Bode tomt - Bode plot

Figur 1A: Bode-plottet for et førsteordens (enpolet) høypassfilter ; tilnærmingene til den rette linjen er merket med "Bode pol"; fase varierer fra 90 ° ved lave frekvenser (på grunn av bidraget fra telleren, som er 90 ° ved alle frekvenser) til 0 ° ved høye frekvenser (der fasebidraget til nevneren er −90 ° og avbryter tellerens bidrag ).

Figur 1B: Bode-plottet for et førsteordens (enpolet) lavpassfilter ; tilnærmingene til den rette linjen er merket med "Bode pol"; fase er 90 ° lavere enn for figur 1A fordi fasebidraget til telleren er 0 ° ved alle frekvenser.

I elektroteknikk og kontroll teori , et Bode plott / b oʊ d i / er en grafisk fremstilling av frekvensresponsen av et system. Det er vanligvis en kombinasjon av et Bode -størrelsesdiagram, som uttrykker størrelsen (vanligvis i desibel ) på frekvensresponsen, og et Bode -faseplot som uttrykker faseskiftet .

Slik det opprinnelig ble unnfanget av Hendrik Wade Bode på 1930 -tallet, er plottet en asymptotisk tilnærming til frekvensresponsen, ved bruk av rette linjesegmenter .

Oversikt

Blant hans flere viktige bidrag til kretsteori og kontrollteori , utviklet ingeniør Hendrik Wade Bode , mens han jobbet på Bell Labs på 1930-tallet, en enkel, men nøyaktig metode for graftegning av forsterkning og faseforskyvningsplott. Disse bærer navnet hans, Bode gain plot og Bode phase plot . "Bode" er ofte uttalt / b oʊ d jeg / BOH -dee selv om den nederlandske uttalen er Bo-duh. ( Nederlandsk: [ˈboːdə] ).

Bode sto overfor problemet med å designe stabile forsterkere med tilbakemelding for bruk i telefonnettverk. Han utviklet den grafiske designteknikken til Bode -tomtene for å vise gevinstmarginen og fasemarginen som kreves for å opprettholde stabilitet under variasjoner i kretsegenskaper forårsaket under produksjon eller under drift. Prinsippene som ble utviklet ble brukt for å designe problemer med servomekanismer og andre tilbakemeldingsstyringssystemer. Bode -plottet er et eksempel på analyse i frekvensdomenet .

Definisjon

Bode-plottet for et lineært, tidsinvariant system med overføringsfunksjon ( som den komplekse frekvensen i Laplace-domenet ) består av et størrelsesdiagram og et faseplot. ${\ displaystyle H (s)}$ ${\ displaystyle s}$

Den Bode magnitudeplott er en grafisk fremstilling av funksjonen av frekvens (med blir den imaginære enhet ). Den -aksen av omfanget tomten er logaritmisk, og omfanget er gitt i desibel , dvs. en verdi for størrelsen er plottet på aksen på . ${\ displaystyle | H (s = j \ omega) |}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle | H |}$ ${\ displaystyle 20 \ log _ {10} | H |}$

Den Bode faseplott er grafen for fase , vanligvis uttrykt i grader, av overføringsfunksjonen som en funksjon av . Fasen er plottet på den samme logaritmiske -aksen som størrelsesplottet, men verdien for fasen er plottet på en lineær vertikal akse. ${\ displaystyle \ arg \ left (H (s = j \ omega) \ right)}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega}$

Frekvensrespons

Denne delen illustrerer at et Bode -plott er en visualisering av frekvensresponsen til et system.

Vurder et lineært, tidsinvariant system med overføringsfunksjon . Anta at systemet er utsatt for en sinusformet inngang med frekvens , ${\ displaystyle H (s)}$ ${\ displaystyle \ omega}$

{\ displaystyle u (t) = \ sin (\ omega t) \ ;,}

som brukes vedvarende, dvs. fra tid til annen . Svaret vil være av skjemaet ${\ displaystyle -\ infty}$ ${\ displaystyle t}$

{\ displaystyle y (t) = y_ {0} \ sin (\ omega t+\ varphi) \ ;,}

dvs. også et sinusformet signal med amplitude skiftet i fase med hensyn til inngangen av en fase . ${\ displaystyle y_ {0}}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

Det kan vises at størrelsen på responsen er

{\ displaystyle y_ {0} = | H (\ mathrm {j} \ omega) |}

( 1 )

og at faseskiftet er

{\ displaystyle \ varphi = \ arg H (\ mathrm {j} \ omega) \ ;.}

( 2 )

En skisse for bevis på disse ligningene er gitt i vedlegget .

Oppsummert, utsatt for en inngang med frekvens , reagerer systemet på samme frekvens med en utgang som forsterkes av en faktor og faseskiftes med . Disse mengdene karakteriserer dermed frekvensresponsen og er vist i Bode -plottet. ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle | H (\ mathrm {j} \ omega) |}$ ${\ displaystyle \ arg (H (\ mathrm {j} \ omega))}$

Regler for håndlaget Bode -tomt

For mange praktiske problemer kan de detaljerte Bode-plottene tilnærmes med lineære segmenter som er asymptoter av den presise responsen. Effekten av hvert av vilkårene i en overføringsfunksjon med flere elementer kan tilnærmes med et sett med rette linjer på et Bode -plott. Dette tillater en grafisk løsning av den generelle frekvensresponsfunksjonen. Før utbredt tilgjengelighet av digitale datamaskiner, ble grafiske metoder mye brukt for å redusere behovet for kjedelig beregning; en grafisk løsning kan brukes til å identifisere mulige parametere for et nytt design.

Forutsetningen for et Bode -plot er at man kan vurdere loggen til en funksjon i formen:

{\ displaystyle f (x) = A \ prod (x-c_ {n})^{a_ {n}}}

som en sum av loggene til nullene og polene :

{\ displaystyle \ log (f (x)) = \ log (A)+\ sum a_ {n} \ log (x-c_ {n}) \ ;.}

Denne ideen brukes eksplisitt i metoden for å tegne fasediagrammer. Metoden for å tegne amplitudeplott bruker implisitt denne ideen, men siden loggen for amplituden til hver pol eller null alltid starter på null og bare har en asymptoteendring (de rette linjene), kan metoden forenkles.

Rett amplitudeplott

Amplitude desibel utføres vanligvis ved å definere desibel. Gitt en overføringsfunksjon i skjemaet ${\ displaystyle {\ text {dB}} = 20 \ log _ {10} (X)}$

{\ displaystyle H (s) = A \ prod {\ frac {(s-x_ {n})^{a_ {n}}} {(s-y_ {n})^{b_ {n}}}}}}

der og er konstanter , og er transferfunksjonen: ${\ displaystyle x_ {n}}$ ${\ displaystyle y_ {n}}$ ${\ displaystyle s = \ mathrm {j} \ omega}$ ${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n}> 0}$ ${\ displaystyle H}$

Ved hver verdi av s hvor (en null), øker helningen av linjen med pr tiår . ${\ displaystyle \ omega = x_ {n}}$ ${\ displaystyle 20 \ cdot a_ {n} \, \ mathrm {dB}}$
For hver verdi av s hvor (en pol), reduser du linjens skråning med tiår. ${\ displaystyle \ omega = y_ {n}}$ ${\ displaystyle 20 \ cdot b_ {n} \, \ mathrm {dB}}$
Den opprinnelige verdien av grafen avhenger av grensene. Startpunktet blir funnet ved å sette den opprinnelige vinkelfrekvensen i funksjonen og finne . ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle | H (\ mathrm {j} \ omega) |}$
Den opprinnelige skråningen av funksjonen ved den opprinnelige verdien avhenger av antall og rekkefølge av nuller og poler som er ved verdier under den opprinnelige verdien, og blir funnet ved hjelp av de to første reglene.

For å håndtere ureduserbare 2. ordens polynom, kan det i mange tilfeller tilnærmes som . ${\ displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\ displaystyle ({\ sqrt {a}} x+{\ sqrt {c}})^{2}}$

Vær oppmerksom på at nuller og poler skjer når er lik en viss eller . Dette er fordi den aktuelle funksjonen er størrelsen på , og siden det er en kompleks funksjon ,. Således hvor som helst der det er en null eller pol som involverer begrepet , er størrelsen på det begrepet . ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ ${\ displaystyle y_ {n}}$ ${\ displaystyle H (\ mathrm {j} \ omega)}$ ${\ displaystyle | H (\ mathrm {j} \ omega) | = {\ sqrt {H \ cdot H^{*}}}}$ ${\ displaystyle (s+x_ {n})}$ ${\ textstyle {\ sqrt {(x_ {n}+\ mathrm {j} \ omega) \ cdot (x_ {n}-\ mathrm {j} \ omega)}} = {\ sqrt {x_ {n}^{ 2}+\ omega ^{2}}}}$

Korrigert amplitudeplott

For å korrigere et amplitudeplott i rett linje:

Ved hvert nullpunkt, sett et punkt over linjen, ${\ displaystyle 3 \ cdot a_ {n} \ \ mathrm {dB}}$
Sett et punkt under linjen på hver pol , ${\ displaystyle 3 \ cdot b_ {n} \ \ mathrm {dB}}$
Tegn en jevn kurve gjennom disse punktene ved å bruke de rette linjene som asymptoter (linjer som kurven nærmer seg).

Vær oppmerksom på at denne korreksjonsmetoden ikke inneholder hvordan man håndterer komplekse verdier av eller . Når det gjelder et ureduserbart polynom, er den beste måten å korrigere plottet å faktisk beregne størrelsen på overføringsfunksjonen ved polen eller null som tilsvarer det ureduserbare polynomet, og sette prikken over eller under linjen ved den polen eller nullen . ${\ displaystyle x_ {n}}$ ${\ displaystyle y_ {n}}$

Faselinje i rett linje

Gitt en overføringsfunksjon i samme form som ovenfor:

{\ displaystyle H (s) = A \ prod {\ frac {(s-x_ {n})^{a_ {n}}} {(s-y_ {n})^{b_ {n}}}}}}

tanken er å tegne separate tomter for hver pol og null, og deretter legge dem til. Den faktiske fasekurven er gitt av . ${\ displaystyle -\ arctan \ left ({\ tfrac {\ mathrm {Im} [H (s)]} {\ mathrm {Re} [H (s)]}}} \ right)}$

For å tegne faseplottet for hver pol og null:

Hvis det er positivt, startlinjen (med null stigning) kl ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle 0^{\ circ}}$
Hvis er negativ, startlinjen (med null stigning) kl ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle -180^{\ circ}}$
Hvis summen av antallet ustabile nuller og poler er merkelig, legg til 180 ° til det grunnlaget
På hvert (for stabile nuller ), øker skråningen av grader per tiår, begynner ett tiår før (F.eks: ) ${\ displaystyle \ omega = | x_ {n} |}$ ${\ displaystyle -\ operatorname {Re} (z) <0}$ ${\ displaystyle 45 \ cdot a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ omega = | x_ {n} |}$ ${\ textstyle {\ frac {| x_ {n} |} {10}}}$
På hvert (for stabile poler ), redusere skråningen av grader per tiår, begynner ett tiår før (F.eks: ) ${\ displaystyle \ omega = | y_ {n} |}$ ${\ displaystyle -\ operatorname {Re} (p) <0}$ ${\ displaystyle 45 \ cdot b_ {n}}$ ${\ displaystyle \ omega = | y_ {n} |}$ ${\ textstyle {\ frac {| y_ {n} |} {10}}}$
"Ustabile" (høyre halvplan) poler og nuller ( ) har motsatt oppførsel ${\ displaystyle \ operatorname {Re} (s)> 0}$
Flate skråningen igjen når fasen er endret med grader (for null) eller grader (for en pol), ${\ displaystyle 90 \ cdot a_ {n}}$ ${\ displaystyle 90 \ cdot b_ {n}}$
Etter å ha tegnet en linje for hver pol eller null, legger du sammen linjene for å oppnå den siste faseploten; det vil si at den siste faseplottet er superposisjonen til hver tidligere faseplot.

Eksempel

For å lage et lineært plott for et førsteordens (ettpolet) lavpassfilter, vurderer man overføringsfunksjonen når det gjelder vinkelfrekvensen:

{\ displaystyle H _ {\ mathrm {lp}} (\ mathrm {j} \ omega) = {1 \ over 1+ \ mathrm {j} {\ omega \ over {\ omega _ {\ mathrm {c}}}} } \ ;.}

Ovenstående ligning er den normaliserte formen for overføringsfunksjonen. Bode-plottet er vist i figur 1 (b) ovenfor, og konstruksjonen av den lineære tilnærmingen diskuteres deretter.

Størrelsesplan

Størrelsen (i desibel ) på overføringsfunksjonen ovenfor, (normalisert og konvertert til vinkelfrekvensform), gitt av desibel gevinstuttrykk : ${\ displaystyle A _ {\ mathrm {vdB}}}$

{\ displaystyle {\ begynne {justert} A _ {\ mathrm {vdB}} & = 20 \ cdot \ log | H _ {\ mathrm {lp}} (\ mathrm {j} \ omega) | \\ & = 20 \ cdot \ log {\ frac {1} {\ left | 1+ \ mathrm {j} {\ frac {\ omega} {\ omega _ {\ mathrm {c}}}} \ right |}} \\ & =-20 \ cdot \ log \ left | 1+ \ mathrm {j} {\ frac {\ omega} {\ omega _ {\ mathrm {c}}}} \ right | \\ & =-10 \ cdot \ log \ left ( 1+{\ frac {\ omega ^{2}} {\ omega _ {\ mathrm {c}} ^{2}}} \ høyre) \ ende {justert}}}

Deretter kan plottes kontra inngangsfrekvens på en logaritmisk skala tilnærmes med to linjer, og det danner den asymptotiske (omtrentlige) størrelsen Bode -plottet for overføringsfunksjonen: ${\ displaystyle \ omega}$

Den første linjen for vinkelfrekvenser nedenfor er en horisontal linje på 0 dB siden ved lave frekvenser er begrepet lite og kan neglisjeres, noe som gjør desibelforsterkningsligningen over lik null, ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}}}$ ${\ displaystyle {\ omega \ over {\ omega _ {\ mathrm {c}}}}}$
Den andre linjen for vinkelfrekvenser ovenfor er en linje med en helling på -20 dB per tiår siden ved høye frekvenser dominerer begrepet og desibel gevinstuttrykk ovenfor forenkles, som er en rett linje med en helling på per tiår. ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}}}$ ${\ displaystyle {\ omega \ over {\ omega _ {\ mathrm {c}}}}}$ ${\ displaystyle -20 \ log {\ omega \ over {\ omega _ {\ mathrm {c}}}}}$ ${\ displaystyle -20 \, \ mathrm {dB}}$

Disse to linjene møtes ved hjørnefrekvensen . Fra plottet kan det ses at for frekvenser godt under hjørnefrekvensen har kretsen en demping på 0 dB, tilsvarende en enhetspass -båndforsterkning, dvs. at amplituden til filterutgangen er lik inngangenes amplitude. Frekvenser over hjørnefrekvensen dempes - jo høyere frekvens, desto høyere demping .

Faseplot

Fase Bode -plottet oppnås ved å plotte fasevinkelen til overføringsfunksjonen gitt av

{\ displaystyle \ arg H _ {\ mathrm {lp}} (\ mathrm {j} \ omega) =-\ tan ^{-1} {\ omega \ over {\ omega _ {\ mathrm {c}}}}}}

versus , hvor og er henholdsvis inngangs- og cutoff -vinkelfrekvensene. For inngangsfrekvenser som er mye lavere enn hjørne, er forholdet lite, og derfor er fasevinkelen nær null. Når forholdet øker, øker fasens absolutte verdi og blir -45 grader når . Ettersom forholdet øker for inngangsfrekvenser som er mye større enn hjørnefrekvensen, nærmer fasevinkelen seg asymptotisk -90 grader. Frekvensskalaen for faseplottet er logaritmisk. ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}}}$ ${\ displaystyle {\ omega \ over {\ omega _ {\ mathrm {c}}}}}$ ${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {\ mathrm {c}}}$

Normalisert tomt

Den horisontale frekvensaksen, både i størrelses- og faseplotene, kan erstattes av det normaliserte (ikke -dimensjonale) frekvensforholdet . I et slikt tilfelle sies plottet å være normalisert og enheter av frekvensene brukes ikke lenger siden alle inngangsfrekvenser nå uttrykkes som multipler av cutoff -frekvensen . ${\ displaystyle {\ omega \ over {\ omega _ {\ mathrm {c}}}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}}}$

Et eksempel med null og pol

Figurene 2-5 illustrerer videre konstruksjonen av Bode-tomter. Dette eksemplet med både en pol og en null viser hvordan du bruker superposisjon. For å begynne med presenteres komponentene separat.

Figur 2 viser plottestørrelsen for Bode for en null og en lavpasspol, og sammenligner de to med de rettlinjede plottene fra Bode. De lineære tomtene er horisontale opp til polens (null) plassering og faller deretter (stiger) ved 20 dB/tiår. Den andre figuren 3 gjør det samme for fasen. Faseplottene er horisontale opp til en frekvensfaktor på ti under pol (null) plassering og faller deretter (stiger) ved 45 °/tiår til frekvensen er ti ganger høyere enn pol (null) plassering. Plottene er deretter igjen horisontale ved høyere frekvenser ved en siste, total faseendring på 90 °.

Figur 4 og figur 5 viser hvordan superposisjon (enkelt tillegg) av en pol og nullplott utføres. Bode -linjeplottene igjen blir sammenlignet med de eksakte tomtene. Nullen er flyttet til høyere frekvens enn polen for å lage et mer interessant eksempel. Legg merke til i figur 4 at 20 dB/tiår -fallet av polen blir arrestert av 20 dB/tiårets økning av null, noe som resulterer i et horisontalt størrelsesdiagram for frekvenser over null -stedet. Legg merke til i figur 5 i faseplotet at tilnærmingen i rett linje er ganske omtrentlig i området der både pol og null påvirker fasen. Legg også merke til i figur 5 at frekvensområdet der fasen endres i linjeplottet er begrenset til frekvenser med en faktor på ti over og under polens (null) plassering. Der både polens og nullens fase er tilstede, er faselinjen i rett linje horisontal fordi 45 °/tiårets fall av polen blir arrestert av den overlappende 45 °/tiårstigningen av null i det begrensede frekvensområdet. hvor begge er aktive bidragsytere til fasen.

Eksempel med pol og null
Figur 2: Plot med størrelsesorden bode for null- og lavpasspol; kurver merket "Bode" er de rettlinjede Bode-tomtene
Figur 3: Bode-faseplot for null- og lavpasspol; kurver merket "Bode" er de rettlinjede Bode-tomtene
Figur 4: Plot for størrelsesorden bode for kombinasjon av pol-null; plasseringen av nullpunktet er ti ganger høyere enn i figur 2 og 3; kurver merket "Bode" er de rettlinjede Bode-tomtene
Figur 5: Bode-faseplot for pol-null-kombinasjon; plasseringen av nullpunktet er ti ganger høyere enn i figur 2 og 3; kurver merket "Bode" er de rettlinjede Bode-tomtene

Få margin og fasemargin

Bodeplott brukes til å vurdere stabiliteten til negative tilbakemeldingsforsterkere ved å finne forsterkningen og fasemarginen til en forsterker. Forestillingen om forsterkning og fasemargin er basert på forsterkningsuttrykket for en negativ tilbakemeldingsforsterker gitt av

{\ displaystyle A _ {\ mathrm {FB}} = {\ frac {A _ {\ mathrm {OL}}} {1+ \ beta A _ {\ mathrm {OL}}}} \ ;,}

hvor A _FB er forsterkningen til forsterkeren med tilbakemelding ( lukket sløyfe-forsterkning ), β er tilbakemeldingsfaktoren og A _OL er forsterkningen uten tilbakemelding (forsterkningen med åpen sløyfe ). Gevinsten A _OL er en kompleks funksjon av frekvens, med både størrelse og fase. Undersøkelse av denne relasjonen viser muligheten for uendelig gevinst (tolket som ustabilitet) hvis produktet β A _OL = −1. (Det vil si at størrelsen på β A _OL er enhet og fasen er -180 °, det såkalte Barkhausen-stabilitetskriteriet ). Bode -tomter brukes til å bestemme hvor nær en forsterker kommer for å tilfredsstille denne tilstanden.

Nøkkelen til denne bestemmelsen er to frekvenser. Den første, merket her som f ₁₈₀ , er frekvensen der forsterkningen med åpen sløyfe vender. Den andre, merket her f _{0 dB} , er frekvensen der størrelsen på produktet | β A _OL | = 1 (i dB, størrelse 1 er 0 dB). Det vil si at frekvensen f ₁₈₀ bestemmes av tilstanden:

{\ displaystyle \ beta A _ {\ mathrm {OL}} \ left (f_ {180} \ right) =-| \ beta A _ {\ mathrm {OL}} \ left (f_ {180} \ right) | =-| \ beta A _ {\ mathrm {OL}} | _ {180} \ ;,}

der vertikale stolper angir størrelsen på et komplekst tall (for eksempel ), og frekvensen f _{0 dB} bestemmes av tilstanden: ${\ displaystyle | a+\ mathrm {j} b | = \ venstre [a^{2}+b^{2} \ høyre]^{\ frac {1} {2}}}$

{\ displaystyle | \ beta A _ {\ mathrm {OL}} \ left (f _ {\ mathrm {0dB}} \ right) | = 1 \ ;.}

Et mål på nærhet til ustabilitet er gevinstmarginen . Bode -faseplottet lokaliserer frekvensen der fasen til β A _OL når -180 °, betegnet her som frekvens f ₁₈₀ . Ved å bruke denne frekvensen finner Bode -størrelsesplottet størrelsen på β A _OL . Hvis | β A _OL | ₁₈₀ ≥ 1, er forsterkeren ustabil, som nevnt. Hvis | β A _OL | ₁₈₀ <1, ustabilitet oppstår ikke, og separasjonen i dB av størrelsen på | β A _OL | ₁₈₀ fra | β A _OL | = 1 kalles gevinstmarginen . Fordi en størrelsesorden av en er 0 dB, er forsterkningen margin bare en av de tilsvarende former: . ${\ displaystyle 20 \ log _ {10} (| \ beta A _ {\ mathrm {OL}} | _ {180}) = 20 \ log _ {10} (| A _ {\ mathrm {OL}} |) -20 \ log _ {10} (\ beta ^{-1})}$

Et annet tilsvarende mål for nærhet til ustabilitet er fasemarginen . Bode -størrelsesplottet lokaliserer frekvensen hvor størrelsen på | β A _OL | når enhet, betegnet her som frekvens f _{0 dB} . Ved å bruke denne frekvensen finner Bode -faseplottet fasen til β A _OL . Hvis fasen til β A _OL ( f _{0 dB} )> −180 °, kan ustabilitetstilstanden ikke oppfylles med noen frekvens (fordi størrelsen kommer til å være <1 når f = f ₁₈₀ ), og fasens avstand kl. f _{0 dB} i grader over -180 ° kalles fasemarginen .

Hvis det er bare et enkelt ja eller nei om stabilitetsspørsmålet, er forsterkeren stabil hvis f _{0 dB} < f ₁₈₀ . Dette kriteriet er tilstrekkelig til å forutsi stabilitet bare for forsterkere som tilfredsstiller noen begrensninger på pol- og nullposisjoner ( minimumfasesystemer ). Selv om disse begrensningene vanligvis er oppfylt, må de brukes hvis du ikke er en annen metode, for eksempel Nyquist -plottet . Optimal forsterkning og fasemarginer kan beregnes ved hjelp av Nevanlinna - Pick interpolasjonsteori .

Eksempler på bruk av Bode -tomter

Figur 6 og 7 illustrerer forsterkningsatferd og terminologi. For en trepolet forsterker sammenligner figur 6 Bode-plottet for forsterkningen uten tilbakemelding ( forsterkningen med åpen sløyfe ) A _OL med forsterkningen med tilbakemeldingen A _FB (den lukkede forsterkningen). Se negativ tilbakemeldingsforsterker for mer detalj.

I dette eksemplet er A _OL = 100 dB ved lave frekvenser, og 1 / β = 58 dB. Ved lave frekvenser, A _FB ≈ 58 dB også.

Fordi open-loop-forsterkningen A _OL er plottet og ikke produktet β A _OL , bestemmer tilstanden A _OL = 1 / β f _{0 dB} . Tilbakemeldingsforsterkningen ved lave frekvenser og for store A _OL er A _FB ≈ 1 / β (se formelen for tilbakemeldingsgevinsten i begynnelsen av denne delen for store forsterkninger A _OL ), så en tilsvarende måte å finne f _{0 dB} er å se hvor tilbakemeldingsforsterkningen skjærer den åpne sløyfeforsterkningen. (Frekvens f _{0 dB} er nødvendig senere for å finne fasemarginen.)

Nær denne krysset av de to gevinstene ved f _{0 dB} , er Barkhausen -kriteriene nesten tilfredsstilt i dette eksemplet, og tilbakemeldingsforsterkeren viser en massiv topp i forsterkning (det ville være uendelig hvis β A _OL = -1). Utover enhetsforsterkningsfrekvensen f _{0 dB} , er forsterkningen med åpen sløyfe tilstrekkelig liten til A _FB ≈ A _OL (undersøk formelen i begynnelsen av denne seksjonen for små A _OL ).

Figur 7 viser den tilsvarende fasesammenligningen: fasen til tilbakemeldingsforsterkeren er nesten null ut til frekvensen f ₁₈₀ hvor forsterkningen med åpen sløyfe har en fase på -180 °. I denne nærheten faller fasen til tilbakemeldingsforsterkeren brått nedover for å bli nesten den samme som fasen til åpen sløyfeforsterker. (Recall, A _FB ≈ A _OL for small A _OL .)

Når man sammenligner de merkede punktene i figur 6 og 7, ser man at enhetsforsterkningsfrekvensen f _{0 dB} og fasevendingsfrekvensen f ₁₈₀ er nesten like i denne forsterkeren, f ₁₈₀ ≈ f _{0 dB} ≈ 3.332 kHz, noe som betyr gevinstmarginen og fasemarginen er nesten null. Forsterkeren er grensestabil.

Figur 8 og 9 illustrerer forsterkningsmarginen og fasemarginen for en annen mengde tilbakemelding β. Tilbakemeldingsfaktoren er valgt mindre enn i figur 6 eller 7, og beveger tilstanden | β A _OL | = 1 til lavere frekvens. I dette eksemplet, 1 / β = 77 dB, og ved lave frekvenser A _FB ≈ 77 dB også.

Figur 8 viser gevinstplottet. Fra figur 8 skjer skjæringspunktet mellom 1 / β og A _OL ved f _{0 dB} = 1 kHz. Legg merke til at toppen i gevinsten A _FB nær f _{0 dB} er nesten borte.

Figur 9 er faseplottet. Ved å bruke verdien av f _{0 dB} = 1 kHz funnet ovenfor fra størrelsesdiagrammet i figur 8, er open-loop-fasen ved f _{0 dB} −135 °, som er en fasemargin på 45 ° over −180 °.

Ved bruk av figur 9, for en fase på -180 °, er verdien av f ₁₈₀ = 3,332 kHz (selvfølgelig det samme resultatet som funnet tidligere). Åpen sløyfeforsterkning fra figur 8 ved f ₁₈₀ er 58 dB og 1 / β = 77 dB, så forsterkningsmarginen er 19 dB.

Stabilitet er ikke det eneste kriteriet for forsterkerrespons, og i mange applikasjoner er et strengere krav enn stabilitet god trinnrespons . Som en tommelfingerregel krever god trinnrespons en fasemargin på minst 45 °, og ofte anbefales det en margin på over 70 °, spesielt der komponentvariasjon på grunn av produksjonstoleranser er et problem. Se også omtale av fase margin i sprangrespons artikkelen.

Eksempler
Figur 6: Gain av tilbakemeldingsforsterker A _FB i dB og tilsvarende open-loop-forsterker A _OL . Parameter 1/β = 58 dB, og ved lave frekvenser A _FB ≈ 58 dB også. Forsterkningsmarginen i denne forsterkeren er nesten null fordi | β A _OL | = 1 forekommer ved nesten f = f _{180 °} .
Figur 7: Fase for tilbakemeldingsforsterker ° A _FB i grader og tilsvarende åpen sløyfeforsterker ° A _OL . Fasemarginen i denne forsterkeren er nesten null fordi fasevendingen skjer ved nesten enhetsforsterkningsfrekvensen f = f _{0 dB} hvor | β A _OL | = 1.
Figur 8: Gain av tilbakemeldingsforsterker A _FB i dB og tilsvarende open-loop-forsterker A _OL . I dette eksemplet er 1 / β = 77 dB. Forsterkningsmarginen i denne forsterkeren er 19 dB.
Figur 9: Fase av tilbakemeldingsforsterker A _FB i grader og tilsvarende åpen sløyfeforsterker A _OL . Fasemarginen i denne forsterkeren er 45 °.

Bode plotter

Figur 10: Amplituden diagram av et 10. ordens elektronisk filter plottet med en Bode Plotter applikasjon.

Bode -plotteren er et elektronisk instrument som ligner et oscilloskop , som produserer et Bode -diagram, eller en graf, over en krets spenningsforsterkning eller faseskift plottet mot frekvens i et tilbakemeldingsstyringssystem eller et filter. Et eksempel på dette er vist i figur 10. Det er ekstremt nyttig for å analysere og teste filtre og stabiliteten til tilbakekoblingskontrollsystemer , gjennom måling av hjørne (cutoff) frekvenser og forsterkning og fasemarginer.

Dette er identisk med funksjonen som utføres av en vektornettverksanalysator , men nettverksanalysatoren brukes vanligvis ved mye høyere frekvenser.

For utdannings-/forskningsformål letter planlegging av Bode -diagrammer for gitte overføringsfunksjoner bedre forståelse og raskere resultater (se eksterne lenker).

Relaterte tomter

To relaterte plott som viser de samme dataene i forskjellige koordinatsystemer er Nyquist -plottet og Nichols -plottet . Dette er parametriske plott , med frekvens som inngang og størrelse og fase av frekvensresponsen som utgang. Nyquist -plottet viser disse i polare koordinater , med størrelsesorden kartlegging til radius og fase til argument (vinkel). Nichols -plottet viser disse i rektangulære koordinater, på loggskalaen .

Languages

In other projects