Loodrechtheid

Ray AB staat loodrecht op lijn CD, omdat de twee hoeken die hij vormt 90 graden zijn (respectievelijk in oranje en blauw).

In de meetkunde is de voorwaarde van loodrechtheid (van het Latijnse per-pendiculum " lood ") wanneer een rechte lijn een andere snijdt en een rechte hoek vormt , die 90 ° meet. Loodrechtheid is een fundamentele eigenschap die wordt bestudeerd in geometrie en trigonometrie , bijvoorbeeld in rechthoekige driehoeken , die 2 "loodrechte" segmenten hebben .

Het begrip loodrechtheid veralgemeent naar dat van orthogonaliteit .

Relaties

De loodrechtheidsrelatie kan worden gegeven tussen:

• Rechte lijnen: twee coplanaire lijnen staan ​​loodrecht wanneer ze, wanneer ze worden gesneden, het vlak in vier gelijke gebieden verdelen. Elk daarvan is een rechte hoek, het snijpunt van twee loodrechte lijnen wordt de voet van elk van hen in de andere genoemd.
  • Stralen: twee stralen staan ​​loodrecht, wanneer ze rechte hoeken vormen met of niet hetzelfde punt van oorsprong.
• Vlakken: twee vlakken staan ​​loodrecht als ze vier tweevlakshoeken van 90º vormen.
  • Halve vlakken: twee halve vlakken staan ​​loodrecht wanneer ze 90° tweevlakshoeken vormen; over het algemeen dezelfde oorsprongslijn delen.

Bovendien kan er een relatie van loodrechtheid zijn tussen de 4 voorgaande elementen, twee aan twee genomen.

Als twee lijnen elkaar snijden om congruente aangrenzende hoeken te vormen, staan ​​ze loodrecht op elkaar. Naar analogie, als twee snijdende vlakken congruente aangrenzende tweevlakshoeken vormen, staan ​​ze loodrecht op elkaar. De zijden van een tweevlakshoek en de tegenoverliggende halve vlakken bepalen twee loodrechte vlakken.

Loodrechte lijnen in het vlak

Voor alle loodlijnen in het vlak geldt het volgende.

Notatie

Gegeven de verzameling R van de lijnen in het vlak, zullen we zeggen dat twee lijnen a , b of R loodrecht op elkaar staan ​​en we zullen het noteren:

$a,b\in R:\quad a\bot b$

Als de notatie correct is:

$a\bot b\quad {\mbox{of}}\quad \bot (a,b)\quad {\mbox{of}}\quad (a,b)\in \bot$

Als twee lijnen niet loodrecht staan, zien we:

${\ Displaystyle \ lnot (a \ bot b) \ quad {\ mbox {of}} \ quad \ niet \ bot (a, b) \ quad {\ mbox {or}} \ quad (a, b) \ notin \ bot }$

Uniciteit

In een vlak gaat één en slechts één loodlijn door een punt dat bij of buiten een lijn hoort.

Constructie van de loodlijn op een lijn door een bepaald punt

Constructie van de loodlijn (blauw) op de lijn AB door het punt P.

Ga als volgt te werk om een ​​loodlijn op lijn AB door punt P te construeren met behulp van een richtliniaal en kompas :

• Stap 1 (rood): Er wordt een cirkel getekend met het middelpunt op P om de punten A' en B' op lijn AB te creëren, die op gelijke afstand van P liggen.
• Stap 2 (groen): Teken twee cirkels met het middelpunt op A' en B', die beide door P gaan. Laat Q het andere snijpunt van deze twee cirkels zijn.
• Stap 3 (blauw): Verbind P en Q om de loodlijn PQ te krijgen.

Om te bewijzen dat PQ loodrecht op AB staat, wordt de LLL-congruentietest voor driehoeken QPA' en QPB' gebruikt om aan te tonen dat de hoeken OPA' en OPB' gelijk zijn. Het LAL-criterium voor driehoeken OPA' en OPB' wordt dan gebruikt om aan te tonen dat de hoeken POA en POB gelijk zijn.

Eigenschappen

De lijnen a , b van het vlak P , voldoen aan de volgende eigenschappen:

• Irreflexieve relatie : elke lijn a van het vlak staat niet loodrecht op zichzelf:

$\forall a\in P:\quad \lnot (a\bot a)$

• Symmetrische relatie : als een lijn a loodrecht staat op een andere lijn b , staat lijn b loodrecht op lijn a :

${\ Displaystyle \ forall a, b \ in P: \ quad a \ bot b \ quad \ longrightarrow \ quad b \ bot a}$

Met betrekking tot parallelle lijnen

De lijnen a en b zijn evenwijdig, gezien door de vierkanten, en worden gesneden door de loodlijn c.

Zoals te zien is in de figuur, als twee lijnen ( a en b ) loodrecht staan ​​op een derde lijn ( c ), zijn alle hoeken gevormd in de derde lijn rechte hoeken. Daarom is in Euclidische meetkunde elk paar lijnen die loodrecht op een derde lijn staan ​​evenwijdig aan elkaar, vanwege het vijfde postulaat van Euclides . Omgekeerd, als een lijn loodrecht staat op een tweede lijn, staat deze ook loodrecht op elke lijn evenwijdig aan de tweede lijn.

In de figuur zijn alle oranje hoeken congruent aan elkaar en alle groene hoeken zijn congruent aan elkaar, omdat hoeken over het hoekpunt congruent zijn en afwisselende binnenhoeken gevormd door een dwarsdoorsnede van evenwijdige lijnen congruent zijn. Daarom, als lijnen a en b evenwijdig zijn, leidt een van de volgende conclusies tot alle andere:

• Een van de hoeken in het diagram is een rechte hoek.
• Een van de oranje hoeken is congruent met een van de groene hoeken.
• Lijn c staat loodrecht op lijn a .
• Lijn c staat loodrecht op lijn b .

Zie ook

• middelares
• orthogonaliteit
• parallellisme

Referenties

• Loodrecht ; Loodlijnen en parallellen , "Enjoy Mathematics" site.
• Loodrechte lijnen site «Visual Dictionary of Mathematics».
• Simmons, Bruce (2011). «loodrecht» . Rekenwoorden (in het Engels) . 

Externe links

• Hoe een middelloodlijn van een lijn te tekenen met een liniaal en kompas. Met animatie (in het Engels) .
• Hoe een loodlijn aan het einde van een lijn te tekenen met een liniaal en kompas. Met animatie (in het Engels) .