Funzione iniettiva

Esempio di funzione iniettiva non suriettiva .

In matematica , una funzione :

${\begin{allineato}f:X&\longrightarrow Y\\x&\longmapsto f(x)\end{allineato}}$

è iniettivo , uno per uno , se elementi diversi dell'insieme ( dominio ) corrispondono a elementi diversi nell'insieme ( codominio ) di , ovvero ogni elemento dell'insieme ha al massimo una preimmagine in , o, qual è lo stesso , nell'insieme non possono esserci due o più elementi che hanno la stessa immagine. $X$$Y$$F$$Y$$X$$X$

Ad esempio, la funzione

${\begin{allineato}f:\mathbb {R} &\to \mathbb {R} \\x&\mapsto x^{2}\end{allineato}}$

non è iniettivo perché il valore 4 può essere ottenuto come y ma se il dominio è ristretto a numeri reali positivi (ottenendo così una nuova funzione ) allora si ottiene una funzione di iniezione, si può eseguire un calcolo supremo. ${\ displaystyle f (2)}$${\ displaystyle f(-2)}$$g:\mathbb {R}++}\to \mathbb {R}++}$

Definizione

Sia una funzione il cui dominio è l'insieme , la funzione si dice iniettiva se per tutti e in , se allora , questo implica . In modo equivalente, se poi . simbolicamente, $F$$X$$F$$un$$b$$X$${\ displaystyle f (a) = f (b)}$${\ displaystyle a = b}$${\ displaystyle f (a) = f (b)}$${\ displaystyle a = b}$${\ displaystyle a \ neq b}$${\ displaystyle f (a) \ neq f (b)}$

${\ displaystyle \ forall \, a, b \ in X, \ \ f (a) = f (b) \ Longrightarrow a = b}$

che equivale al suo contrario

${\ displaystyle \ forall \, a, b \ in X, \ \ a \ neq b \ Longrightarrow f (a) \ neq f (b)}$

Per dimostrare che una funzione non è iniettiva, basta trovare due diversi valori del dominio, le cui immagini nel codominio sono uguali.

Esempi

• Per qualsiasi set e subset , la mappa di inclusione (che invia qualsiasi elemento a se stessa) è iniettiva. In particolare, la funzione identità è sempre iniettiva (e di fatto biiettiva).$X$${\ displaystyle S \ subseteq X}$ $da S\a X$$s\in s$ ${\ displaystyle da X \ a X}$
• La funzione definita da è iniettiva.${\ displaystyle h: \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R}}$$h(x)=x^{3}$
• La funzione definita da è iniettiva.${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f(x)=2x+1}$
• La funzione definita da non è iniettiva perché (ad esempio) . Tuttavia, se è ridefinito in modo tale che il suo dominio sia l'insieme dei numeri reali non negativi, allora è iniettivo.${\ displaystyle g: \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R}}$$g(x)=x^{2}$${\ displaystyle g(1)=1=g(-1)}$$g$${\ displaystyle [0, + \ infty )}$$g$
• La funzione esponenziale definita da è iniettiva (ma non suriettiva , perché non genera numeri negativi, che non hanno alcuna relazione con alcun valore di x).${\ displaystyle \ exp: \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R}}$$\exp(x)=e^{x}$
• La funzione del logaritmo naturale definita da è iniettiva.${\ displaystyle \ ln: (0, + \ infty ) \ a \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ mapsto \ ln x}$
• La funzione definita da non è iniettiva, poiché .${\ displaystyle g: \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R}}$$g(x)=x^{n}-x$${\ displaystyle g(0)=g(1)=0}$

Se e sono sottoinsiemi di , geometricamente, una funzione è iniettiva se il suo grafico non è mai intersecato da una linea orizzontale più di una volta. Questo principio è noto come test della linea orizzontale . ] $X$$Y$$\mathbb{R}$${\ displaystyle f: X \ a Y}$

Cardinalità e iniettività

Dati due insiemi e , tra i quali esiste una funzione iniettiva, hanno cardinali che soddisfano: $UN$$B.$$f:A\a B$

${\mbox{carta}}(A)\leq {\mbox{carta}}(B)$

Se esiste anche un'altra mappa iniettiva , allora si può dimostrare che esiste una mappa biiettiva tra A e B. ${\ displaystyle g: da B \ ad A}$

Iniettività nello spazio euclideo

Data una funzione continuamente differenziabile su un dominio di spazio euclideo n -dimensionale , possono essere stabilite condizioni necessarie e sufficienti per decidere quando questa funzione è iniettiva. Il teorema della funzione inversa fornisce una condizione non sufficiente affinché una funzione differenziabile sia localmente iniettiva: ${\ displaystyle \ mathbf {f} : \ Omega \ subset \ mathbb {R}<n} \ a \ mathbb {R}<n}}$

${\ displaystyle \ det D \ mathbf {f} \ neq 0}$

dove:

${\ displaystyle D \ mathbf {f}}$è la matrice Jacobiana della funzione.

${\ displaystyle \ det (\ cdot )}$è la funzione determinante .

Questa condizione non è una condizione sufficiente per garantire l'iniettività della funzione (infatti, non è nemmeno una condizione necessaria ). Per trovare condizioni sufficienti, il vettore di spostamento associato alla funzione è definito come il seguente campo vettoriale:

${\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) -\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} {n}}$

Questa funzione viene interpretata come la differenza tra la posizione iniziale di un punto e la posizione finale della sua immagine. Si può dimostrare che esiste una costante se: $\scriptstyle c(\Omega)$

$\max​​\mathbf {x} \in {\bar {\Omega}}}\|D\mathbf {u} (\mathbf {x})\|=\sup​​\mathbf {x} \in \Omega }\|D\mathbf {u} (\mathbf {x} )\|<c(\Omega )\leq 1$

Dove:

${\bar {\Omega}}$, è la chiusura topologica del dominio .$\Omega$

Allora la funzione è [globalmente] iniettiva, si può dimostrare che se il dominio è convesso , mentre un dominio non convesso richiede . $\scriptstyle c(\Omega) = 1$$\scriptstyle \Omega$$c(\Omega)<1$

Vedi anche

• funzione biettiva
• funzione suriettiva
• corrispondenza matematica
• carlini