Transponeren van een lineaire kaart - Transpose of a linear map

In lineaire algebra is de transponering van een lineaire afbeelding tussen twee vectorruimten, gedefinieerd over hetzelfde veld , een geïnduceerde afbeelding tussen de dubbele ruimten van de twee vectorruimten. De getransponeerde of algebraïsche adjunct van een lineaire kaart wordt vaak gebruikt om de originele lineaire kaart te bestuderen. Dit concept wordt veralgemeend door adjoint functors .

Definitie

Laat de algebraïsche dubbele ruimte van een vectorruimte aanduiden Laat en zijn vectorruimten over hetzelfde veld Als een lineaire afbeelding is , dan is de algebraïsche adjoint of de dubbele ervan de afbeelding gedefinieerd door De resulterende functie wordt de terugtrekking van door genoemd $X^{\#}$ $X.$ $X$ $Y$ ${\mathcal {K}}.$ $u:X\naar Y$ ${}^{\#}u:Y^{\#}\to X^{\#}$ $f\mapsto f\circ u.$ ${}^{\#}u(f):=f\circ u$ $f$ $u.$

De continue duale ruimte van een topologische vectorruimte (TVS) wordt aangeduid als en zijn TVSS dan een lineaire afbeelding is zwak continu als en slechts als waarbij loslaten wij geven de beperking van tot de map wordt het genoemd transpositie of algebraïsche adjoint van De volgende identiteit kenmerkt de transponering van: $X$ $X^{\prime}.$ $X$ $Y$ $u:X\naar Y$ ${}^{\#}u\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime},$ ${}^{t}u:Y^{\prime}\to X^{\prime}$ ${}^{\#}u$ $Y^{\prime}.$ ${}^{t}u$ $u.$ $u$

\left\langle {}^{t}u(f),x\right\rangle =\left\langle f,u(x)\right\rangle \quad {\text{ for all }}f\ in X^{\prime }{\text{ en }}x\in X

waar is de natuurlijke koppeling gedefinieerd door

{\ Displaystyle \ left \ langle \ cdot , \ cdot \ right \ rangle}

\left\langle z,h\right\rangle:=h(z).

Eigendommen

De opdracht levert een

injectieve lineaire kaart op tussen de ruimte van lineaire operatoren van tot en de ruimte van lineaire operatoren van tot Als dan is de ruimte van lineaire kaarten een algebra onder samenstelling van kaarten , en de opdracht is dan een antihomomorfisme van algebra's, wat betekent dat In de taal van categorietheorie is het nemen van de duale van vectorruimten en de transponering van lineaire afbeeldingen daarom een contravariante functor van de categorie van vectorruimten naar zichzelf. Men kan zich identificeren met het gebruik van de natuurlijke injectie in de dubbele dubbele.

u\mapsto {}^{t}u

X

Y

Y^{\#}

X^{\#}.

X=Y

{}^{t}(uv)={}^{t}v{}^{t}u.

{\mathcal {K}}

{}^{t}\left({}^{t}u\right)

u

Als en zijn lineaire kaarten dan $u:X\naar Y$ ${\ Displaystyle v: Y \ naar Z}$ ${}^{t}(v\circ u)={}^{t}u\circ {}^{t}v$
Als een (

surjectief ) vectorruimte-isomorfisme is, dan is de transponering dat ook

u:X\naar Y

{}^{t}u:Y^{\prime}\to X^{\prime}.

Als en zijn

genormeerde spaties dan

X

Y

\|x\|=\sup _{\|x^{\prime }\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|\quad {\text{ voor elk }}x\in X

en als de lineaire operator begrensd is, dan is de operatornorm van gelijk aan de norm van ; dat is

u:X\naar Y

{}^{t}u

u

\|u\|=\left\|{}^{t}u\right\|

en bovendien

\|u\|=\sup \left\{\left|y^{\prime }(ux)\right|:\|x\|\leq 1,\left\|y^{*}\ rechts\|\leq 1{\text{ waar }}x\in X,y^{\prime }\in Y^{\prime }\right\}.

Polars

Stel nu dat dat een zwak continue lineaire operator is tussen

topologische vectorruimten en met continue dubbele ruimten en respectievelijk. Laat het canonieke duale systeem aanduiden , gedefinieerd door waar en waarvan wordt gezegd dat ze orthogonaal zijn als Voor subsets en laat

u:X\naar Y

X

Y

X^{\prime}

Y^{\prime},

{\ Displaystyle \ langle \ cdot , \ cdot \ rangle : X \ keer X ^ {\ prime } \ naar \ mathbb {C} }

\left\langle x,x^{\prime}\right\rangle =x^{\prime}x

x

x^{\prime}

\left\langle x,x^{\prime}\right\rangle =x^{\prime}x=0.

A\subseteq X

S^{\prime}\subseteq X^{\prime},

A^{\circ }=\left\{x^{\prime}\in X^{\prime}:\sup _{a\in A}\left|x^{\prime}(a) \right|\leq 1\right\}\qquad {\text{ and }}\qquad S^{\circ }=\left\{x\in X:\sup _{s^{\prime }\in S ^{\prime }}\left|s^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}

duiden de ( absolute ) polaire van in $A$ $X^{\prime}$ (resp. van in $S^{\prime}$ $X$ ).

Als en zijn convexe, zwak gesloten verzamelingen die de oorsprong bevatten, dan impliceert: $A\subseteq X$ ${\ Displaystyle B \ subseteq Y}$ ${}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }$ ${\ Displaystyle u (A) \ subseteq B.}$
Als en dan $A\subseteq X$ ${\ Displaystyle B \ subseteq Y}$ $[u(A)]^{\circ }=\left({}^{t}u\right)^{-1}\left(A^{\circ }\right)$ en $u(A)\subseteq B\quad {\text{ impliceert }}\quad {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }.$
Indien en zijn

lokaal convex vervolgens

X

Y

\operatornaam {ker} {}^{t}u=\left(\operatornaam {Im} u\right)^{\circ }.

vernietigers

Stel en zijn

topologische vectorruimten en is een zwak continue lineaire operator (so ). Gegeven subsets en definieer hun annihilators (met betrekking tot het canonieke duale systeem) door

X

Y

u:X\naar Y

\left({}^{t}u\right)\left(Y^{\prime}\right)\subseteq X^{\prime}

M\subseteq X

N\subseteq X^{\prime},

{\begin{alignedat}{4}M^{\bot }:&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\ prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}\\&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:x^{ \prime }(M)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}x^{\prime }(M):=\left\{x^{\prime }(m): m\in M\right\}\end{alignedat}}

en

{\begin{alignedat}{4}{}^{\bot }N:&=\left\{x\in X:\left\langle x,n^{\prime }\right\rangle =0 {\text{ for all }}n^{\prime }\in N\right\}\\&=\left\{x\in X:N(x)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}N(x):=\left\{n^{\prime }(x):n^{\prime }\in N\right\}\\\end{alignedat}}

De kern van is de deelruimte van orthogonaal op de afbeelding van : ${}^{t}u$ $Y^{\prime}$ $u$ $\ker {}^{t}u=(\operatornaam {Im} u)^{\bot }$
De lineaire kaart is

injectief als en slechts dan als het beeld een zwak dichte subset is van (dat wil zeggen, het beeld van is dicht wanneer de zwakke topologie wordt gegeven die wordt veroorzaakt door ).

u

Y

u

Y

Y

\operatornaam {ker} {}^{t}u

De transponering is continu wanneer beide en zijn begiftigd met de

zwakke-* topologie (resp. beide begiftigd met de sterke dubbele topologie, beide begiftigd met de topologie van uniforme convergentie op compacte convexe subsets, beide begiftigd met de topologie van uniforme convergentie op compacte subsets ).

{}^{t}u:Y^{\prime}\to X^{\prime}

X^{\prime}

Y^{\prime}

( Surjectie van Fréchet plaatsen ): Wanneer en zijn

Fréchet ruimten dan de continue lineaire operator is surjectief als en alleen als (1) de transpositie is injectief , en (2) het beeld van de getransponeerde van een zwak gesloten (dat wil zeggen zwakke * gesloten) subset van

X

Y

u:X\naar Y

{}^{t}u:Y^{\prime}\to X^{\prime}

u

X^{\prime}.

Duals van quotiëntruimten

Laat een gesloten vectordeelruimte zijn van een lokaal convexe ruimte van Hausdorff en geef de canonieke quotiëntkaart aan met $M$ $X$

\pi :X\naar X/M\quad {\text{ waar }}\quad \pi (x):=x+M.

Neem aan dat is begiftigd met de quotiënttopologie die wordt geïnduceerd door de quotiëntkaart. Dan wordt de transponering van de quotiëntkaart gewaardeerd in en

X/M

\pi :X\naar X/M.

M^{\bot}

{}^{t}\pi :(X/M)^{\prime}\to M^{\bot}\subseteq X^{\prime}

is een TVS-isomorfisme op If is een Banachruimte dan is het ook een isometrie . Met behulp van deze transponering wordt elke continue lineaire functie op de quotiëntruimte canoniek geïdentificeerd met een continue lineaire functie in de annihilator van

M^{\bot}.

X

{}^{t}\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }

X/M

M^{\bot}

M.

Duals van vectordeelruimten

Laat een gesloten vectordeelruimte zijn van een lokaal convexe ruimte van Hausdorff Als en als een continue lineaire uitbreiding is van to dan induceert de toewijzing een vectorruimte isomorfisme $M$ $X.$ $m^{\prime}\in M^{\prime}$ $x^{\prime}\in X^{\prime}$ $m^{\prime}$ $X$ $m^{\prime}\mapsto x^{\prime}+M^{\bot }$

M^{\prime}\to X^{\prime}/\left(M^{\bot}\right),

wat een isometrie is als een Banachruimte is.

X

Geef de inclusiekaart aan met

\operatornaam {In} :M\naar X\quad {\text{ waar }}\quad \operatornaam {In} (m):=m\quad {\text{ voor alle }}m\in M.

De transponering van de inclusiekaart is

{}^{t}\operatornaam {In} :X^{\prime }\to M^{\prime }

waarvan de kern de annihilator is en die surjectief is volgens de stelling van Hahn-Banach . Deze kaart induceert een isomorfisme van vectorruimten

M^{\bot}=\left\{x^{\prime}\in X^{\prime}:\left\langle m,x^{\prime}\right\rangle =0{\text { voor iedereen }}m\in M\right\}

X^{\prime}/\left(M^{\bot}\right)\to M^{\prime}.

Representatie als een matrix

Als de lineaire afbeelding wordt weergegeven door de

matrix met betrekking tot twee basen van en dan wordt weergegeven door de getransponeerde matrix met betrekking tot de dubbele basen van en vandaar de naam. Als alternatief, zoals wordt weergegeven door naar rechts te werken op kolomvectoren, wordt weergegeven door dezelfde matrix die naar links werkt op rijvectoren. Deze gezichtspunten zijn gerelateerd aan het canonieke inproduct waarop de ruimte van kolomvectoren wordt geïdentificeerd met de dubbele ruimte van rijvectoren.

u

A

X

Y,

{}^{t}u

A^{T}

Y^{\prime}

X^{\prime},

u

A

{}^{t}u

\mathbb {R} ^{n},

Relatie met de Hermitische adjoint

De identiteit die de transponering kenmerkt, dat wil zeggen, is formeel vergelijkbaar met de definitie van de

Hermitische adjoint , maar de transponering en de Hermitische adjunct zijn niet dezelfde kaart. De transponering is een kaart en is gedefinieerd voor lineaire afbeeldingen tussen elke vectorruimte en zonder dat er een extra structuur nodig is. De Hermitische adjunct-kaarten en is alleen gedefinieerd voor lineaire afbeeldingen tussen Hilbertruimten, zoals gedefinieerd in termen van het inproduct op de Hilbertruimte. De Hermitische adjunct vereist daarom meer wiskundige structuur dan de transponering.

\left[u^{*}(f),x\right]=[f,u(x)],

Y^{\prime}\to X^{\prime}

X

Y,

Y\naar X

De transponering wordt echter vaak gebruikt in contexten waarin de vectorruimten beide zijn uitgerust met een niet-ontaarde bilineaire vorm zoals het Euclidische puntproduct of een ander echt inproduct . In dit geval wordt de niet-ontaarde bilineaire vorm vaak impliciet gebruikt om de vectorruimten en hun dualen in kaart te brengen, om de getransponeerde kaart als een kaart uit te drukken. Voor een complexe Hilbertruimte is het inproduct sesquilineair en niet bilineair, en deze conversies veranderen de transponeren naar de aangrenzende kaart. $Y\naar X.$

Om precies te zijn: als en Hilbertruimten zijn en een lineaire afbeelding is, dan zijn de transponering van en de Hermitische adjunct waarvan we respectievelijk zullen aanduiden en zijn gerelateerd. Geef aan door en de canonieke antilineaire isometrieën van de Hilbertruimten en op hun dualen. Dan is de volgende samenstelling van kaarten: $X$ $Y$ $u:X\naar Y$ $u$ $u,$ ${}^{t}u$ $u^{*},$ $I:X\naar X^{*}$ $J:Y\naar Y^{*}$ $X$ $Y$ $u^{*}$

Y{\overset {J}{\longrightarrow }}Y^{*}{\overset {{}^{\text{t}}u}{\longrightarrow }}X^{*}{\overset { I^{-1}}{\pijl naar rechts }}X

Toepassingen op functionele analyse

Stel dat en zijn

topologische vectorruimten en dat is een lineaire kaart, dan worden veel van 's eigenschappen weerspiegeld in

X

Y

u:X\naar Y

u

{}^{t}u.

Als en zwak gesloten zijn, convexe verzamelingen die de oorsprong bevatten, dan impliceert $A\subseteq X$ ${\ Displaystyle B \ subseteq Y}$ ${}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }$ ${\ Displaystyle u (A) \ subseteq B.}$
De nulruimte van is de deelruimte van orthogonaal op het bereik van ${}^{t}u$ $Y^{\prime}$ $u(X)$ $u.$
${}^{t}u$ is injectief dan en slechts als het bereik van zwak gesloten is. $u(X)$ $u$

Zie ook

Adjoint functors - Relatie tussen twee functors die veel voorkomende constructies abstraheren
Hermitische adjoint - Continu duaal van een Hermitische operator
Riesz representatie stelling
Dubbele spatie § Transponeren van een lineaire kaart
Transponeren § Transponeren van een lineaire kaart

Referenties

Bibliografie

Halmos, Paul (1974), Eindig-dimensionale vectorruimten , Springer, ISBN 0-387-90093-4
Rudin, Walter (1991). Functionele analyse . Internationale serie in zuivere en toegepaste wiskunde. 8 (Tweede ed.). New York, NY: McGraw-Hill Wetenschap/Engineering/Wiskunde . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Schäfer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologische vectorruimten . GTM . 8 (Tweede ed.). New York, NY: Springer New York Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Trèves, François (2006) [1967]. Topologische vectorruimten, distributies en kernels . Mineola, NY: Dover-publicaties. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .

Languages

In other projects