Logisk biconditional - Logical biconditional

I logikk og matematikk er den logiske biconditional , noen ganger kjent som materialet biconditional , den logiske connective ( ) som brukes til å sammenføye to setninger P og Q for å danne utsagnet " P hvis og bare hvis Q ", hvor P er kjent som antesedenten , og Q det påfølgende . Dette forkortes ofte som " P iff Q ". Andre måter å betegne denne operatøren kan sees av og til, som en dobbelhodet pil (↔ eller ⇔ kan være representert i Unicode på forskjellige måter), et prefiks E "E pq " (i Łukasiewicz-notasjon eller Bocheński-notasjon ), et likhetstegn (=), et ekvivalenstegn (≡) eller EQV . Det tilsvarer logisk sett både og og XNOR (eksklusiv eller) boolsk operatør , som betyr "begge eller ingen". ${\ displaystyle \ leftrightarrow}$ ${\ displaystyle (P \ rightarrow Q) \ land (Q \ rightarrow P)}$${\ displaystyle (P \ land Q) \ lor (\ neg P \ land \ neg Q)}$

Semantisk er det eneste tilfellet der en logisk biconditional er forskjellig fra en materialconditional, tilfellet der hypotesen er falsk, men konklusjonen er sant. I dette tilfellet er resultatet sant for den betingede, men falsk for den biconditional.

I den konseptuelle tolkningen betyr P = Q "Alle P er Q og alle Q er P ". Med andre ord sammenfaller settene P og Q : de er identiske. Dette betyr imidlertid ikke at P og Q trenger å ha den samme betydningen (f.eks. Kan P være "likeveis trilateral" og Q kan være "liksidig trekant"). Når det er formulert som en setning, er antesedenten subjektet og konsekvensen er predikatet til en universell bekreftende proposisjon (f.eks. I uttrykket "alle mennesker er dødelige" er "menn" subjektet og "dødelig" er predikatet).

I proposisjonstolkningen betyr at P innebærer Q og Q innebærer P ; Med andre ord er forslagene logisk likeverdige , i den forstand at begge er felles sanne eller felles falske. Igjen, dette betyr ikke at de trenger å ha samme betydning, ettersom P kan være "trekanten ABC har to like sider" og Q kan være "trekanten ABC har to like vinkler". Generelt er antesedenten premisset , eller årsaken , og den konsekvensen er konsekvensen . Når en implikasjon blir oversatt av en hypotetisk (eller betinget ) dom, kalles antecedenten hypotesen (eller tilstanden ) og den følgende kalles avhandlingen . ${\ displaystyle P \ leftrightarrow Q}$

En vanlig måte å demonstrere en biconditional av skjemaet er å demonstrere det og separat (på grunn av dets ekvivalens med sammenhengen mellom de to omvendte betingelsene ). Nok en måte å demonstrere den samme biconditional er ved å demonstrere det og . ${\ displaystyle P \ leftrightarrow Q}$${\ displaystyle P \ rightarrow Q}$${\ displaystyle Q \ rightarrow P}$${\ displaystyle P \ rightarrow Q}$${\ displaystyle \ neg P \ rightarrow \ neg Q}$

Når begge medlemmene av det tobetingede er proposisjoner, kan det deles inn i to betingede, hvorav den ene kalles et teorem og det andre dets gjensidige . Således når en setning og dens gjensidige er sanne, har vi en tobetinget. En enkel setning gir opphav til en implikasjon, hvis antesedent er hypotesen, og hvis konsekvens er teoremets avhandling .

Det sies ofte at hypotesen er den tilstrekkelige tilstanden til oppgaven, og at oppgaven er den nødvendige betingelsen for hypotesen. Det vil si at det er tilstrekkelig at hypotesen er sant for at oppgaven skal være sant, mens det er nødvendig at oppgaven er sant hvis hypotesen var sant. Når et teorem og dets gjensidige er sanne, sies det at hypotesen er den nødvendige og tilstrekkelige tilstanden for oppgaven. Det vil si at hypotesen både er årsaken og konsekvensen av oppgaven samtidig.

Definisjon

Logisk likhet (også kjent som biconditional) er en operasjon på to logiske verdier , vanligvis verdiene til to proposisjoner , som gir en verdi på true hvis og bare hvis begge operandene er falske eller begge operandene er sanne.

Sannhetstabell

Følgende er sannhetstabell for (også skrevet som , P = Q eller P EQ Q ): ${\ displaystyle P \ leftrightarrow Q}$${\ displaystyle P \ equiv Q}$

${\ displaystyle P}$	${\ displaystyle Q}$	${\ displaystyle P \ leftrightarrow Q}$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

Når mer enn to utsagn er involvert, kan det være tvetydig å kombinere dem med . For eksempel uttalelsen ${\ displaystyle \ leftrightarrow}$

${\ displaystyle x_ {1} \ leftrightarrow x_ {2} \ leftrightarrow x_ {3} \ leftrightarrow \ cdots \ leftrightarrow x_ {n}}$

kan tolkes som

${\ displaystyle (((x_ {1} \ leftrightarrow x_ {2}) \ leftrightarrow x_ {3}) \ leftrightarrow \ cdots) \ leftrightarrow x_ {n}}$,

eller kan tolkes som å si at alle x _i er felles eller felles falske :

${\ displaystyle (x_ {1} \ land \ cdots \ land x_ {n}) \ lor (\ neg x_ {1} \ land \ cdots \ land \ neg x_ {n})}$

Som det viser seg, er disse to utsagnene bare de samme - når null eller to argumenter er involvert. Faktisk viser de følgende sannhetstabellene bare det samme bitmønsteret i linjen uten argument og i linjene med to argumenter:

Venstre Venn-diagram nedenfor, og linjene (AB) i disse matrisene representerer den samme operasjonen.

Venn-diagrammer

Røde områder står for sanne (som i for og ).

Den tobetingede av to utsagn er negasjonen av det eksklusive eller : ${\ displaystyle ~ A \ leftrightarrow B ~~ \ Leftrightarrow ~~ \ neg (A \ oplus B)}$ ${\ displaystyle \ Leftrightarrow \ neg}$

Den tobetingede og eksklusive eller av tre uttalelser gir samme resultat: ${\ displaystyle ~ A \ leftrightarrow B \ leftrightarrow C ~ ~ \ Leftrightarrow}$ ${\ displaystyle ~ A \ oplus B \ oplus C}$ ${\ displaystyle \ leftrightarrow}$ ${\ displaystyle ~~ \ Leftrightarrow ~~}$ ${\ displaystyle \ oplus}$ ${\ displaystyle ~~ \ Leftrightarrow ~~}$

Men kan også brukes som en forkortelse for${\ displaystyle ~ A \ leftrightarrow B \ leftrightarrow C}$ ${\ displaystyle (A \ leftrightarrow B) \ land (B \ leftrightarrow C)}$ ${\ displaystyle \ land}$ ${\ displaystyle ~~ \ Leftrightarrow ~~}$

Eiendommer

Kommutativitet : Ja

${\ displaystyle A \ leftrightarrow B}$	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$	${\ displaystyle B \ leftrightarrow A}$
	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$

Assosiativitet : Ja

${\ displaystyle ~ A}$	${\ displaystyle ~~~ \ leftrightarrow ~~~}$	${\ displaystyle (B \ leftrightarrow C)}$	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$			${\ displaystyle (A \ leftrightarrow B)}$	${\ displaystyle ~~~ \ leftrightarrow ~~~}$	${\ displaystyle ~ C}$
	${\ displaystyle ~~~ \ leftrightarrow ~~~}$		${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\ displaystyle ~~~ \ leftrightarrow ~~~}$

Distribusjon : Biconditional distribuerer ikke over noen binær funksjon (ikke engang seg selv), men logisk disjunksjon fordeler seg over biconditional.

ledighet : Nei

${\ displaystyle ~ A ~}$	${\ displaystyle ~ \ leftrightarrow ~}$	${\ displaystyle ~ A ~}$	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$	${\ displaystyle ~ 1 ~}$	${\ displaystyle \ nLøftstrøkarrow}$	${\ displaystyle ~ A ~}$
	${\ displaystyle ~ \ leftrightarrow ~}$		${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\ displaystyle \ nLøftstrøkarrow}$

Monotonisitet : Nei

${\ displaystyle A \ rightarrow B}$	${\ displaystyle \ nRightarrow}$			${\ displaystyle (A \ leftrightarrow C)}$	${\ displaystyle \ rightarrow}$	${\ displaystyle (B \ leftrightarrow C)}$
	${\ displaystyle \ nRightarrow}$		${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\ displaystyle \ rightarrow}$

Sannhetsbevaring: Ja
Når alle innganger er sanne, er utdataene sanne.

${\ displaystyle A \ land B}$	${\ displaystyle \ Rightarrow}$	${\ displaystyle A \ leftrightarrow B}$
	${\ displaystyle \ Rightarrow}$

Falskebevaring: Nei
Når alle innganger er falske, er ikke utdataene falske.

${\ displaystyle A \ leftrightarrow B}$	${\ displaystyle \ nRightarrow}$	${\ displaystyle A \ lor B}$
	${\ displaystyle \ nRightarrow}$

Walsh-spektrum : (2,0,0,2)

Ikke linearitet : 0 (funksjonen er lineær)

Inferensregler

Som alle tilkoblingsmidler i førsteordens logikk, har den tobetingede regler for slutning som styrer bruken av den i formelle bevis.

Biconditional introduksjon

Biconditional introduksjon tillater en å slutte at hvis B følger fra A og A følger fra B, så A hvis og bare hvis B.

Fra uttalelsene "hvis jeg puster, så lever jeg" og "hvis jeg lever, så puster jeg", kan det utledes at "jeg puster hvis og bare hvis jeg ' m levende "eller tilsvarende," Jeg lever hvis og bare hvis jeg puster. " Eller mer skjematisk:

 B → A   
 A → B   
 ∴ A ↔ B

 B → A   
 A → B   
 ∴ B ↔ A

Biconditional eliminering

Biconditional eliminering tillater en å utlede en betinget fra en biconditional: hvis A ↔ B er sant, kan man utlede enten A → B eller B → A.

For eksempel, hvis det er sant at jeg puster hvis og bare hvis jeg lever, så er det sant at hvis jeg puster, så lever jeg; det er også sant at hvis jeg lever, så puster jeg. Eller mer skjematisk:

 A ↔ B  
 ∴ A → B

 A ↔ B  
 ∴ B → A

Allmenn bruk

En entydig måte å angi en biconditional på vanlig engelsk er å vedta skjemaet " b if a og a if b " - hvis standardformen " a if and only if b " ikke brukes. Litt mer formelt kan man også si at " b innebærer a og a innebærer b ", eller " a er nødvendig og tilstrekkelig for b ". Det enkle engelske "if" "kan noen ganger brukes som en biconditional (spesielt i sammenheng med en matematisk definisjon). I så fall må man ta hensyn til den omgivende sammenhengen når man tolker disse ordene.

Uttalelsen "Jeg vil kjøpe deg en ny lommebok hvis du trenger en" kan tolkes som en biconditional, siden høyttaleren ikke har til hensikt at et gyldig resultat skal være å kjøpe lommeboken, uansett om lommeboken er nødvendig eller ikke i en betinget). Imidlertid er "det er overskyet hvis det regner" generelt ikke ment som en bicondition, siden det fremdeles kan være overskyet selv om det ikke regner.

Se også

• Hvis og bare hvis
• Logisk ekvivalens
• Logisk likhet
• XNOR gate
• Biconditional eliminering
• Biconditional introduksjon

Referanser

Eksterne linker

• Media relatert til Logisk, biconditional på Wikimedia Commons

Denne artikkelen inneholder materiale fra Biconditional på PlanetMath , som er lisensiert under Creative Commons Attribution / Share-Alike License .