Morfisme van algebraïsche variëteiten - Morphism of algebraic varieties

In de algebraïsche meetkunde is een functie van een quasi-affiene variëteit naar het onderliggende veld een reguliere functie als er voor een willekeurig punt in een open buurt U rond dat punt bestaat, zodat f kan worden uitgedrukt door een breuk zoals waarin polynomen op de omringende affiene ruimte van zodanig dat h nergens nul is op U . Een reguliere kaart van een willekeurige variëteit tot affiene ruimte is een kaart gegeven door n-tupel van reguliere functies. Een morfisme tussen twee varianten is een continue kaart zoals zodanig dat voor elke open verzameling en elke reguliere functie zoals , de functie regelmatig is. De samenstelling van morfismen zijn morfismen, dus vormen ze een categorie . In deze categorie wordt een morfisme dat een inverse heeft, isomorfisme genoemd . We zeggen dat twee varianten zijn isomorf als er isomorfisme tussen hen bestaan of equivalent als hun coördineren ringen zijn isomorf (ie ) als algebra over hun achterliggende velden. ${\ Displaystyle f \ dubbele punt Y \ naar k}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle g/h}$${\displaystyle g,h}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle X,Y}$${\ Displaystyle \ varphi \ dubbele punt X \ naar Y}$${\ Displaystyle V \ subseteq Y}$${\ Displaystyle f \ dubbele punt V \ naar k}$${\ Displaystyle f \ circ \ varphi \ dubbele punt \ varphi ^ {-1} (V) \ naar k}$${\displaystyle X,Y}$${\ Displaystyle A (X) \ cong A (Y)}$

Silverman definieert morfisme als een rationele kaart die op elk punt regelmatig is.

Definitie

Als X en Y gesloten subvariëteiten zijn van en (het zijn dus affiene variëteiten ), dan is een reguliere kaart de beperking van een polynoomkaart. Expliciet heeft deze de vorm: ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$${\ Displaystyle f \ dubbele punt X \ naar Y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}\naar \mathbb {A} ^{m}}$

${\displaystyle f=(f_{1},\dots,f_{m})}$

waarbij de s in de coördinatenring van X staan : ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle k[X]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I,}$

waarbij I de ideale definiërende X is (let op: twee polynomen f en g definiëren dezelfde functie op X als en slechts als f  −  g in I ). Het beeld f ( X ) ligt in Y en voldoet dus aan de bepalende vergelijkingen van Y . Dat wil zeggen, een reguliere kaart is hetzelfde als de beperking van een polynoomkaart waarvan de componenten voldoen aan de definiërende vergelijkingen van . ${\displaystyle f:X\naar Y}$${\displaystyle Y}$

Meer in het algemeen een kaart f : X → Y tussen twee varianten is regelmatig een punt x als er een omgeving U van x en een omgeving V van f ( x ) zodanig dat f ( U ) ⊂ V en het beperkte functie f : U → V is regelmatig als functie op sommige affiene grafieken van U en V . Dan heet f regulier , als het op alle punten van X regulier is .

• Opmerking: Het is niet meteen duidelijk dat de twee definities samenvallen: als X en Y affiene variëteiten zijn, dan is een kaart f : X → Y regulier in de eerste betekenis dan en slechts als dat zo is in de tweede betekenis. Ook is niet meteen duidelijk of regelmaat afhangt van een keuze van affiene grafieken (dat is niet het geval). Dit soort consistentieprobleem verdwijnt echter als men de formele definitie overneemt. Formeel wordt een (abstracte) algebraïsche variëteit gedefinieerd als een bepaald soort lokaal geringde ruimte . Wanneer deze definitie wordt gebruikt, is een morfisme van variëteiten slechts een morfisme van lokaal geringde ruimten.

De samenstelling van reguliere kaarten is weer regelmatig; dus algebraïsche variëteiten vormen de categorie van algebraïsche variëteiten waarbij de morfismen de reguliere kaarten zijn.

Reguliere kaarten tussen affiene variëteiten corresponderen contravariant in één-op-één met algebrahomomorfismen tussen de coördinaatringen: als f : X → Y een morfisme is van affiene variëteiten, dan definieert dit het algebrahomomorfisme

${\displaystyle f^{\#}:k[Y]\naar k[X],\,g\mapsto g\circ f}$

waar zijn de coördinatenringen van X en Y ; het is goed gedefinieerd omdat het een polynoom is in elementen van . Omgekeerd, als het een algebrahomomorfisme is, dan induceert het het morfisme ${\displaystyle k[X],k[Y]}$${\displaystyle g\circ f=g(f_{1},\dots,f_{m})}$${\displaystyle k[X]}$${\ Displaystyle \ phi: k [Y] \ naar k [X]}$

${\displaystyle \phi ^{a}:X\naar Y}$

gegeven door: schrijven ${\displaystyle k[Y]=k[y_{1},\dots ,y_{m}]/J,}$

${\displaystyle \phi ^{a}=(\phi ({\overline {y_{1}}}), \dots, \phi ({\overline {y_{m}}}))}$

waar zijn de afbeeldingen van 's. Merk zowel op als In het bijzonder is f een isomorfisme van affiene variëteiten dan en slechts dan als f ^# een isomorfisme van de coördinatenringen is. ${\displaystyle {\overline {y}}_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle {\phi ^{a}}^{\#}=\phi }$${\displaystyle {f^{\#}}^{a}=f.}$

Als X bijvoorbeeld een gesloten subvariëteit is van een affiene variëteit Y en f de inclusie is, dan is f ^# de beperking van reguliere functies op Y tot X . Zie #Voorbeelden hieronder voor meer voorbeelden.

Reguliere functies

In het specifieke geval dat Y gelijk is aan A ¹ de reguliere afbeelding f : X → A ¹ wordt een reguliere functie genoemd en zijn algebraïsche analogen van gladde functies die in differentiaalmeetkunde zijn bestudeerd. De ring van reguliere functies (dat is de coördinatenring of meer abstract de ring van globale secties van de structuurbundel) is een fundamenteel object in affiene algebraïsche meetkunde. De enige reguliere functie op een projectieve variëteit is constant (dit kan worden gezien als een algebraïsche analoog van de stelling van Liouville in complexe analyse ).

Een scalaire functie f : X → A ¹ is regelmatig in een punt x als het, in een open affiene omgeving van x , een rationale functie is die regelmatig is in x ; dwz er zijn reguliere functies g , h nabij x zodat f = g / h en h niet verdwijnt bij x . Let op: de voorwaarde is voor een paar ( g , h ) niet voor alle paren ( g , h ); zie Voorbeelden .

Als X een quasi-projectieve variëteit is ; dat wil zeggen, een open subvariëteit van een projectieve variëteit, dan is het functieveld k ( X ) hetzelfde als dat van de sluiting van X en dus is een rationale functie op X van de vorm g / h voor sommige homogene elementen g , h van dezelfde graad in de homogene coördinatenring van (vgl. Projectieve variëteit#Variety structuur .) Dan is een rationale functie f op X regelmatig in een punt x als en slechts als er enkele homogene elementen g , h van dezelfde graad in zo'n dat f = g / h en h niet verdwijnt bij x . Deze karakterisering wordt soms opgevat als de definitie van een reguliere functie. ${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$

Vergelijking met een morfisme van schema's

Indien X = Spec A en Y = Spec B zijn affiene schema zal iedere ringhomomorfisme φ: B → A bepaalt een morfisme

${\displaystyle \phi ^{a}:X\naar Y,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}$

door de voorbeelden van priemidealen te nemen . Alle morfismen tussen affiene schema's zijn van dit type en het lijmen van dergelijke morfismen geeft een morfisme van schema's in het algemeen.

Nu, als X , Y affiene variëteiten zijn; dat wil zeggen, A , B zijn integrale domeinen die eindig gegenereerde algebra's zijn over een algebraïsch gesloten veld k , dan valt het bovenstaande, werkend met alleen de gesloten punten, samen met de definitie gegeven bij #Definition . (Bewijs: Als f  : X → Y een morfisme is, dan moeten we laten zien ${\displaystyle \phi =f^{\#}}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$

waar zijn de maximale idealen die overeenkomen met de punten x en f ( x ); dat wil zeggen, . Dit is onmiddellijk.) ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}, {\mathfrak {m}}_{f(x)}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}}$

Dit feit betekent dat de categorie van affiene variëteiten kan worden geïdentificeerd met een volledige subcategorie van affiene schema's over k . Aangezien morfismen van variëteiten worden verkregen door morfismen van affiene variëteiten te lijmen op dezelfde manier als morfismen van schema's worden verkregen door morfismen van affiene schema's te lijmen, volgt hieruit dat de categorie van variëteiten een volledige subcategorie is van de categorie van schema's over k .

Voor meer details, zie [1] .

Voorbeelden

• De reguliere functies van een ⁿ exact polynomen in n variabelen en andere functies die voor P ⁿ exact constanten.
• Laat X de affiene kromme zijn . Vervolgens${\displaystyle y=x^{2}}$
  $${\displaystyle f:X\to \mathbf {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x}$$

  
  is een morfisme; het is bijectief met de inverse . Omdat g ook een morfisme is, is f een isomorfisme van variëteiten.${\displaystyle g(x)=(x,x^{2})}$
• Laat X de affiene kromme zijn . Vervolgens${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$
  $${\displaystyle f:\mathbf {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$$

  
  is een morfisme. Het komt overeen met het ringhomomorfisme
  $${\displaystyle f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),}$$

  
  die wordt gezien als injectief (aangezien f surjectief is).
• Voortgaand op het voorgaande voorbeeld, laat U = A ¹  − {1}. Aangezien U het complement is van het hypervlak t = 1, is U affiene. De beperking is bijectief. Maar het corresponderende ringhomomorfisme is de inclusie , die geen isomorfisme is en dus de restrictie f | _U is geen isomorfisme.${\displaystyle f:U\naar X}$${\displaystyle k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]}$
• Zij X de affiene kromme x ² + y ² = 1 en laat
  $${\displaystyle f(x,y)={1-y \over x}.}$$

  
  Dan is f een rationale functie op X . Het is regulier op (0, 1) ondanks de uitdrukking omdat, als een rationale functie op X , f ook kan worden geschreven als .${\displaystyle f(x,y)={x \over 1+y}}$
• Laat X = A ² − (0, 0) . Dan is X een algebraïsche variëteit omdat het een open deelverzameling van een variëteit is. Als f een reguliere functie is op X , dan is f regelmatig op en dus ook in . Evenzo is het in . Zo kunnen we schrijven:${\displaystyle D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)=\mathbf {A} ^{2}-\{x=0\}}$${\displaystyle k[D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbf {A} ^{2}][x^{-1}]=k[x,x^{ -1},j]}$${\displaystyle k[x,y,y^{-1}]}$
  $${\displaystyle f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}}$$

  
  waarbij g , h polynomen zijn in k [ x , y ]. Maar dit houdt in dat g deelbaar is door x ⁿ en dat f dus in feite een polynoom is. De ring van reguliere functies op X is dus gewoon k [ x , y ]. (Dit toont ook aan dat X niet affien kan zijn, want als dat zo was, wordt X bepaald door zijn coördinatenring en dus X = A ² .)
• Stel door de punten ( x  : 1) te identificeren met de punten x op A ¹ en ∞ = (1 : 0). Er is een automorfisme σ van P ¹ gegeven door σ(x : y) = (y : x); in het bijzonder wisselt σ 0 en ∞ uit. Als f een rationale functie is op P ¹ , dan${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}=\mathbf {A} ^{1}\cup \{\infty \}}$
  $${\displaystyle \sigma ^{\#}(f)=f(1/z)}$$

  
  en f is regelmatig op ∞ als en slechts dan als f (1/ z ) regelmatig is op nul.
• Als we het functieveld k ( V ) van een onherleidbare algebraïsche kromme V nemen , kunnen de functies F in het functieveld allemaal worden gerealiseerd als morfismen van V naar de projectieve lijn over k . (zie #Properties ) Het beeld zal ofwel een enkel punt zijn, of de hele projectieve lijn (dit is een gevolg van de volledigheid van projectieve variëteiten ). Dat wil zeggen, tenzij F feitelijk constant is, moeten we op sommige punten van V de waarde ∞ aan F toeschrijven .
• Voor alle algebraïsche varianten X , Y , de projectie
  $${\displaystyle p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x}$$

  
  is een morfisme van variëteiten. Als X en Y affien zijn, dan is het corresponderende ringhomomorfisme
  $${\displaystyle p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes _{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1}$$

  
  waar .${\displaystyle (f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)}$

Eigendommen

Een morfisme tussen variëteiten is continu met betrekking tot Zariski-topologieën op de bron en het doel.

Het beeld van een morfisme van variëteiten hoeft niet open of gesloten te zijn (het beeld van is bijvoorbeeld noch open noch gesloten). Men kan echter nog steeds zeggen: als f een morfisme tussen variëteiten is, dan bevat het beeld van f een open dichte deelverzameling van zijn sluiting. (zie constructieset .) ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\to \mathbf {A} ^{2},\,(x,y)\mapsto (x,xy)}$

Een morfisme f : X → Y van algebraïsche variëteiten wordt dominant genoemd als het een dicht beeld heeft. Voor zo'n f , als V een niet-lege open affiene deelverzameling van Y is , dan is er een niet-lege open affiene deelverzameling U van X zodat f ( U ) ⊂ V en dan injectief is. De dominante kaart f induceert dus een injectie op het niveau van functievelden: ${\displaystyle f^{\#}:k[V]\naar k[U]}$

${\ Displaystyle k (Y) = \ variinjlim k [V] \ hookrightarrow k (X), \, g \ mapsto g \ circ f}$

waarbij de limiet loopt over alle niet-lege open affiene subsets van Y . (Meer abstract is dit de geïnduceerde kaart van het residuveld van het generieke punt van Y naar dat van X .) Omgekeerd wordt elke opname van velden geïnduceerd door een dominante rationale kaart van X naar Y . De bovenstaande constructie bepaalt dus een contravariante-equivalentie tussen de categorie van algebraïsche variëteiten over een veld k en dominante rationale kaarten daartussen en de categorie van eindig gegenereerde velduitbreiding van k . ${\ Displaystyle k (Y) \ hookrightarrow k (X)}$

Als X een gladde volledige kromme is (bijvoorbeeld P ¹ ) en als f een rationale afbeelding is van X naar een projectieve ruimte P ^m , dan is f een reguliere afbeelding X → P ^m . In het bijzonder, wanneer X een gladde volledige kromme is, kan elke rationale functie op X worden gezien als een morfisme X → P ¹ en omgekeerd, een dergelijk morfisme als een rationale functie op X .

Op een normale variëteit (in het bijzonder een gladde variëteit ) is een rationele functie regelmatig als en slechts dan als deze geen polen van codimensie één heeft. Dit is een algebraïsche analoog van de extensiestelling van Hartogs . Er is ook een relatieve versie van dit feit; zie [2] .

Een morfisme tussen algebraïsche variëteiten dat een homeomorfisme is tussen de onderliggende topologische ruimten hoeft geen isomorfisme te zijn (een tegenvoorbeeld wordt gegeven door een Frobenius-morfisme) . Anderzijds, als f bijectief birationaal is en de doelruimte van f een normale variëteit is , dan is f dubbelregelig. (zie de belangrijkste stelling van Zariski .) ${\displaystyle t\mapsto t^{p}}$

Een reguliere kaart tussen complexe algebraïsche variëteiten is een holomorfe kaart . (Er is eigenlijk een klein technisch verschil: een gewone kaart is een meromorfe kaart waarvan de singuliere punten verwijderbaar zijn , maar het onderscheid wordt in de praktijk meestal genegeerd.) In het bijzonder is een normale kaart in de complexe getallen slechts een gebruikelijke holomorfe functie (complexe -analytische functie).

Morfismen naar een projectieve ruimte

Laten

${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{m}}$

een morfisme zijn van een projectieve variëteit naar een projectieve ruimte. Laat x een punt van X zijn . Dan is een i -de homogene coördinaat van f ( x ) niet nul; zeg, i = 0 voor de eenvoud. Dan, door continuïteit, is er een open affiene buurt U van x zodanig dat

${\displaystyle f:U\to \mathbf {P} ^{m}-\{y_{0}=0\}}$

is een morfisme, waarbij y _i de homogene coördinaten zijn. Let op de doelruimte de affiene ruimte A ^m door identificatie . Dus per definitie de beperking f | _U wordt gegeven door ${\displaystyle (a_{0}:\dots :a_{m})=(1:a_{1}/a_{0}:\dots :a_{m}/a_{0})\sim (a_{1 }/a_{0},\dots ,a_{m}/a_{0})}$

${\displaystyle f|_{U}(x)=(g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x))}$

waarbij g _i 's reguliere functies op U zijn . Aangezien X projectief is, is elke g _i een fractie van homogene elementen van dezelfde graad in de homogene coördinatenring k [ X ] van X . We kunnen de breuken zo rangschikken dat ze allemaal dezelfde homogene noemer hebben, zeg f ₀ . Dan kunnen we g _i = f _i / f _{0 schrijven} voor enkele homogene elementen f _i 's in k [ X ]. Dus, teruggaand naar de homogene coördinaten,

${\displaystyle f(x)=(f_{0}(x):f_{1}(x):\dots :f_{m}(x))}$

voor alle x in U en door continuïteit voor alle x in X zolang de f _i 's niet gelijktijdig bij x verdwijnen . Als ze gelijktijdig verdwijnen in een punt x van X , dan kan men met de bovenstaande procedure een andere reeks f _i 's kiezen die niet gelijktijdig verdwijnen bij x (zie opmerking aan het einde van de sectie).

In feite is de bovenstaande beschrijving geldig voor elke quasi-projectieve variëteit X , een open subvariëteit van een projectieve variëteit ; het verschil is dat f _i 's in de homogene coördinatenring van . ${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle {\overline {X}}}$

Opmerking : Het bovenstaande zegt niet dat een morfisme van een projectieve variëteit naar een projectieve ruimte wordt gegeven door een enkele reeks polynomen (in tegenstelling tot het affiene geval). Laat X bijvoorbeeld de kegelsnede zijn in P ² . Dan twee kaarten en eens over de open deelverzameling van X (sinds ) en zo een morfisme definieert . ${\displaystyle ^{2}=xz}$${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (x:y)}$${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (y:z)}$${\displaystyle \{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}}$${\displaystyle (x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)=(y:z)}$${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{1}}$

Vezels van een morfisme

Het belangrijke feit is:

In het rode boek van Mumford wordt de stelling bewezen door middel van het normalisatielemma van Noether . Voor een algebraïsche aanpak waarbij de generieke maalgraad speelt een belangrijke rol en het begrip " universeel bovenleiding ring " is een sleutel in het bewijs, zie Eisenbud, Ch. 14 van "Commutatieve algebra met het oog op algebraïsche meetkunde." In feite is het bewijs daar blijkt dat wanneer f is plat , dan de gelijkheidsdimensie in 2 van de stelling geldt in het algemeen (niet alleen generiek).

Graad van een eindig morfisme

Laat f : X → Y een eindig surjectief morfisme zijn tussen algebraïsche variëteiten over een veld k . De graad van f is dan per definitie de graad van de eindige velduitbreiding van het functieveld k ( X ) over f ^* k ( Y ). Door generieke maalgraad , er enige nonempty geopend deelverzameling U van Y zodanig dat de beperking van de structuur bundel O _X naar f ^-1 ( U ) is vrij als O _Y | _U- module . De graad van f is dan ook de rang van deze vrije module.

Als f is étale en als X , Y zijn voltooid , daarna naar coherente bundel F op Y , schrijven χ de Euler-karakteristiek,

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\deg(f)\chi (F).}$

(De Riemann-Hurwitz-formule voor een vertakte bekleding laat zien dat het "étale" hier niet kan worden weggelaten.)

In het algemeen, als f een eindig surjectief morfisme, indien X , Y zijn voltooid en F een coherente bundel op Y en vervolgens uit de Leray spectrale sequentie , krijgt men: ${\displaystyle \operatornaam {H} ^{p}(Y,R^{q}f_{*}f^{*}F)\Rightarrow \operatornaam {H} ^{p+q}(X,f^{ *}F)}$

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\sum _{q=0}^{\infty }(-1)^{q}\chi (R^{q}f_{*}f^{ *}F).}$

In het bijzonder, als F een tensormacht is van een lijnenbundel, en aangezien de ondersteuning van een positieve codimensie heeft als q positief is, heeft het vergelijken van de leidende termen: ${\displaystyle L^{\otimes n}}$${\displaystyle R^{q}f_{*}(f^{*}F)=R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\otimes L^{\otimes n} }$${\displaystyle R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \operatornaam {deg} (f^{*}L)=\operatornaam {deg} (f)\operatornaam {deg} (L)}$

(aangezien de generieke rang van de graad van f is .) ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

Als f étale is en k algebraïsch gesloten is, dan bestaat elke meetkundige vezel f ⁻¹ ( y ) exact uit deg( f ) punten.

Zie ook

• algebraïsche functie
• Glad morfisme
• Étale morfismen - De algebraïsche analoog van lokale diffeomorfismen .
• Resolutie van singulariteiten
• samentrekkingsmorfisme

Opmerkingen:

citaten

Referenties