Kommutator - Commutator

I matematikk , den kommutatoren gir en indikasjon på i hvilken grad en viss binær operasjon ikke klarer å være kommutative . Det er forskjellige definisjoner som brukes i gruppeteori og ringteori .

Gruppeteori

Den kommutatoren av to elementer, g og h , av en gruppe G , er elementet

[ g , h ] = g ⁻¹ h ⁻¹ gh .

Dette elementet er lik gruppens identitet hvis og bare hvis g og h pendler (fra definisjonen gh = hg [ g , h ] , er [ g , h ] lik identiteten hvis og bare hvis gh = hg ).

Settet av alle kommutatorene i en gruppe er generelt ikke lukket under gruppen drift, men den undergruppen av G som genereres av alle kommutatorene er lukket og kalles avledet gruppe eller kommutatoren undergruppe av G . Kommutatorer brukes til å definere nilpotente og løselige grupper og den største abelske kvotientgruppen .

Definisjonen av kommutatoren ovenfor brukes i hele denne artikkelen, men mange andre gruppeteoretikere definerer kommutatoren som

[ g , h ] = ghg ⁻¹ h ⁻¹ .

Identiteter (gruppeteori)

Kommutatoridentiteter er et viktig verktøy i gruppeteorien . Uttrykket a ^x angir konjugatet av a med x , definert som x ^-1 aks .

1. ${\ displaystyle x^{y} = x [x, y].}$
2. ${\ displaystyle [y, x] = [x, y]^{-1}.}$
3. ${\ displaystyle [x, zy] = [x, y] \ cdot [x, z]^{y}}$ og ${\ displaystyle [xz, y] = [x, y]^{z} \ cdot [z, y].}$
4. ${\ displaystyle \ left [x, y^{-1} \ right] = [y, x]^{y^{-1}}}$ og ${\ displaystyle \ left [x^{-1}, y \ right] = [y, x]^{x^{-1}}.}$
5. ${\ displaystyle \ left [\ left [x, y^{-1} \ right], z \ right]^{y} \ cdot \ left [\ left [y, z^{-1} \ right], x \ høyre]^{z} \ cdot \ venstre [\ venstre [z, x^{-1} \ høyre], y \ høyre]^{x} = 1}$ og ${\ displaystyle \ left [\ left [x, y \ right], z^{x} \ right] \ cdot \ left [[z, x], y^{z} \ right] \ cdot \ left [[y , z], x^{y} \ høyre] = 1.}$

Identitet (5) er også kjent som Hall - Witt -identiteten , etter Philip Hall og Ernst Witt . Det er en gruppeteoretisk analog av Jacobi-identiteten for den ringteoretiske kommutatoren (se neste avsnitt).

NB, definisjonen ovenfor av konjugatet av a med x brukes av noen gruppeteoretikere. Mange andre gruppeteoretikere definerer konjugatet av a med x som xax ⁻¹ . Dette er ofte skrevet . Lignende identiteter gjelder for disse konvensjonene. ${\ displaystyle {}^{x} a}$

Det brukes mange identiteter som er sanne for visse undergrupper. Disse kan være spesielt nyttige i studiet av løsbare grupper og nilpotente grupper . For eksempel oppfører andre makter seg i enhver gruppe godt:

${\ displaystyle (xy)^{2} = x^{2} y^{2} [y, x] [[y, x], y].}$

Hvis den avledede undergruppen er sentral, da

${\ displaystyle (xy)^{n} = x^{n} y^{n} [y, x]^{\ binom {n} {2}}.}$

Ringteori

Den kommutatoren av to elementer en og b av en ring (herunder eventuelle assosiative algebra ) er definert av

${\ displaystyle [a, b] = ab-ba.}$

Det er null hvis og bare hvis a og b pendler. I lineær algebra , hvis to endomorfismer i et rom er representert ved pendling av matriser i form av ett grunnlag, så er de så representert når det gjelder hvert grunnlag. Ved å bruke kommutatoren som en Lie -brakett , kan hver assosiativ algebra gjøres om til en Lie -algebra .

Den anticommutator av to elementer en og b av en ring eller et assosiativt algebra er definert av

${\ displaystyle \ {a, b \} = ab+ba.}$

Noen ganger brukes det til å betegne antikommutator, mens det deretter brukes til kommutator. Antikommutatoren brukes sjeldnere, men kan brukes til å definere Clifford -algebraer og Jordan -algebraer , og i avledningen av Dirac -ligningen i partikkelfysikk. ${\ displaystyle [a, b] _ {+}}$${\ displaystyle [a, b] _ {-}}$

Kommutatoren til to operatører som virker på et Hilbert -rom er et sentralt konsept i kvantemekanikk , siden den kvantifiserer hvor godt de to observerbare objektene beskrevet av disse operatørene kan måles samtidig. Den usikkerhet prinsipp er til syvende og sist et teorem om slike kommutatorer, i kraft av den Robertson-Schrödinger forhold . I faserommet , ekvivalente kommutatorer av funksjons stjeme-produkter kalles Moyal brakettene , og er helt isomorf med de Hilbert plass kommutator strukturer som er nevnt.

Identiteter (ringteori)

Kommutatoren har følgende egenskaper:

Lie-algebra identiteter

1. ${\ displaystyle [A+B, C] = [A, C]+[B, C]}$
2. ${\ displaystyle [A, A] = 0}$
3. ${\ displaystyle [A, B] =-[B, A]}$
4. ${\ displaystyle [A, [B, C]]+[B, [C, A]]+[C, [A, B]] = 0}$

Forhold (3) kalles antikommutativitet , mens (4) er Jacobi -identiteten .

Ytterligere identiteter

1. ${\ displaystyle [A, BC] = [A, B] C+B [A, C]}$
2. ${\ displaystyle [A, BCD] = [A, B] CD+B [A, C] D+BC [A, D]}$
3. ${\ displaystyle [A, BCDE] = [A, B] CDE+B [A, C] DE+BC [A, D] E+BCD [A, E]}$
4. ${\ displaystyle [AB, C] = A [B, C]+[A, C] B}$
5. ${\ displaystyle [ABC, D] = AB [C, D]+A [B, D] C+[A, D] BC}$
6. ${\ displaystyle [ABCD, E] = ABC [D, E]+AB [C, E] D+A [B, E] CD+[A, E] BCD}$
7. ${\ displaystyle [A, B+C] = [A, B]+[A, C]}$
8. ${\ displaystyle [A+B, C+D] = [A, C]+[A, D]+[B, C]+[B, D]}$
9. ${\ displaystyle [AB, CD] = A [B, C] D+[A, C] BD+CA [B, D]+C [A, D] B}$
10. ${\ displaystyle [[A, C], [B, D]] = [[[A, B], C], D]+[[[B, C], D], A]+[[[C, D], A], B]+[[[D, A], B], C]}$

Hvis A er et fast element i en ring R , kan identitet (1) tolkes som en Leibniz -regel for kartet gitt av . Med andre ord, kartet ad _A definerer en avledning på ringen R . Identitetene (2), (3) representerer Leibniz -regler for mer enn to faktorer, og er gyldige for enhver avledning. Identiteter (4) - (6) kan også tolkes som Leibniz -regler. Identiteter (7), (8) uttrykker Z - bilinearitet . ${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {A}: R \ høyre pil R}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {A} (B) = [A, B]}$

Noen av de ovennevnte identitetene kan utvides til antikommutatoren ved å bruke ovennevnte ± abonnementsnotasjon. For eksempel:

1. ${\ displaystyle [AB, C] _ {\ pm} = A [B, C] _ {-}+[A, C] _ {\ pm} B}$
2. ${\ displaystyle [AB, CD] _ {\ pm} = A [B, C] _ {-} D+AC [B, D] _ {-}+[A, C] _ {-} DB+C [ A, D] _ {\ pm} B}$
3. ${\ displaystyle \ left [A, [B, C] _ {\ pm} \ right]+\ left [B, [C, A] _ {\ pm} \ right]+\ left [C, [A, B ] _ {\ pm} \ høyre] = 0}$
4. ${\ displaystyle [A, BC] _ {\ pm} = [A, B] _ {-} C+B [A, C] _ {\ pm}}$
5. ${\ displaystyle [A, BC] = [A, B] _ {\ pm} C \ mp B [A, C] _ {\ pm}}$

Eksponensielle identiteter

Tenk på en ring eller algebra der eksponensialet kan defineres meningsfullt, for eksempel en Banach -algebra eller en ring av formelle kraftserier . ${\ displaystyle e^{A} = \ exp (A) = 1+A+{\ tfrac {1} {2!}} A^{2}+\ cdots}$

I en slik ring gir Hadamards lemma som brukes på nestede kommutatorer: (For det siste uttrykket, se Adjoint -avledningen nedenfor.) Denne formelen ligger til grunn for Baker - Campbell - Hausdorff utvidelse av logg (exp ( A ) exp ( B )). ${\ textstyle e^{A} Be^{-A} \ = \ B+[A, B]+{\ frac {1} {2!}} [A, [A, B]]+{\ frac {1 } {3!}} [A, [A, [A, B]]]+\ cdots \ = \ e^{\ operatorname {ad} _ {A}} (B).}$

En lignende ekspansjon uttrykker gruppekommutatoren for uttrykk (analog med elementer fra en Lie -gruppe) i form av en serie nestede kommutatorer (Lie brackets), ${\ displaystyle e^{A}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & e^{A} e^{B} e^{-A} e^{-B} \\ = {} & \ exp \! \ venstre ([A, B]+ {\ frac {1} {2!}} [A {+} B, [A, B]]+{\ frac {1} {3!}} \ venstre ({\ frac {1} {2}} [ A, [B, [B, A]]]+[A {+} B, [A {+} B, [A, B]]] \ right)+\ cdots \ right). \ End {align}} }$

Rangerte ringer og alger

Når det gjelder graderte algebraer , erstattes kommutatoren vanligvis av den graderte kommutatoren , definert i homogene komponenter som

${\ displaystyle [\ omega, \ eta] _ {gr}: = \ omega \ eta -( -1)^{\ deg \ omega \ deg \ eta} \ eta \ omega.}$

Tilstøtende avledning

Spesielt hvis en omhandler flere kommutatorer i en ring R , viser en annen notasjon seg å være nyttig. For et element definerer vi den tilknyttede kartleggingen ved å: ${\ displaystyle x \ i R}$${\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x}: R \ til R}$

${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {x} (y) = [x, y] = xy-yx.}$

Denne kartleggingen er en avledning på ringen R :

${\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x} \! (yz) \ = \ \ mathrm {ad} _ {x} \! (y) \, z \,+\, y \, \ mathrm {ad} _ {x} \! (z).}$

Ved Jacobi -identiteten er det også en avledning av kommuteringsoperasjonen:

${\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x} [y, z] \ = \ [\ mathrm {ad} _ {x} \! (y), z] \,+\, [y, \ mathrm {ad } _ {x} \! (z)].}$

Ved å komponere slike kartlegginger får vi for eksempel og${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {x} \ operatorname {ad} _ {y} (z) = [x, [y, z] \,]}$

Vi kan betrakte seg selv som en kartlegging, hvor er ringen av tilordninger fra R til seg selv med sammensetning som multiplikasjonsoperasjonen. Deretter er en Lie -algebra -homomorfisme, som bevarer kommutatoren: ${\ displaystyle \ mathrm {ad}}$${\ displaystyle \ mathrm {ad}: R \ to \ mathrm {End} (R)}$${\ displaystyle \ mathrm {End} (R)}$${\ displaystyle \ mathrm {ad}}$

${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {[x, y]} = \ left [\ operatorname {ad} _ {x}, \ operatorname {ad} _ {y} \ right].}$

Derimot er det ikke alltid en ringhomomorfisme: vanligvis . ${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {xy} \, \ neq \, \ operatorname {ad} _ {x} \ operatorname {ad} _ {y}}$

General Leibniz -regelen

Den generelle Leibniz -regelen , som utvider gjentatte derivater av et produkt, kan skrives abstrakt ved hjelp av den tilstøtende representasjonen:

${\ displaystyle x^{n} y = \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} \ operatorname {ad} _ {x}^{k} \! (y) \, x^{nk}.}$

Ved å erstatte x med differensieringsoperatoren og

y med multiplikasjonsoperatoren får vi , og ved å bruke begge sider på en funksjon g , blir identiteten den vanlige Leibniz -regelen for n -th -derivatet . ${\ displaystyle \ partial}$${\ displaystyle m_ {f}: g \ mapsto fg}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} (\ partial) (m_ {f}) = m _ {\ partiell (f)}}$${\ displaystyle \ partial ^{n} \! (fg)}$

Se også

• Antikommutativitet
• Assosiator
• Baker – Campbell – Hausdorff formel
• Kanonisk kommutasjonsforhold
• Sentralisering aka kommutant
• Avledning (abstrakt algebra)
• Moyal brakett
• Pincherle -derivat
• Poisson -brakett
• Ternær kommutator
• Tre undergrupper lemma

Merknader

Referanser

• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2. utg.), Reading: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2. utg.), Prentice Hall , ISBN 0-13-805326-X
• Herstein, IN (1975), Topics In Algebra (2. utg.), Wiley, ISBN 0471010901
• Liboff, Richard L. (2003), Introductory Quantum Mechanics (4. utg.), Addison-Wesley , ISBN 0-8053-8714-5
• McKay, Susan (2000), Endelige p-grupper , Queen Mary Maths Notes, 18 , University of London , ISBN 978-0-902480-17-9, MR  1802994
• McMahon, D. (2008), Quantum Field Theory , McGraw Hill , ISBN 978-0-07-154382-8

Videre lesning

• McKenzie, R .; Snow, J. (2005), "Congruence modulære varianter: kommutatorteori" , i Kudryavtsev, VB; Rosenberg, IG (red.), Structural Theory of Automata, Semigroups and Universal Algebra , NATO Science Series II, 207 , Springer, s. 273–329, doi : 10.1007/1-4020-3817-8_11 , ISBN 9781402038174

Eksterne linker

• "Commutator" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]