt, de ikke-reduserbare representasjoner av K er realisert inne i rommet av kontinuerlige funksjoner på K .

SU (2) saken

Vi vurderer nå saken om den kompakte gruppen SU ​​(2). Representasjonene blir ofte vurdert fra Lie -algebra -synspunktet , men vi ser på dem fra gruppens synspunkt. Vi tar den maksimale torus for å være settet med matriser i skjemaet

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} e^{i \ theta} & 0 \\ 0 & e^{-i \ theta} \ end {pmatrix}}.}$

I henhold til eksemplet diskutert ovenfor i avsnittet om representasjoner av T , er de analytisk integrerte elementene merket med heltall, slik at de dominerende, analytisk integrerte elementene er ikke-negative heltall . Den generelle teorien forteller oss deretter at for hver er det en unik, ureduserbar representasjon av SU (2) med høyeste vekt . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$

Mye informasjon om representasjonen som tilsvarer en gitt, er kodet i dens karakter. Nå sier Weyl -tegnformelen, i dette tilfellet , at tegnet er gitt av ${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e^{i \ theta} & 0 \\ 0 & e^{-i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) = {\ frac {\ sin ((m+1) \ theta)} {\ sin (\ theta)}}.}$

Vi kan også skrive tegnet som summen av eksponensialer som følger:

${\ displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e^{i \ theta} & 0 \\ 0 & e^{-i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) = e^{im \ theta}+e^{i (m-2) \ theta}+\ cdots e^{-i (m-2) \ theta}+e^{-im \ theta}.}$

(Hvis vi bruker formelen for summen av en endelig geometrisk serie på uttrykket ovenfor og forenkler, får vi det tidligere uttrykket.)

Fra dette siste uttrykket og standardformelen for karakteren når det gjelder vektene på representasjonen , kan vi lese av at vektene til representasjonen er

${\ displaystyle m, m-2, \ ldots,-(m-2),-m,}$

hver med mangfold. (Vektene er hele tall som fremgår av det eksponenter av exponentials og multiplisitetene er koeffisientene til eksponenter.) Siden det er vekter, hver med en multiplisitet, er dimensjonen av representasjonen . Dermed gjenoppretter vi mye av informasjonen om representasjonene som vanligvis er hentet fra Lie -algebraberegningen. ${\ displaystyle m+1}$${\ displaystyle m+1}$

En oversikt over beviset

Vi skisserer nå beviset på teoremet med den høyeste vekten, etter det opprinnelige argumentet til Hermann Weyl . Vi fortsetter å la være en tilkoblet kompakt Lie -gruppe og en fast maksimal torus . Vi fokuserer på den vanskeligste delen av teoremet, og viser at hvert dominerende, analytisk integrert element er den høyeste vekten av noen (endelig-dimensjonale) ureduserbar representasjon. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K}$

Verktøyene for beviset er følgende:

• Den torus teoremet .
• Den integrerte formelen for Weyl .
• Den Peter-Weyl teoremet for klasse funksjoner , hvor det fremgår at tegnene på reduserbare representasjoner danner en ortonormal basis for et tidsrom av firkant integrerbare klasse funksjoner på .${\ displaystyle K}$

Med disse verktøyene i hånden fortsetter vi med beviset. Det første store trinnet i argumentet er å bevise Weyl -karakterformelen . Formelen sier at hvis er en ureduserbar fremstilling med høy vekt , da karakteren av tilfredsstiller: ${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ mathrm {X}}$${\ displaystyle \ Pi}$

${\ displaystyle \ mathrm {X} (e^{H}) = {\ frac {\ sum _ {w \ in W} \ det (w) e^{i \ langle w \ cdot (\ lambda +\ rho) , H \ rangle}} {\ sum _ {w \ in W} \ det (w) e^{i \ langle w \ cdot \ rho, H \ rangle}}}}}$

for alle i Lie -algebraen til . Her er halve summen av de positive røttene. (Notasjonen bruker konvensjonen om "virkelige vekter"; denne konvensjonen krever en eksplisitt faktor i eksponenten.) Weyls bevis på tegnformelen er analytisk og er avhengig av at normen for karakteren er 1. Spesielt, hvis det var noen ekstra termer i telleren, ville Weyl -integrasjonsformelen tvinge karakternormen til å være større enn 1. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle L^{2}}$

Deretter lar vi markere funksjonen på høyre side av tegnformelen. Vi viser at selv om det ikke er kjent å være den høyeste vekten av en representasjon , er en veldefinert, Weyl-invariant funksjon på , som derfor strekker seg til en klassefunksjon på . Ved å bruke Weyl -integrasjonsformelen, kan man vise at funksjonene danner en ortonormal familie av klassefunksjoner som områder over settet med dominerende, analytisk integrerte elementer . Vi understreker at vi foreløpig ikke vet at alle slike er den høyeste vekten av en representasjon; Likevel gir uttrykkene på høyre side av tegnformelen et veldefinert sett med funksjoner , og disse funksjonene er ortonormale. ${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$

Nå kommer konklusjonen. Settet av alle - som strekker seg over de dominerende, analytisk integrerte elementene - danner et ortonormalt sett i rommet med firkantede integrerbare klassefunksjoner. Men ved hjelp av Weyl -tegnformelen danner tegnene i de ureduserbare representasjonene en undersett av de . Og ved Peter – Weyl -teoremet danner karakterene i de ureduserbare representasjonene et ortonormalt grunnlag for plassen til kvadratiske, integrerbare klassefunksjoner. Hvis det var noen som ikke er den høyeste vekten av en representasjon, ville den tilsvarende ikke vært karakteren til en representasjon. Dermed ville karakterene være en skikkelig delsett av settet med . Men så har vi en umulig situasjon: et ortonormalt grunnlag (settet med tegn i de ureduserbare representasjonene) vil være inneholdt i et strengt større ortonormalt sett (settet med ). Dermed må alle faktisk være den høyeste vekten av en representasjon. ${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ lambda}$

Dualitet

Temaet om å gjenopprette en kompakt gruppe fra representasjonsteorien er gjenstand for Tannaka - Kerin -dualiteten , som nå ofte omarbeides når det gjelder Tannakian kategoriteori .

Fra kompakte til ikke-kompakte grupper

Innflytelsen fra den kompakte gruppeteorien på ikke-kompakte grupper ble formulert av Weyl i hans unitariske triks . Inne i en generell semisimple Lie-gruppe er det en maksimal kompakt undergruppe , og representasjonsteorien for slike grupper, utviklet i stor grad av Harish-Chandra , bruker intensivt begrensningen av en representasjon til en slik undergruppe, og også modellen til Weyls karakterteori.

Se også

• Peter – Weyl teorem
• Maksimal torus
• Rotsystem
• Lokalt kompakt gruppe
• p -kompakt gruppe
• Protorus
• Klassifisering av endelige dimensjonale representasjoner av Lie-algebraer
• Vekter i representasjonsteorien for semi -enkle Lie -algebraer

Referanser

Bibliografi

• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Representasjoner av Compact Lie Groups , Graduate Texts in Mathematics, 98 , Springer
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2. utg.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Hofmann, Karl H .; Morris, Sidney A. (1998), Strukturen til kompakte grupper , Berlin: de Gruyter, ISBN 3-11-015268-1