Ordinale successore - Successor ordinal

Nella teoria degli insiemi , il successore di un numero ordinale α è il numero ordinale più piccolo maggiore di  α . Un numero ordinale che è un successore è chiamato ordinale successore .

Proprietà

Ogni ordinale diverso da 0 è un ordinale successore o un ordinale limite .

Nel modello di Von Neumann

Usando i numeri ordinali di von Neumann (il modello standard degli ordinali usato nella teoria degli insiemi), il successore S ( α ) di un numero ordinale α è dato dalla formula

${\ displaystyle S (\ alpha) = \ alpha \ cup \ {\ alpha \}.}$

Poiché l'ordinamento sui numeri ordinali è dato da α  <  β se e solo se α  ∈  β , è immediato che non c'è numero ordinale tra α e S ( α ), ed è anche chiaro che α  <  S ( α ) .

Aggiunta ordinale

L'operazione successore può essere utilizzata per definire l' addizione ordinale rigorosamente tramite ricorsione transfinita come segue:

${\ displaystyle \ alpha + 0 = \ alpha \!}$

${\ displaystyle \ alpha + S (\ beta) = S (\ alpha + \ beta)}$

e per un ordinale limite λ

${\ displaystyle \ alpha + \ lambda = \ bigcup _ {\ beta <\ lambda} (\ alpha + \ beta)}$

In particolare, S ( α ) = α + 1 . La moltiplicazione e l'elevamento a potenza sono definiti in modo simile.

Topologia

I punti successori e lo zero sono i punti isolati della classe dei numeri ordinali, rispetto alla topologia dell'ordine .

Guarda anche

• Aritmetica ordinale
• Limite ordinale
• Cardinale successore

Riferimenti