Euclidische relatie - Euclidean relation
In de wiskunde zijn Euclidische relaties een klasse van binaire relaties die " Axioma 1 " formaliseren in Euclides Elementen : "Grootten die gelijk zijn aan hetzelfde zijn gelijk aan elkaar".
Definitie
Een binaire relatie R op een verzameling X is Euclidisch (soms rechts Euclidisch genoemd ) als het aan het volgende voldoet: voor elke a , b , c in X , als a gerelateerd is aan b en c , dan is b gerelateerd aan c . Om dit in predikatenlogica te schrijven :
Tweevoudig, een relatie R op X is links euclidische als voor elke a , b , c in X , indien b heeft betrekking op een en c is gerelateerd aan een , dan b is gerelateerd aan c :
Eigendommen
- Vanwege de commutativiteit van ∧ in het antecedent van de definitie, impliceert aRb ∧ aRc zelfs bRc ∧ cRb wanneer R gelijk is Euclidisch. Evenzo BRA ∧ CRA houdt BRC ∧ CRB wanneer R Euclidische overblijft.
- De eigenschap om Euclidisch te zijn, verschilt van transitiviteit . ≤ is bijvoorbeeld transitief, maar niet rechts Euclidisch, terwijl xRy gedefinieerd door 0 ≤ x ≤ y + 1 ≤ 2 niet transitief is, maar rechts Euclidisch op natuurlijke getallen.
- Voor symmetrische relaties vallen transitiviteit, rechter Eucliditeit en linker Eucliditeit allemaal samen. Een niet-symmetrische relatie kan echter zowel transitief als rechts Euclidisch zijn, bijvoorbeeld xRy gedefinieerd door y = 0.
- Een relatie die zowel rechts Euclidisch als reflexief is, is ook symmetrisch en dus een equivalentierelatie . Evenzo is elke linkse Euclidische en reflexieve relatie een equivalentie.
- Het bereik van een rechter Euclidische relatie is altijd een subset van zijn domein . De beperking van een juiste Euclidische relatie tot zijn bereik is altijd reflexief en daarom een gelijkwaardigheid. Evenzo is het domein van een linkse Euclidische relatie een subset van zijn bereik, en de beperking van een linkse Euclidische relatie tot zijn domein is een gelijkwaardigheid.
- Een relatie R is zowel links als rechts Euclidisch, als, en alleen als, het domein en de reeks van R overeenkomen, en R een equivalentierelatie voor die reeks is.
- Een rechtse Euclidische relatie is altijd quasitransitief , en dat geldt ook voor een linkse Euclidische relatie.
- Een verbonden rechtse Euclidische relatie is altijd transitief; en zo is een verbonden linkse Euclidische relatie.
- Als X minstens 3 elementen heeft, kan een verbonden rechter Euclidische relatie R op X niet antisymmetrisch zijn , en evenmin kan een verbonden linkse Euclidische relatie op X zijn . Op de set van 2 elementen is X = {0, 1}, bijv. De relatie xRy gedefinieerd door y = 1 is verbonden, rechts Euclidisch en antisymmetrisch, en xRy gedefinieerd door x = 1 is verbonden, links Euclidisch en antisymmetrisch.
- Een relatie R op een verzameling X is juist Euclidisch als, en alleen als, de beperking R ' : = R | ran ( R ) is een equivalentie en voor elke x in X \ ran ( R ) zijn alle elementen waaraan x gerelateerd is onder R equivalent onder R ' . Evenzo blijft R op X Euclidisch als, en alleen als, R ' : = R | dom ( R ) is een equivalent en voor elke x in X \ dom ( R ) zijn alle elementen die gerelateerd zijn aan x onder R equivalent onder R ' .
- Een linkse Euclidische relatie is links-uniek als, en slechts als, het antisymmetrisch is . Evenzo is een juiste Euclidische relatie juist uniek als, en alleen als, het antisymmetrisch is.
- Een linkse Euclidische en een linkse unieke relatie is vacuüm transitief, en dat geldt ook voor een rechtse Euclidische en een rechtse unieke relatie.
- Een linkse Euclidische relatie blijft quasi-reflexief . Voor links-unieke relaties geldt ook het omgekeerde. Tweemaal is elke juiste Euclidische relatie juist quasi-reflexief, en elke juiste unieke en juiste quasi-reflexieve relatie is juist Euclidisch.
