Lineaire functie (calculus) - Linear function (calculus)

Grafiek van de lineaire functie:

{\ displaystyle y (x) = - x + 2}

In calculus en aanverwante gebieden van de wiskunde is een lineaire functie van de reële getallen naar de reële getallen een functie waarvan de grafiek (in cartesiaanse coördinaten ) een lijn in het vlak is. De karakteristieke eigenschap van lineaire functies is dat wanneer de invoervariabele wordt gewijzigd, de verandering in de uitvoer evenredig is met de verandering in de invoer.

Lineaire functies zijn gerelateerd aan lineaire vergelijkingen .

Eigendommen

Een lineaire functie is een polynoomfunctie waarbij de variabele $x$ maximaal één graad heeft:

{\ displaystyle f (x) = ax + b}

Zo'n functie wordt lineair genoemd omdat de grafiek , de verzameling van alle punten in het cartesische vlak , een lijn is . De coëfficiënt a wordt de helling van de functie en van de lijn genoemd (zie hieronder). ${\ displaystyle (x, f (x))}$

Als de helling is , is dit een constante functie die een horizontale lijn definieert, die sommige auteurs uitsluiten van de klasse van lineaire functies. Met deze definitie zou de graad van een lineair polynoom precies één zijn, en de grafiek zou een lijn zijn die noch verticaal, noch horizontaal is. In dit artikel is dit echter vereist, dus constante functies worden als lineair beschouwd. ${\ displaystyle a = 0}$ ${\ displaystyle f (x) = b}$ ${\ displaystyle a \ neq 0}$

Als dan wordt gezegd dat de lineaire functie homogeen is . Een dergelijke functie definieert een lijn die door de oorsprong van het coördinatensysteem gaat, dat wil zeggen, het punt . In geavanceerde wiskundeteksten duidt de term lineaire functie vaak specifiek homogene lineaire functies aan, terwijl de term affiene functie wordt gebruikt voor het algemene geval, dat omvat . ${\ displaystyle b = 0}$ ${\ displaystyle (x, y) = (0,0)}$ ${\ displaystyle b \ neq 0}$

Het natuurlijke domein van een lineaire functie , de set van toegestane invoerwaarden voor $x$ , is de hele set van reële getallen . Men kan dergelijke functies ook beschouwen met $x$ in een willekeurig veld door de coëfficiënten $a, b$ in dat veld te nemen. ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}.}$

De grafiek is een niet-verticale lijn met precies één snijpunt met de $y-$ as, het $y-$ snijpunt ervan. De $y-$ snijpuntwaarde wordt ook wel de beginwaarde genoemd van Als de grafiek een niet-horizontale lijn is met precies één snijpunt met de $x$ -as, het $x-$ snijpunt De $x-$ snijpunt waarde de oplossing van de vergelijking wordt ook wel de wortel of nul van ${\ displaystyle y = f (x) = ax + b}$ ${\ displaystyle (x, y) = (0, b).}$ ${\ displaystyle y = f (0) = b}$ ${\ displaystyle f (x).}$ ${\ displaystyle a \ neq 0,}$ ${\ displaystyle (x, y) = (- {\ tfrac {b} {a}}, 0).}$ ${\ displaystyle x = - {\ tfrac {b} {a}},}$ ${\ displaystyle f (x) = 0,}$ ${\ displaystyle f (x).}$

Helling

De helling van een lijn is de verhouding tussen een verandering in

x

, aangegeven , en de overeenkomstige verandering in

y

, aangegeven

{\ displaystyle {\ tfrac {\ Delta y} {\ Delta x}}}

{\ displaystyle \ Delta x}

{\ displaystyle \ Delta y}

De helling van een niet-verticale lijn is een getal dat meet hoe steil de lijn scheef staat (stijging-over-run). Als de lijn de grafiek is van de lineaire functie , wordt deze helling gegeven door de constante $a$ . ${\ displaystyle f (x) = ax + b}$

De helling meet de constante snelheid van verandering per eenheid verandering in x : telkens wanneer de invoer $x$ wordt verhoogd met één eenheid, verandert de uitvoer met $een$ eenheid:, en meer in het algemeen voor elk getal . Als de helling positief is, neemt de functie toe; als , dan afneemt ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle f (x {+} 1) = f (x) + a}$ ${\ displaystyle f (x {+} \ Delta x) = f (x) + a \ Delta x}$ ${\ displaystyle \ Delta x}$ ${\ displaystyle a> 0}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle a <0}$ ${\ displaystyle f (x)}$

In calculus meet de afgeleide van een algemene functie de mate van verandering. Een lineaire functie heeft een constante veranderingssnelheid die gelijk is aan de helling $a$ , dus de afgeleide is de constante functie . ${\ displaystyle f (x) = ax + b}$ ${\ displaystyle f \, '(x) = a}$

Het fundamentele idee van differentiaalrekening is dat elke gladde functie (niet noodzakelijk lineair) dicht bij een bepaald punt kan worden benaderd door een unieke lineaire functie. De afgeleide is de helling van deze lineaire functie, en de benadering is: voor . De grafiek van de lineaire benadering is de raaklijn van de grafiek op het punt . De afgeleide helling varieert over het algemeen met het punt c . Lineaire functies kunnen worden gekarakteriseerd als de enige echte functies waarvan de afgeleide constant is: als voor alle x , dan voor . ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x = c}$ ${\ displaystyle f \, '(c)}$ ${\ displaystyle f (x) \ ca. f \, '(c) (x {-} c) + f (c)}$ ${\ displaystyle x \ circa c}$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ ${\ displaystyle (c, f (c))}$ ${\ displaystyle f \, '(c)}$ ${\ displaystyle f \, '(x) = a}$ ${\ displaystyle f (x) = ax + b}$ ${\ displaystyle b = f (0)}$

Helling-snijpunt, punt-helling en tweepunts vormen

Een gegeven lineaire functie kan in verschillende standaardformules worden geschreven die de verschillende eigenschappen ervan weergeven. De eenvoudigste is de vorm van het snijpunt van de helling : ${\ displaystyle f (x)}$

{\ displaystyle f (x) = ax + b}

van waaruit men onmiddellijk de helling a en de beginwaarde kan zien , het y- snijpunt van de grafiek . ${\ displaystyle f (0) = b}$ ${\ displaystyle y = f (x)}$

Gegeven een helling a en één bekende waarde , schrijven we de vorm van de punthelling : ${\ displaystyle f (x_ {0}) = y_ {0}}$

{\ displaystyle f (x) = a (x {-} x_ {0}) + y_ {0}}

In grafische termen geeft dit de lijn met een helling een doorgang door het punt . ${\ displaystyle y = f (x)}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$

De tweepuntsvorm begint met twee bekende waarden en . Men berekent de helling en voegt deze in de vorm van de punthelling in: ${\ displaystyle f (x_ {0}) = y_ {0}}$ ${\ displaystyle f (x_ {1}) = y_ {1}}$ ${\ displaystyle a = {\ tfrac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}}$

{\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} (x {-} x_ {0} \!) + y_ {0 }}

De grafiek is de unieke lijn die door de punten loopt . De vergelijking kan ook worden geschreven om de constante helling te benadrukken: ${\ displaystyle y = f (x)}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0} \!), (x_ {1}, y_ {1} \!)}$ ${\ displaystyle y = f (x)}$

{\ displaystyle {\ frac {y-y_ {0}} {x-x_ {0}}} = {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} }

Relatie met lineaire vergelijkingen

Lineaire functies komen gewoonlijk voort uit praktische problemen met variabelen met een lineaire relatie, dat wil zeggen, gehoorzamen aan een lineaire vergelijking . Als men deze vergelijking voor y kan oplossen , verkrijgt u ${\ displaystyle x, y}$ ${\ displaystyle Ax + By = C}$ ${\ displaystyle B \ neq 0}$

{\ displaystyle y = - {\ tfrac {A} {B}} x + {\ tfrac {C} {B}} = ax + b,}

waar we aanduiden en . Dat is, kan men overwegen y als afhankelijke variabele (output) verkregen van de onafhankelijke variabele (input) x via een lineaire functie: . In het xy -coördinatenvlak vormen de mogelijke waarden een lijn, de grafiek van de functie . Als in de oorspronkelijke vergelijking de resulterende regel verticaal is en niet kan worden geschreven als . ${\ displaystyle a = - {\ tfrac {A} {B}}}$ ${\ displaystyle b = {\ tfrac {C} {B}}}$ ${\ displaystyle y = f (x) = ax + b}$ ${\ displaystyle (x, y)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle B = 0}$ ${\ displaystyle x = {\ tfrac {C} {A}}}$ ${\ displaystyle y = f (x)}$

De kenmerken van de grafiek kunnen worden geïnterpreteerd in termen van de variabelen x en y . Het y- snijpunt is de beginwaarde op . De helling a meet de mate van verandering van de output y per eenheidsverandering in de input x . In de grafiek bewegen van één eenheid naar rechts (toenemende x door 1) verplaatst de y -waarde door een : namelijk . Negatieve helling a geeft een afname in y aan voor elke toename in x . ${\ displaystyle y = f (x) = ax + b}$ ${\ displaystyle y = f (0) = b}$ ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle f (x {+} 1) = f (x) + a}$

De lineaire functie heeft bijvoorbeeld een helling , een y- snijpunt en een x- snijpunt . ${\ displaystyle y = -2x + 4}$ ${\ displaystyle a = -2}$ ${\ displaystyle (0, b) = (0,4)}$ ${\ displaystyle (2,0)}$

Voorbeeld

Stel dat salami en worst € 6 en € 3 per kilo kosten, en we willen € 12 waard kopen. Hoeveel kunnen we van elk kopen? Als x kilo salami en y kilo worst in totaal € 12 kosten, dan is € 6 × x + € 3 × y = € 12. Oplossen voor y geeft de vorm met punthelling , zoals hierboven. Dat wil zeggen, als we eerst de hoeveelheid salami x kiezen , kan de hoeveelheid worst als functie worden berekend . Omdat salami twee keer zoveel kost als worst, wordt de worst door het toevoegen van één kilo salami met 2 kilo verminderd en is de helling -2. Het y- snijpunt komt overeen met het kopen van slechts 4 kg worst; terwijl het x- snijpunt overeenkomt met het kopen van slechts 2 kg salami. ${\ displaystyle y = -2x + 4}$ ${\ displaystyle y = f (x) = - 2x + 4}$ ${\ displaystyle f (x {+} 1) = f (x) -2}$ ${\ displaystyle (x, y) = (0,4)}$ ${\ displaystyle (x, y) = (2,0)}$

Merk op dat de grafiek punten bevat met negatieve waarden van x of y , die geen betekenis hebben in termen van de oorspronkelijke variabelen (tenzij we ons voorstellen dat we vlees aan de slager verkopen). Daarom moeten we onze functie beperken tot het domein . ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle 0 \ leq x \ leq 2}$

We kunnen ook y kiezen als de onafhankelijke variabele, en x berekenen met de inverse lineaire functie: over het domein . ${\ displaystyle x = g (y) = - {\ tfrac {1} {2}} y + 2}$ ${\ displaystyle 0 \ leq y \ leq 4}$

Relatie met andere klassen van functies

Als de coëfficiënt van de variabele niet nul is ( $a \neq 0$ ), dan wordt een lineaire functie weergegeven door een graad 1 polynoom (ook wel een lineaire polynoom genoemd ), anders is het een constante functie - ook een polynoomfunctie, maar van nul graden .

Een rechte lijn, getekend in een ander soort coördinatensysteem, kan andere functies vertegenwoordigen.

Het kan bijvoorbeeld een exponentiële functie vertegenwoordigen wanneer zijn waarden worden uitgedrukt in de logaritmische schaal . Het betekent dat wanneer $log (g (x))$ een lineaire functie is van $x$ , de functie $g$ exponentieel is. Bij lineaire functies zorgt het verhogen van de invoer met één eenheid ervoor dat de uitvoer met een vaste hoeveelheid toeneemt, wat de helling is van de grafiek van de functie. Bij exponentiële functies zorgt het verhogen van de invoer met één eenheid ervoor dat de uitvoer met een vast veelvoud toeneemt, dat bekend staat als de basis van de exponentiële functie.

Als beide argumenten en waarden van een functie op de logaritmische schaal staan (dwz wanneer $log (y)$ een lineaire functie is van $log (x)$ ), dan vertegenwoordigt de rechte lijn een machtswet :

{\ Displaystyle \ log _ {r} y = a \ log _ {r} x + b \ quad \ Rightarrow \ quad y = r ^ {b} \ cdot x ^ {a}}

Archimedes-spiraal gedefinieerd door de poolvergelijking r = ¹ / ₂ θ + 2

Aan de andere kant, de grafiek van een lineaire functie in termen van poolcoördinaten :

{\ displaystyle r = f (\ theta) = a \ theta + b}

is een Archimedische spiraal als en een cirkel anders. ${\ displaystyle a \ neq 0}$

Zie ook

Affine map , een generalisatie
Rekenkundige progressie , een lineaire functie van integer argument

Opmerkingen

Referenties

James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals , editie 7E, Brooks / Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
Swokowski, Earl W. (1983), Calculus met analytische meetkunde (Alternate red.), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0871503417

Languages

In other projects