Subspruitstuk - Submanifold
In de wiskunde is een deelvariëteit van een variëteit M een subset S die zelf de structuur van een variëteit heeft en waarvoor de inclusiekaart S → M aan bepaalde eigenschappen voldoet. Er zijn verschillende soorten subspruitstukken, afhankelijk van welke eigenschappen precies vereist zijn. Verschillende auteurs hebben vaak verschillende definities.
Formele definitie
In het volgende nemen we aan dat alle variëteiten differentieerbare variëteiten zijn van klasse C r voor een vaste r ≥ 1 , en dat alle morfismen differentieerbaar zijn van klasse C r .
Ondergedompelde subspruitstukken
Een ondergedompelde deelvariëteit van een verdeelstuk M is het beeld S een immersie map f : N → M ; in het algemeen zal dit beeld geen submanifold zijn als een subset, en een immersiekaart hoeft niet eens injectief (één-op-één) te zijn - het kan zelf-kruisingen hebben.
Nauwkeuriger gezegd kan men eisen dat de kaart f : N → M een injectie is (één-op-één), waarin we het een injectieve immersie noemen , en een ondergedompeld subspruitstuk definiëren als de beeldsubset S samen met een topologie en differentiële structuur zodat S een variëteit is en de inclusie f een diffeomorfisme is : dit is slechts de topologie op N, die in het algemeen niet zal overeenkomen met de subsettopologie: in het algemeen is de subset S geen subvariëteit van M, in de subset topologie.
Gegeven elke injectieve immersie f : N → M kan het beeld van N in M op unieke wijze de structuur van een ondergedompeld deelspruitstuk worden gegeven , zodat f : N → f ( N ) een diffeomorfisme is . Hieruit volgt dat ondergedompelde subvariëteiten precies de afbeeldingen zijn van injectieve onderdompelingen.
De subspruitstuktopologie op een ondergedompeld deelspruitstuk hoeft niet de relatieve topologie te zijn die is geërfd van M . In het algemeen zal het fijner zijn dan de subruimtetopologie (dwz meer open verzamelingen hebben ).
Ondergedompelde subvariëteiten komen voor in de theorie van Lie-groepen, waarbij Lie-subgroepen van nature ondergedompelde subvariëteiten zijn. Ze verschijnen ook in de studie van foliaties waar ondergedompelde subvariëteiten de juiste context bieden om de stelling van Frobenius te bewijzen .
Ingebedde subspruitstukken
Een ingebed deelverdeelstuk (ook wel een regelmatig deelverdeelstuk genoemd ), is een ondergedompeld deelverdeelstuk waarvoor de inclusiekaart een topologische inbedding is . Dat wil zeggen, de subvariëteittopologie op S is hetzelfde als de subruimtetopologie.
Gegeven enige inbedding f : N → M van een verdeelstuk N in M heeft het beeld f ( N ) natuurlijk de structuur van een ingebed deelverdeelstuk. Dat wil zeggen, ingebedde deelvariëteiten zijn precies de afbeeldingen van inbeddingen.
Er is een intrinsieke definitie van een ingebed subspruitstuk die vaak nuttig is. Laat M een n- dimensionaal spruitstuk zijn, en laat k een geheel getal zijn zodat 0 ≤ k ≤ n . Een k dimensionale ingebed deelvariëteit van M een deelverzameling S ⊂ M zodanig dat voor elk punt p ∈ S bestaat een grafiek ( U ⊂ M , φ : U → R n ) bevattende p zodanig dat φ ( S ∩ U ) is de snijpunt van een k -dimensionaal vlak met φ ( U ). De paren ( S ∩ U , φ | S ∩ U ) vormen een atlas voor de differentiële structuur op S .
Alexander's stelling en de Jordan-Schoenflies stelling zijn goede voorbeelden van gladde inbeddingen.
Andere variaties
Er zijn enkele andere variaties van subvariëteiten die in de literatuur worden gebruikt. Een nette subvariëteit is een variëteit waarvan de grens overeenkomt met de begrenzing van de gehele variëteit. Sharpe (1997) definieert een type deelverdeelstuk dat ergens tussen een ingebed deelverdeelstuk en een ondergedompeld deelverdeelstuk ligt.
Veel auteurs definiëren ook topologische deelvariëteiten. Deze zijn hetzelfde als C r deelvariëteiten met r = 0 . Een ingebed topologisch subspruitstuk is niet noodzakelijk regelmatig in de zin van het bestaan van een lokale kaart op elk punt dat de inbedding uitbreidt. Tegenvoorbeelden zijn onder meer wilde bogen en wilde knopen .
Eigendommen
Gegeven elke ondergedompelde deelvariëteit S van M , kan de raakruimte aan een punt p in S natuurlijk worden beschouwd als een lineaire deelruimte van de raaklijnruimte aan p in M . Dit volgt uit het feit dat de inclusiekaart een onderdompeling is en een injectie geeft
Stel dat S een ondergedompeld deelspruitstuk is van M . Als het wenselijk kaart i : S → M wordt gesloten dan S is eigenlijk een ingebedde deelvariëteit van M . Omgekeerd, als S een ingebed deelverdeelstuk is dat ook een gesloten deelverzameling is, is de inclusiekaart gesloten. De inclusiekaart i : S → M is gesloten als en slechts als het een goede kaart is (dwz inverse afbeeldingen van compacte verzamelingen zijn compact). Als i gesloten is, wordt S een gesloten ingebedde deelvariëteit van M genoemd . Gesloten ingebedde deelverdelers vormen de mooiste klasse van deelverdelers.
Deelvariëteiten van reële coördinatenruimte
Gladde variëteiten worden soms gedefinieerd als ingebedde deelvariëteiten van reële coördinatenruimte R n , voor sommige n . Dit standpunt komt overeen met de gebruikelijke, abstracte benadering, omdat, door de inbeddingsstelling van Whitney , elke tweede-telbare gladde (abstracte) m- variëteit soepel kan worden ingebed in R 2 m .
Opmerkingen:
Referenties
- Choquet-Bruhat, Yvonne (1968). Geometrie différentielle en systèmes extérieurs . Parijs: Dunod.
- Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Differentiële spruitstukken . Mineola, New York: Dover Publicaties. ISBN 978-0-486-46244-8.
- Lang, Serge (1999). Grondbeginselen van differentiële meetkunde . Graduate teksten in de wiskunde . New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
- Lee, John (2003). Inleiding tot gladde spruitstukken . Afstudeerteksten in de wiskunde 218 . New York: Springer. ISBN 0-387-95495-3.
- Sharpe, RW (1997). Differentiaalmeetkunde: Cartan's veralgemening van Klein's Erlangen-programma . New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
- Warner, Frank W. (1983). Fundamenten van differentieerbare spruitstukken en leugengroepen . New York: Springer. ISBN 0-387-90894-3.
