Numero quadrato - Square number

In matematica , un numero quadrato o quadrato perfetto è un intero che è il quadrato di un intero; in altre parole, è il prodotto di un numero intero con se stesso. Ad esempio, 9 è un numero quadrato, poiché è uguale a 3 ² e può essere scritto come 3 × 3 .

La notazione usuale per il quadrato di un numero n non è il prodotto n  ×  n , ma l' elevamento a potenza equivalente n ² , solitamente pronunciato come " n al quadrato". Il nome numero quadrato deriva dal nome della forma. L'unità di area è definita come l'area di un quadrato unitario ( 1 × 1 ). Quindi un quadrato di lato n ha area n ² . In altre parole, se un numero quadrato è rappresentato da n punti, i punti possono essere disposti in righe come un quadrato il cui lato ha lo stesso numero di punti della radice quadrata di n ; quindi, i numeri quadrati sono un tipo di numeri figurati (altri esempi sono i numeri di cubo e i numeri triangolari ).

I numeri quadrati sono non negativi . Un altro modo per dire che un intero (non negativo) è un numero quadrato è che la sua radice quadrata è di nuovo un intero. Ad esempio, quindi 9 è un numero quadrato. ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3,}$

Un numero intero positivo che non ha divisori quadrati perfetti tranne 1 è detto square-free .

Per un intero non negativo n , l' n- esimo numero quadrato è n ² , dove 0 ² = 0 è lo zero - esimo . Il concetto di quadrato può essere esteso ad altri sistemi numerici. Se sono inclusi i numeri razionali , un quadrato è il rapporto tra due interi quadrati e, al contrario, il rapporto tra due interi quadrati è un quadrato, ad esempio . ${\displaystyle \textstyle {\frac {4}{9}}=\sinistra({\frac {2}{3}}\destra)^{2}}$

A partire da 1, ci sono numeri quadrati fino a m incluso , dove l'espressione rappresenta il piano del numero  x . ${\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor}$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

Esempi

I quadrati (sequenza A000290 in OEIS ) minore di 60 ²  = 3600 sono:

La differenza tra qualsiasi quadrato perfetto e il suo predecessore è data dall'identità n ² − ( n − 1) ² = 2 n − 1 . Equivalentemente, è possibile contare i numeri quadrati sommando l'ultimo quadrato, la radice dell'ultimo quadrato e la radice corrente, cioè n ² = ( n − 1) ² + ( n − 1) + n .

Proprietà

Il numero m è un numero quadrato se e solo se si possono disporre m punti in un quadrato:

m = 1 2 = 1
m = 2 2 = 4
m = 3 2 = 9
m = 4 2 = 16
m = 5 2 = 25

L'espressione per l' n- esimo numero quadrato è n ² . Questo è anche uguale alla somma dei primi n numeri dispari come si può vedere nelle immagini sopra, dove un quadrato risulta dal precedente aggiungendo un numero dispari di punti (mostrato in magenta). La formula segue:

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}$

Ad esempio, 5 ² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 .

La somma dei primi n interi dispari è n ² . 1 + 3 + 5 + ... + (2 n − 1) = n ² . Visualizzazione 3D animata su un tetraedro.

Esistono diversi metodi ricorsivi per il calcolo dei numeri quadrati. Ad esempio, l' n- esimo numero quadrato può essere calcolato dal quadrato precedente con n ² = ( n − 1) ² + ( n − 1) + n = ( n − 1) ² + (2 n − 1) . In alternativa, l' n- esimo numero quadrato può essere calcolato dai due precedenti raddoppiando il ( n  − 1) esimo quadrato, sottraendo il ( n  − 2) esimo numero quadrato e aggiungendo 2, perché n ² = 2( n − 1) ² − ( n − 2) ² + 2 . Per esempio,

2 × 5 ² − 4 ² + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6 ² .

Un numero in meno di un quadrato ( m − 1) è sempre il prodotto di e (ad esempio, 8 × 6 è uguale a 48, mentre 7 ^{2 è} uguale a 49). Quindi, 3 è l'unico numero primo uno meno di un quadrato. ${\displaystyle {\sqrt {m}}-1}$${\displaystyle {\sqrt {m}}+1}$

Un numero quadrato è anche la somma di due numeri triangolari consecutivi . La somma di due numeri quadrati consecutivi è un numero quadrato centrato . Ogni quadrato dispari è anche un numero ottagonale centrato .

Un'altra proprietà di un numero quadrato è che (tranne 0) ha un numero dispari di divisori positivi, mentre altri numeri naturali hanno un numero pari di divisori positivi. Una radice intera è l'unico divisore che si accoppia con se stesso per produrre il numero quadrato, mentre gli altri divisori sono a coppie.

Il teorema dei quattro quadrati di Lagrange afferma che qualsiasi numero intero positivo può essere scritto come somma di quattro o meno quadrati perfetti. Tre quadrati non sono sufficienti per i numeri della forma 4 ^k (8 m + 7) . Un intero positivo può essere rappresentato come somma di due quadrati proprio se la sua scomposizione in fattori primi non contiene potenze dispari di numeri primi della forma 4 k + 3 . Questo è generalizzato dal problema di Waring .

In base 10 , un numero quadrato può terminare solo con le cifre 0, 1, 4, 5, 6 o 9, come segue:

• se l'ultima cifra di un numero è 0, il suo quadrato termina con 0 (infatti le ultime due cifre devono essere 00);
• se l'ultima cifra di un numero è 1 o 9, il suo quadrato termina con 1;
• se l'ultima cifra di un numero è 2 o 8, il suo quadrato termina con 4;
• se l'ultima cifra di un numero è 3 o 7, il suo quadrato termina con 9;
• se l'ultima cifra di un numero è 4 o 6, il suo quadrato termina con 6; e
• se l'ultima cifra di un numero è 5, il suo quadrato termina con 5 (infatti le ultime due cifre devono essere 25).

In base 12 , un numero quadrato può terminare solo con cifre quadrate (come in base 12, un numero primo può terminare solo con cifre prime o 1), cioè 0, 1, 4 o 9, come segue:

• se un numero è divisibile sia per 2 che per 3 (cioè divisibile per 6), il suo quadrato termina con 0;
• se un numero non è divisibile né per 2 né per 3, il suo quadrato termina in 1;
• se un numero è divisibile per 2, ma non per 3, il suo quadrato termina in 4; e
• se un numero non è divisibile per 2, ma per 3, il suo quadrato termina in 9.

Regole simili possono essere date per altre basi, o per cifre precedenti (per esempio, le decine invece delle unità). Tutte queste regole possono essere dimostrate controllando un numero fisso di casi e usando l'aritmetica modulare .

In generale, se un numero primo  p divide un numero quadrato  m, allora anche il quadrato di p deve dividere m ; se p non riesce a dividere m/P, allora m non è sicuramente quadrato. Ripetendo le divisioni della frase precedente, si conclude che ogni numero primo deve dividere un dato quadrato perfetto un numero pari di volte (incluso possibilmente 0 volte). Quindi, il numero m è un numero quadrato se e solo se, nella sua rappresentazione canonica , tutti gli esponenti sono pari.

Il test di squarity può essere utilizzato come metodo alternativo nella fattorizzazione di grandi numeri. Invece di verificare la divisibilità, verifica la squarosità: per dati m e un certo numero  k , se k ² − m è il quadrato di un intero  n allora k − n divide m . (Questa è un'applicazione della fattorizzazione di una differenza di due quadrati .) Ad esempio, 100 ² − 9991 è il quadrato di 3, quindi di conseguenza 100 − 3 divide 9991. Questo test è deterministico per divisori dispari nell'intervallo da k − da n a k + n dove k copre un certo intervallo di numeri naturali${\displaystyle k\geq {\sqrt {m}}.}$

Un numero quadrato non può essere un numero perfetto .

La somma dei primi n numeri quadrati è

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2} +\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.}$

I primi valori di tali somme, i numero piramidale quadrato , sono: (sequenza A000330 in OEIS )

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...

Dimostrazione senza parole per il teorema della somma dei numeri dispari

La somma dei primi interi dispari, che iniziano con uno, è un quadrato perfetto: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, ecc. Questo spiega la legge dei numeri dispari di Galileo : se un corpo cadendo da fermo copre un'unità di distanza nel primo intervallo di tempo arbitrario, copre 3, 5, 7 ecc. unità di distanza in intervalli di tempo successivi della stessa lunghezza. Da s = ut +1/2a ² , per u = 0 e costante a (accelerazione di gravità senza resistenza dell'aria); quindi s è proporzionale a t ² , e la distanza dal punto di partenza sono quadrati consecutivi per valori interi del tempo trascorso.

La somma degli n primi cubi è il quadrato della somma degli n primi interi positivi; questo è il teorema di Nicomaco .

Tutti i quarti poteri, i sesti poteri, gli ottavi poteri e così via sono quadrati perfetti.

Numeri quadrati pari e dispari

I quadrati di numeri pari sono pari (e infatti divisibili per 4), poiché (2 n ) ² = 4 n ² .

I quadrati dei numeri dispari sono dispari, poiché (2 n + 1) ² = 4( n ² + n ) + 1 .

Ne consegue che le radici quadrate dei numeri quadrati pari sono pari e le radici quadrate dei numeri quadrati dispari sono dispari.

Poiché tutti i numeri quadrati pari sono divisibili per 4, i numeri pari della forma 4 n + 2 non sono numeri quadrati.

Poiché tutti i numeri quadrati dispari sono della forma 4 n + 1 , i numeri dispari della forma 4 n + 3 non sono numeri quadrati.

I quadrati dei numeri dispari sono della forma 8 n + 1 , poiché (2 n + 1) ² = 4 n ( n + 1) + 1 e n ( n + 1) è un numero pari.

Ogni quadrato perfetto dispari è un numero ottagonale centrato . La differenza tra due quadrati dispari perfetti è un multiplo di 8. La differenza tra 1 e qualsiasi quadrato perfetto dispari superiore è sempre otto volte un numero triangolare, mentre la differenza tra 9 e qualsiasi quadrato perfetto dispari superiore è otto volte un numero triangolare meno otto. Poiché tutti i numeri triangolari hanno un fattore dispari, ma non esistono due valori di 2 ⁿ differiscono di una quantità contenente un fattore dispari, l'unico quadrato perfetto della forma 2 ⁿ − 1 è 1 e l'unico quadrato perfetto della forma 2 ⁿ + 1 è 9.

Casi speciali

• Se il numero è della forma m 5 dove m rappresenta le cifre precedenti, il suo quadrato è n 25 dove n = m ( m + 1) e rappresenta le cifre prima di 25. Ad esempio, il quadrato di 65 può essere calcolato con n = 6 × (6 + 1) = 42 che rende il quadrato uguale a 4225.
• Se il numero è della forma m 0 dove m rappresenta le cifre precedenti, il suo quadrato è n 00 dove n = m ² . Ad esempio, il quadrato di 70 è 4900.
• Se il numero ha due cifre ed è di forma 5 m dove m rappresenta la cifra delle unità, il suo quadrato è aabb dove AA = 25 + m e bb = m ² . Esempio: per calcolare il quadrato di 57, 25 + 7 = 32 e 7 ²  = 49, che significa 57 ²  = 3249.
• Se il numero finisce in 5, il suo quadrato finirà in 5; allo stesso modo per terminare con 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, ecc. Se il numero termina con 6, il suo quadrato finirà con 6, allo stesso modo per terminare con 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Ad esempio, il quadrato di 55376 è 3066501376, entrambi terminanti in 376 . (I numeri 5, 6, 25, 76, ecc. sono chiamati numeri automorfi . Sono la sequenza A003226 nell'OEIS .)

Guarda anche

Appunti

Ulteriori letture

• Conway, JH e Guy, RK Il Libro dei Numeri . New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN  0-387-97993-X
• Kiran Parulekar. Proprietà stupefacenti dei quadrati e dei loro calcoli . Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC&source=gbs_navlinks_s