Kernel (verzamelingenleer) - Kernel (set theory)

In de verzamelingenleer kan de kern van een functie f (of equivalentiekernel ) als een van beide worden beschouwd

• de equivalentierelatie op het domein van de functie die ruwweg het idee uitdrukt van "equivalent voor zover de functie f kan vertellen", of
• de overeenkomstige partitie van het domein.

Definitie

Voor de formele definitie, laat X en Y zijn sets en laat f een functie van X naar Y . Elementen x ₁ en x ₂ van X zijn equivalent als f ( x ₁ ) en f ( x ₂ ) gelijk zijn , dwz hetzelfde element van Y zijn . De kern van f is de aldus gedefinieerde equivalentierelatie.

Quotiënten

Zoals elke equivalentierelatie, kan de kernel worden gemodificeerd om een quotiëntenset te vormen , en de quotiëntenset is de partitie:

${\ Displaystyle \ left \ {\, \ left \ {\, w \ in X \ mid f (x) = f (w) \, \ right \} \ mid x \ in X \, \ right \}.}$

Deze quotiëntverzameling X / = _f wordt de coimage van de functie f genoemd en wordt coim f (of een variatie) genoemd. De coimage is van nature isomorf (in de verzameltheoretische zin van een bijectie ) met het beeld , im f ; specifiek komt de equivalentieklasse van x in X (wat een element is van coim f ) overeen met f ( x ) in Y (wat een element is van im f ).

Als een deelverzameling van het vierkant

Zoals elke binaire relatie , kan de kern van een functie worden gezien als een deelverzameling van de cartesiaanse product X × X . In deze gedaante, kan de kern worden aangeduid ker f (of een variant) en kunnen worden gedefinieerd als symbolisch

${\ displaystyle \ operatornaam {ker} f: = \ {(x, x ') \ mid f (x) = f (x') \}}$.

De studie van de eigenschappen van deze subset kan licht werpen op f .

In algebraïsche structuren

Indien X en Y zijn algebraïsche structuur van bepaalde vaste type (zoals groepen , ringen of vectorruimten ), en als de functie f van X tot Y is een homomorfisme , dan ker f een congruentie relatie (dat wil zeggen een equivalentierelatie dat Geschikt voor de algebraïsche structuur) en de coimage van f is een quotiënt van x . De bijectie tussen het coimage en het beeld van f is een isomorfisme in algebraïsche zin; dit is de meest algemene vorm van de eerste isomorfismestelling . Zie ook Kernel (algebra) .

In topologische ruimtes

Indien X en Y zijn topologische ruimten en f is een continue functie tussen ze en topologische eigenschappen van ker f kan licht werpen op de velden X en Y . Als Y bijvoorbeeld een Hausdorff-spatie is , dan moet ker f een gesloten verzameling zijn . Omgekeerd, als X een Hausdorff-ruimte is en ker f een gesloten verzameling is, dan moet de coimage van f , gegeven de quotiëntruimtetopologie , ook een Hausdorff-ruimte zijn.

Referenties

Bronnen

• Awodey, Steve (2010) [2006]. Categorie Theorie . Oxford Logic-handleidingen. 49 (2e ed.). Oxford Universiteit krant. ISBN 978-0-19-923718-0.