Bol eversie - Sphere eversion

Een Morin-oppervlak van "boven" gezien

Media afspelen

Sphere-eversieproces zoals beschreven in

papieren bol eversie en Morin oppervlak

papier Morin oppervlak (bol eversie halverwege) met hexagonale symmetrie

In differentiële topologie is boleversie het proces waarbij een bol binnenstebuiten wordt gedraaid in een driedimensionale ruimte (het woord eversie betekent "binnenstebuiten keren"). Opmerkelijk is dat het mogelijk is om op deze manier soepel en continu een bol binnenstebuiten te keren (met mogelijke zelfdoorsnijdingen ) zonder deze te snijden of te scheuren of enige vouw te creëren . Dit is verrassend, zowel voor niet-wiskundigen als voor degenen die reguliere homotopie begrijpen , en kan als een echte paradox worden beschouwd ; dat is iets dat, hoewel het waar is, op het eerste gezicht onwaar lijkt.

Meer precies, laten we

f\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}

de standaard inbedding zijn ; dan is er een regelmatige homotopie van immersies

f_{t}\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}

zodat ƒ ₀ = ƒ en ƒ ₁ = − ƒ .

Geschiedenis

Een bestaansbewijs voor kreukvrije boleversie werd voor het eerst gecreëerd door Stephen Smale ( 1957 ). Het is moeilijk om een specifiek voorbeeld van zo'n bocht te visualiseren, hoewel er enkele digitale animaties zijn gemaakt die het iets gemakkelijker maken. Het eerste voorbeeld werd tentoongesteld door de inspanningen van verschillende wiskundigen, waaronder Arnold S. Shapiro en Bernard Morin , die blind was. Aan de andere kant is het veel gemakkelijker om te bewijzen dat zo'n "draaiing" bestaat, en dat is wat Smale deed.

Smale's afgestudeerde adviseur Raoul Bott vertelde Smale aanvankelijk dat het resultaat duidelijk verkeerd was ( Levy 1995 ). Zijn redenering was dat de graad van de Gauss-kaart behouden moet blijven in een dergelijke "draaiing" - in het bijzonder volgt daaruit dat er geen dergelijke draaiing van S ¹ in R ^{2 is} . Maar de graden van de Gauss-kaart voor de inbeddingen f en − f in R ³ zijn beide gelijk aan 1, en hebben geen tegengesteld teken, zoals men ten onrechte zou kunnen raden. De graad van de Gauss-kaart van alle onderdompelingen van S ² in R ³ is 1, dus er is geen obstakel. De term "echte paradox" is misschien toepasselijker op dit niveau: tot het werk van Smale was er geen gedocumenteerde poging om voor of tegen de eversie van S ² te pleiten , en latere pogingen zijn achteraf bekeken, dus er was nooit een historische paradox geassocieerd met boleversie, slechts een waardering van de subtiliteiten in het visualiseren ervan door degenen die het idee voor de eerste keer confronteren.

Zie h -principe voor verdere generalisaties.

Een bewijs

Smale's oorspronkelijke bewijs was indirect: hij identificeerde (reguliere homotopie) klassen van onderdompelingen van bollen met een homotopiegroep van het Stiefel-spruitstuk . Aangezien de homotopiegroep die overeenkomt met onderdompelingen van in verdwijnt, moeten de standaard inbedding en de inside-out-groep regelmatig homotopisch zijn. In principe kan het bewijs worden afgewikkeld om een expliciete reguliere homotopie te produceren, maar dit is niet eenvoudig te doen. $S^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Er zijn verschillende manieren om expliciete voorbeelden en wiskundige visualisatie te produceren :

Halverwege modellen : deze bestaan uit zeer bijzondere homotopieën. Dit is de originele methode, eerst gedaan door Shapiro en Phillips via Boy's Surface , later verfijnd door vele anderen. De originele homotopieën van het halfwegmodel werden met de hand geconstrueerd en werkten topologisch, maar waren niet minimaal. De film gemaakt door Nelson Max, over een periode van zeven jaar, en gebaseerd op Charles Pugh's kippengaasmodellen (later gestolen van de wiskundeafdeling in Berkeley), was voor zijn tijd een 'tour de force' van computergraphics. jarenlang de maatstaf voor computeranimatie. Een meer recente en definitieve grafische verfijning (1980) is minimax-editions , een variatiemethode , en bestaat uit speciale homotopieën (het zijn de kortste paden met betrekking tot Willmore-energie ). Om het gedrag van Willmore-energie te begrijpen, vereist het begrijpen van oplossingen van partiële differentiaalvergelijkingen van de vierde orde, en dus logenstraffen de visueel mooie en suggestieve beelden een zeer diepe wiskunde die verder gaat dan Smale's oorspronkelijke abstracte bewijs.
Thurston 's golvingen: dit is een topologische methode en generiek; het neemt een homotopie en verstoort het zodat het een reguliere homotopie wordt. Dit wordt geïllustreerd in de computergraphics-animatie Outside In, ontwikkeld in het Geometry Center onder leiding van Silvio Levy, Delle Maxwell en Tamara Munzner .
Aitchison's 'holiverse' (2010): deze gebruikt een combinatie van topologische en geometrische methoden, en is specifiek voor de feitelijke reguliere homotopie tussen een standaard ingebedde 2-bol, en de inbedding met omgekeerde oriëntatie. Dit verschaft conceptueel begrip voor het proces, geopenbaard als voortkomend uit de concrete structuur van het driedimensionale projectieve vlak en de onderliggende geometrie van de Hopf-vezels. Het begrijpen van de details van deze wiskundige concepten is niet vereist om de concrete eversie die ontstaat conceptueel te waarderen, wat in wezen alleen het begrijpen van een specifieke ingebedde cirkel vereist die op een torus in 3-ruimte is getekend. George Francis stelde de naam "holiverse" voor, afgeleid van het woord "holistisch", omdat (na enig nadenken) de volledige eversie conceptueel van begin tot eind kan worden begrepen, zonder de visuele hulpmiddelen die door animatie worden geboden. In de geest komt dit dichter bij de ideeën die oorspronkelijk door Shapiro werden gesuggereerd, en in de praktijk levert het een concreet bewijs van eversie op waarvoor de abstractie die aan het bewijs van Smale ten grondslag ligt, niet vereist is. Dit wordt gedeeltelijk geïllustreerd in een computergrafische animatie van Povray , opnieuw gemakkelijk te vinden door op YouTube te zoeken.
Door de bovenstaande methoden te combineren, kan de volledige eversie van de bol worden beschreven door een reeks gesloten vergelijkingen die een minimale topologische complexiteit geven

variaties

Een zesdimensionale bol in een zevendimensionale euclidische ruimte laat eversie toe. Met een duidelijk geval van een 0-dimensionale bol (twee verschillende punten) in een reële lijn en hierboven beschreven geval van een tweedimensionale bol zijn er slechts drie gevallen waarin een bol ingebed in een euclidische ruimte eversie toelaat. $S^{6}$ $\mathbb {R} ^{7}$ $S^{0}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$

Galerij met eversiestappen

oppervlakte plots
Geleid model van halverwege met viervoudige punt bovenaanzicht diagonale weergave zijaanzicht	Half gesloten bovenaanzicht diagonale weergave zijaanzicht	Geregeerd model van de dood van drievoudige punten bovenaanzicht diagonale weergave zijaanzicht
Geleid model van einde van centrale snijpuntlus bovenaanzicht diagonale weergave zijaanzicht	Geregeerd model van de laatste etappe bovenaanzicht diagonale weergave zijaanzicht