De gemiddelde kwadraat verplaatsing - Mean squared displacement

In statistische mechanica , de gemiddelde gekwadrateerde verplaatsing ( MSD , ook mean square verplaatsing , gemiddeld kwadraat verplaatsing of gemiddelde kwadratische fluctuatie ) is een maat voor de afwijking van de positie van een deeltje ten opzichte van een referentiepositie tijd. Het is de meest voorkomende maat voor de ruimtelijke omvang van willekeurige beweging, en kan worden gezien als het meten van het systeem door de "verkend" willekeurige walker . Op het gebied van biofysica en milieu-engineering , wordt de Mean Squared verplaatsing in de tijd gemeten om te bepalen of een deeltje zich verspreidt uitsluitend het gevolg van diffusie , of indien een advectief kracht eveneens bijdraagt. Een ander relevant concept, de variantie-gerelateerde Diameter (VRD, die tweemaal de vierkantswortel van MSD), wordt ook gebruikt bij het bestuderen van de transport- en mengfenomenen op het gebied van milieu-engineering . Het blijkt duidelijk in de Debye-Waller factor (beschreven vibraties in de vaste toestand) en de Langevin vergelijking (beschrijft diffusie van een Brownse deeltje ). De MSD wordt gedefinieerd als

${\ Displaystyle {\ rm {MSD}} \ equiv \ langle (x-x_ {0}) ^ {2} \ rangle = {\ frac {1} {N}} \ som _ {n = 1} ^ {N } (x_ {n} (t) -x_ {n} (0)) ^ {2}}$

waarbij N het aantal deeltjes worden gemiddeld, is de referentiepositie van elk deeltje, is de positie van elk deeltje in bepaalde tijd t .${\ Displaystyle x_ {n} (0) = x_ {0}}$${\ Displaystyle x_ {n} (t)}$

Afleiding van de MSD een Brownse deeltje in 1D

De kansdichtheidsfunctie (pdf) voor een deeltje in één richting door het oplossen van de één-dimensionale diffusievergelijking . (Deze vergelijking bepaalt dat de positie kansdichtheid diffundeert in de tijd - dit is de methode die Einstein een Brownse deeltjes beschrijven andere methode om de beweging van een Brownse deeltjes beschreven werd door Langevin, nu bekend van het gelijknamige als. Langevin vergelijking .)

${\ Displaystyle {\ frac {\ partiële p (x, t \ mid x_ {0})} {\ partiële t}} = O {\ frac {\ gedeeltelijke ^ {2} p (x, t \ mid x_ {0 })} {\ gedeeltelijke x ^ {2}}}}$

gezien de beginvoorwaarde ; waarbij de positie van het deeltje op een bepaald moment, is beginpositie het gelabelde deeltje, en is de diffusieconstante van de SI-eenheden (een indirecte maat voor de snelheid van het deeltje). De bar in het argument van de momentane waarschijnlijkheid verwijst naar de conditionele kans. De diffusievergelijking dat de snelheid waarmee de waarschijnlijkheid van het vinden van het deeltje is positieafhankelijke. ${\ Displaystyle p (x_ {0} t = {0} \ mid x_ {0}) = \ delta (x-x_ {0})}$${\ Displaystyle x (t)}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle m ^ {2} s ^ {- 1}}$${\ Displaystyle x (t)}$

Het kan worden aangetoond dat de eendimensionale PDF is

${\ Displaystyle P (x, t) = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi Dt}}} \ exp \ linker (- {\ frac {(x-x_ {0}) ^ {2}} {4DT}} \ right).}$

Daarin staat dat de kans dat het deeltje is Gauss, en de breedte van de Gaussische tijdsafhankelijk is. Meer specifiek de volledige breedte bij half maximum (FWHM) (technisch / pedant, dit is eigenlijk de volledige duur op halve hoogte als de onafhankelijke variabele tijd) schubben ${\ Displaystyle x (t)}$

${\ Displaystyle {\ rm {FWHM}} \ sim {\ sqrt {t}}.}$

Met de PDF men in staat is het gemiddelde van een bepaalde functie af te leiden, op tijdstip : ${\ Displaystyle L}$${\ T} displaystyle$

${\ Displaystyle \ langle L (t) \ rangle \ eq \ _ {int - \ infty} ^ {\} infty L (x, t) P (x, t) \, dx,}$

waarbij het gemiddelde wordt genomen over alle ruimte (of toepasselijke variabele).

De gemiddelde kwadraat verplaatsing wordt gedefinieerd als

${\ Displaystyle {\ rm {MSD}} \ equiv \ langle (x (t) -x_ {0}) ^ {2} \ rangle,}$

breiden uit het ensemble gemiddelde

${\ Displaystyle \ langle (x-x_ {0}) ^ {2} \ rangle = \ langle x ^ {2} \ rangle + x_ {0} ^ {2} -2x_ {0} \ langle x \ rangle,}$

het schrappen van de expliciete tijdsafhankelijkheid notatie voor de duidelijkheid. De MSD te vinden, kan men een van de twee paden: men kan expliciet berekenen en , sluit het resultaat weer in de definitie van de MSD; of men kan het vinden momentgenererende functie , een zeer nuttige en algemene functie bij de behandeling van kansdichtheden. De momentgenererende functie beschrijft het moment van de PDF. Het eerste moment van de verplaatsing PDF bovenstaande eenvoudigweg het gemiddelde: . Het tweede moment wordt gegeven . ${\ Displaystyle \ langle x ^ {2} \} rangle$${\ Displaystyle \ langle x \} rangle$${\ Displaystyle k ^ {\ textrm {e}}}$${\ Displaystyle \ langle x \} rangle$${\ Displaystyle \ langle x ^ {2} \} rangle$

Zo dan, tot het moment-genererende functie vinden is het handig om het te introduceren karakteristieke functie:

${\ Displaystyle G (k) = \ langle e ^ {ikx} \ rangle \ eq \ _ int {I} e ^ {ikx} P (x, t \ mid x_ {0}) \, dx,}$

kan expanderen de exponentiële in de bovenstaande vergelijking te geven

${\ Displaystyle G (k) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(ik) ^ {m}} {m!}} \ Pm _ {m}.}$

Door de natuurlijke logaritme van de karakteristieke functie, wordt een nieuwe functie geproduceerd, de cumulant genererende functie ,

${\ Displaystyle \ ln (G (k)) = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(ik) ^ {m}} {m!}} \ Kappa _ {m}}$

waarbij de cumulant van . De eerste twee cumulanten zijn aan de eerste twee momenten, via en waarbij de tweede cumulante de zogenaamde variantie . Met deze definities goed voor een kan de momenten van de Brownse deeltje PDF te onderzoeken, ${\ Displaystyle \ kappa _ {m}}$${\ Displaystyle m {\ textrm {e}}}$ ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ kappa _ {1} = \ mu _ {1};}$${\ Displaystyle \ kappa _ {2} = \ mu _ {2} - \ mu _ {1} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ sigma ^ {2}}$

${\ Displaystyle G (k) = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi Dt}}} \ int _ {I} \ exp (ikx) \ exp \ linker (- {\ frac {(x-x_ {0}) ^ {2}} {4DT}} \ right) \, dx;}$

door het invullen van het plein en de totale oppervlakte kennen onder een Gauss men komt tot

${\ Displaystyle G (k) = \ exp (ikx_ {0} -k ^ {2} Dt).}$

Het nemen van de natuurlijke log, en het vergelijken van de bevoegdheden van de cumulante genererende functie, de eerste cumulant is ${\} Ik displaystyle$

${\ Displaystyle \ kappa _ {1} = x_ {0}}$

die zoals verwacht, namelijk dat de gemiddelde positie is de Gauss-centrum. De tweede is cumulant

${\ Displaystyle \ kappa _ {2} = 2DT, \,}$

de factor 2 komt van de faculteit factor in de noemer van de cumulant genererende functie. Hieruit wordt het tweede moment berekend,

${\ Displaystyle \ mu _ {2} = \ kappa _ {2} + \ mu _ {1} ^ {2} = 2DT + x_ {0} ^ {2}.}$

Het aansluiten van de resultaten van de eerste en tweede momenten terug, vindt men de MSD

${\ Displaystyle \ langle (x (t) -x_ {0}) ^ {2} \ rangle = 2DT.}$

MSD in experimenten

Experimentele methoden om te bepalen MSDs omvatten neutronenverstrooiing en fotonencorrelatiespectroscopie .

Het lineaire verband tussen de MSD en tijdstip t staat voor grafische methoden om de diffusiviteit constante bepalen D . Dit is vooral handig voor ruwe berekeningen van de diffusiviteit in milieu. In sommige atmosferische verspreidingsmodellen de relatie tussen MSD en de tijd t niet lineair. In plaats daarvan worden een reeks machtswetten empirisch die de variatie van de vierkantswortel van MSD versus wind afstand gewoonlijk gebruikt bij het bestuderen van de dispersie fenomeen.

Zie ook

• Wortel van het gemiddelde kwadratische afwijking van atomaire posities : het gemiddelde wordt genomen over een groep deeltjes in een keer, waarbij de MSD wordt genomen voor een enkel deeltje gedurende een tijdsinterval
• De gemiddelde kwadratische fout

Referenties