Augmented matrix - Augmented matrix

In lineaire algebra is een augmented matrix een matrix die wordt verkregen door de kolommen van twee gegeven matrices toe te voegen, meestal om dezelfde elementaire rijbewerkingen uit te voeren op elk van de gegeven matrices.

Gegeven de matrices A en B , waarbij

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}},}$

de vergrote matrix ( A | B ) wordt geschreven als

${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{array}}\right].}$

Dit is handig bij het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen .

Voor een gegeven aantal onbekenden hangt het aantal oplossingen van een stelsel lineaire vergelijkingen alleen af ​​van de rangorde van de matrix die het systeem voorstelt en de rangorde van de overeenkomstige vergrote matrix. Specifiek, volgens de stelling van Rouché-Capelli , is elk stelsel van lineaire vergelijkingen inconsistent (heeft geen oplossingen) als de rangorde van de vergrote matrix groter is dan de rangorde van de coëfficiëntenmatrix ; als daarentegen de rijen van deze twee matrices gelijk zijn, moet het systeem minstens één oplossing hebben. De oplossing is uniek als en slechts als de rang gelijk is aan het aantal variabelen. Anders heeft de algemene oplossing k vrije parameters waarbij k het verschil is tussen het aantal variabelen en de rangorde; daarom zijn er in zo'n geval een oneindig aantal oplossingen.

Een augmented matrix kan ook worden gebruikt om de inverse van een matrix te vinden door deze te combineren met de identiteitsmatrix .

De inverse van een matrix vinden

Laat C de vierkante 2×2 matrix zijn

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}.}$

Om de inverse van C te vinden creëren we ( C | I ) waarbij I de 2×2 identiteitsmatrix is . Vervolgens reduceren we het deel van ( C | I ) dat overeenkomt met C tot de identiteitsmatrix met alleen elementaire rijbewerkingen op ( C | I ).

${\displaystyle (C|I)=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]}$

${\displaystyle (I|C^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{ 3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right]}$,

waarvan het rechterdeel de inverse is van de oorspronkelijke matrix.

Bestaan ​​en aantal oplossingen

Overweeg het systeem van vergelijkingen

${\displaystyle {\begin{uitgelijnd}x+y+2z&=2\\x+y+z&=3\\2x+2y+2z&=6.\end{uitgelijnd}}}$

De coëfficiëntenmatrix is

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$

en de augmented matrix is

${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&2\\1&1&1&3\\2&2&2&6\end{array}}\right].}$

Aangezien deze beide dezelfde rangorde hebben, namelijk 2, bestaat er tenminste één oplossing; en aangezien hun rang kleiner is dan het aantal onbekenden, waarvan de laatste 3 is, zijn er een oneindig aantal oplossingen.

Overweeg daarentegen het systeem

${\displaystyle {\begin{uitgelijnd}x+y+2z&=3\\x+y+z&=1\\2x+2y+2z&=5.\end{uitgelijnd}}}$

De coëfficiëntenmatrix is

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$

en de augmented matrix is

${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].}$

In dit voorbeeld heeft de coëfficiëntenmatrix rang 2 terwijl de augmented matrix rang 3 heeft; dus dit stelsel vergelijkingen heeft geen oplossing. Inderdaad, een toename van het aantal lineair onafhankelijke rijen heeft het systeem van vergelijkingen inconsistent gemaakt .

Oplossing van een lineair systeem

Zoals gebruikt in lineaire algebra, wordt een augmented matrix gebruikt om de coëfficiënten en de oplossingsvector van elke vergelijkingsset weer te geven. Voor de verzameling vergelijkingen

${\displaystyle {\begin{uitgelijnd}x+2y+3z&=0\\3x+4y+7z&=2\\6x+5y+9z&=11\end{uitgelijnd}}}$

de coëfficiënten en constante termen geven de matrices

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}},}$

en geef daarom de augmented matrix

${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right]}$.

Merk op dat de rangorde van de coëfficiëntenmatrix, die 3 is, gelijk is aan de rangorde van de vergrote matrix, dus er bestaat minstens één oplossing; en aangezien deze rang gelijk is aan het aantal onbekenden, is er precies één oplossing.

Om de oplossing te verkrijgen, kunnen rijbewerkingen worden uitgevoerd op de augmented matrix om de identiteitsmatrix aan de linkerkant te verkrijgen, wat resulteert in

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{array}}\right],}$

dus de oplossing van het systeem is ( x , y , z ) = (4, 1, -2).

Referenties

• Marvin Marcus en Henryk Minc, Een overzicht van matrixtheorie en matrixongelijkheden , Dover Publications , 1992, ISBN  0-486-67102-X . Pagina 31.