Semigruppo - Semigroup

In matematica, un semigruppo è una struttura algebrica costituito da un insieme insieme ad un associativa un'operazione binaria .

L'operazione binaria di un semigruppo è più spesso denotata in modo moltiplicativo : x · y , o semplicemente xy , denota il risultato dell'applicazione dell'operazione del semigruppo alla coppia ordinata ( x , y ) . Associatività è formalmente espressa come quello ( x · y ) · z = x · ( y · z ) per tutti x , y e z nel semigruppo.

I semigruppi possono essere considerati un caso speciale di magmi , dove l'operazione è associativa, o come una generalizzazione di gruppi , senza richiedere l'esistenza di un elemento di identità o inversi. Come nel caso dei gruppi o dei magmi, l'operazione del semigruppo non deve essere commutativa , quindi x · y non è necessariamente uguale a y · x ; un noto esempio di operazione associativa ma non commutativa è la moltiplicazione matriciale . Se l'operazione del semigruppo è commutativa, allora il semigruppo è chiamato semigruppo commutativo o (meno spesso che nel caso analogo dei gruppi ) può essere chiamato semigruppo abeliano .

Un monoide è una struttura algebrica intermedia tra gruppi e semigruppi, ed è un semigruppo avente un elemento di identità , quindi obbedisce a tutti tranne uno degli assiomi di un gruppo: l'esistenza degli inversi non è richiesta a un monoide. Un esempio naturale sono le stringhe con la concatenazione come operazione binaria e la stringa vuota come elemento di identità. La limitazione a stringhe non vuote fornisce un esempio di un semigruppo che non è un monoide. Gli interi positivi con addizione formano un semigruppo commutativo che non è un monoide, mentre gli interi non negativi formano un monoide. Un semigruppo senza un elemento di identità può essere facilmente trasformato in un monoide semplicemente aggiungendo un elemento di identità. Di conseguenza, i monoidi sono studiati nella teoria dei semigruppi piuttosto che nella teoria dei gruppi. I semigruppi non devono essere confusi con i quasigruppi , che sono una generalizzazione di gruppi in una direzione diversa; non è necessario che l'operazione in un quasigruppo sia associativa, ma i quasigruppi preservano dai gruppi una nozione di divisione . La divisione in semigruppi (o in monoidi) non è in generale possibile.

Lo studio formale dei semigruppi iniziò all'inizio del XX secolo. I primi risultati includono un teorema di Cayley per i semigruppi che realizza qualsiasi semigruppo come semigruppo di trasformazione , in cui le funzioni arbitrarie sostituiscono il ruolo delle biiezioni dalla teoria dei gruppi. Un risultato profondo nella classificazione dei semigruppi finiti è la teoria di Krohn-Rhodes , analoga alla decomposizione di Jordan-Hölder per i gruppi finiti. Alcune altre tecniche per studiare i semigruppi, come le relazioni di Green , non assomigliano a nulla nella teoria dei gruppi.

La teoria dei semigruppi finiti è stata di particolare importanza nell'informatica teorica fin dagli anni '50 a causa del legame naturale tra semigruppi finiti e automi finiti tramite il monoide sintattico . Nella teoria della probabilità , i semigruppi sono associati ai processi di Markov . In altre aree della matematica applicata , i semigruppi sono modelli fondamentali per i sistemi lineari tempo-invarianti . Nelle equazioni alle derivate parziali , un semigruppo è associato a qualsiasi equazione la cui evoluzione spaziale è indipendente dal tempo.

Esistono numerose classi speciali di semigruppi , semigruppi con proprietà aggiuntive, che compaiono in particolari applicazioni. Alcune di queste classi sono ancora più vicine ai gruppi esibendo alcune proprietà aggiuntive, ma non tutte, di un gruppo. Di questi citiamo: semigruppi regolari , semigruppi ortodossi , semigruppi con involuzione , semigruppi inversi e semigruppi cancellativi . Ci sono anche interessanti classi di semigruppi che non contengono nessun gruppo eccetto il gruppo banale ; esempi di quest'ultimo tipo sono le bande e le loro sottoclassi commutative , i semireticoli , anch'essi strutture algebriche ordinate .

Strutture algebriche
Mi piace di gruppo Gruppo Semigruppo  / Monoide Rack e quandle Quasigruppo e loop gruppo abeliano Magma Gruppo di bugie Teoria dei gruppi
Anello -come Squillo Rng semiring Vicino-anello Anello commutativo Dominio integrale Campo Anello di divisione Teoria degli anelli
Lattice -like Reticolo semireticolo reticolo complementato Ordine totale Heyting algebra algebra booleana Mappa dei reticoli Teoria del reticolo
Modulo -come Modulo Gruppo con operatori Spazio vettoriale Algebra lineare
Algebra -come Algebra Associativo Non associativo Algebra di composizione Algebra della bugia Graduato bialgebra
v T e

Definizione

Un semigruppo è un set insieme con un'operazione binaria " " (cioè, una funzione ) che soddisfa la proprietà associativa : ${\displaystyle S}$${\displaystyle \cdot}$ ${\displaystyle \cdot :S\times S\rightarrow S}$

Per tutti vale l'equazione .${\displaystyle a,b,c\in S}$${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

Più brevemente, un semigruppo è un magma associativo .

Esempi di semigruppi

• Semigruppo vuoto : l' insieme vuoto forma un semigruppo con la funzione vuota come operazione binaria.
• Semigruppo con un elemento : ce n'è essenzialmente uno solo ( nello specifico, uno solo fino all'isomorfismo ), il singleton { a } con operazione a · a = a .
• Semigruppo con due elementi : sono cinque sostanzialmente diversi.
• Il monoide "flip-flop": un semigruppo con tre elementi che rappresentano le tre operazioni su un interruttore: imposta, ripristina e non fare nulla.
• L'insieme degli interi positivi con addizione. (Con 0 incluso, questo diventa un monoide .)
• L'insieme di numeri interi con minimo o massimo. (Con infinito positivo/negativo incluso, questo diventa un monoide.)
• Quadrati matrici non negative di una data dimensione di moltiplicazione matriciale.
• Qualsiasi ideale di un anello con la moltiplicazione dell'anello.
• L'insieme di tutte le stringhe finite su un alfabeto fisso con concatenazione di stringhe come operazione semigruppo - il cosiddetto " semigruppo libero su Σ". Con la stringa vuota inclusa, questo semigruppo diventa il monoide libero su .
• Una distribuzione di probabilità F insieme a tutte le potenze di convoluzione di F, con convoluzione come operazione. Questo è chiamato un semigruppo di convoluzione.
• Semigruppi e monoidi di trasformazione .
• L'insieme di funzioni continue da uno spazio topologico a se stesso con composizione di funzioni forma un monoide con la funzione identità che funge da identità. Più in generale, gli endomorfismi di qualsiasi oggetto di una categoria formano un monoide in composizione.
• Il prodotto di facce di una disposizione di iperpiani .

Concetti basilari

Identità e zero

Un'identità sinistro di un semigruppo (o più in generale, magma ) è un elemento tale che per tutti in , . Allo stesso modo, una giusta identità è un elemento tale che per tutti in , . Le identità di sinistra e di destra sono entrambe chiamate identità unilaterali . Un semigruppo può avere una o più identità di sinistra ma nessuna identità di destra e viceversa. ${\displaystyle S}$${\displaystyle e}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle ex=x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle xf=x}$

Un'identità su due lati (o solo l'identità ) è un elemento che è al tempo stesso una parte di sinistra e di identità destra. I semigruppi con un'identità bilaterale sono chiamati monoidi . Un semigruppo può avere al massimo un'identità bilaterale. Se un semigruppo ha un'identità a due lati, allora l'identità a due lati è l'unica identità a un lato nel semigruppo. Se un semigruppo ha sia un'identità sinistra che un'identità destra, allora ha un'identità bilaterale (che è quindi l'identità unilaterale unica).

Un semigruppo senza identità può essere incorporato in un monoide formata da un elemento adiacente al e definire per tutti . La notazione denota un monoide ottenuto dall'aggiunta di un'identità se necessario ( per un monoide). ${\displaystyle S}$${\displaystyle e\notin S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle e\cdot s=s\cdot e=s}$${\displaystyle s\in S\cup \{e\}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{1}=S}$

Allo stesso modo, ogni magma ha al massimo un elemento assorbente , che nella teoria dei semigruppi è chiamato zero . Analogamente alla costruzione precedente, per ogni semigruppo si può definire , un semigruppo con 0 che incorpora . ${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{0}}$${\displaystyle S}$

Sottosemigruppi e ideali

L'operazione semigruppo induce un'operazione sulla raccolta dei suoi sottoinsiemi: dati i sottoinsiemi A e B di un semigruppo S , il loro prodotto A · B , comunemente scritto AB , è l'insieme { ab | a in A e b in B }. (Questa nozione è definita in modo identico a come è per i gruppi .) In termini di questa operazione, un sottoinsieme A è chiamato

• un sottosemigruppo se AA è un sottoinsieme di A ,
• un ideale retto se AS è un sottoinsieme di A , e
• un ideale sinistro se SA è un sottoinsieme di A .

Se A è sia un ideale sinistro che un ideale destro, allora è chiamato ideale (o ideale a due lati ).

Se S è un semigruppo, allora anche l'intersezione di qualsiasi insieme di sottosemigruppi di S è un sottosemigruppo di S . Quindi i sottosemigruppi di S formano un reticolo completo .

Un esempio di semigruppo senza ideale minimo è l'insieme degli interi positivi in ​​addizione. L'ideale minimo di un semigruppo commutativo , quando esiste, è un gruppo.

Le relazioni di Green , un insieme di cinque relazioni di equivalenza che caratterizzano gli elementi in termini di ideali principali che generano, sono strumenti importanti per analizzare gli ideali di un semigruppo e le relative nozioni di struttura.

Il sottoinsieme con la proprietà che ogni elemento commuta con qualsiasi altro elemento del semigruppo è detto centro del semigruppo. Il centro di un semigruppo è in realtà un sottosemigruppo.

Omomorfismi e congruenze

Un omomorfismo di semigruppo è una funzione che conserva la struttura del semigruppo. Una funzione f : S → T tra due semigruppi è un omomorfismo se l'equazione

f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) .

vale per tutti gli elementi a , b in S , cioè il risultato è lo stesso quando si esegue l'operazione sui semigruppi dopo o prima dell'applicazione della mappa f .

Un omomorfismo di semigruppo tra monoidi conserva l'identità se è un omomorfismo di monoide . Ma ci sono omomorfismi di semigruppi che non sono omomorfismi monoidi, ad esempio l'incorporamento canonico di un semigruppo senza identità in . Le condizioni che caratterizzano gli omomorfismi monoidi sono discusse ulteriormente. Sia un omomorfismo di semigruppo. Anche l'immagine di è un semigruppo. Se è un monoide con un elemento di identità , allora è l'elemento di identità nell'immagine di . Se è anche un monoide con un elemento identità e appartiene all'immagine di , allora , cioè è un omomorfismo monoide. In particolare, se è suriettiva , allora è un omomorfismo monoide. ${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle f:S_{0}\to S_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle e_{0}}$${\displaystyle f(e_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(e_{0})=e_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Due semigruppi S e T sono detti isomorfi se esiste una biunivoca semigruppo omomorfismo f  : S → T . I semigruppi isomorfi hanno la stessa struttura.

Una congruenza di semigruppo è una relazione di equivalenza compatibile con l'operazione di semigruppo. Cioè, un sottoinsieme che è una relazione di equivalenza e e implica per ogni in S . Come ogni relazione di equivalenza, una congruenza di semigruppo induce classi di congruenza${\displaystyle\sim}$${\displaystyle \sim \;\subseteq S\times S}$${\displaystyle x\sim y\,}$${\displaystyle u\sim v\,}$${\displaystyle xu\sim yv\,}$${\displaystyle x,y,u,v}$${\displaystyle\sim}$

${\displaystyle [a]_{\sim }=\{x\in S\mid x\sim a\}}$

e l'operazione semigruppo induce un'operazione binaria sulle classi di congruenza: ${\displaystyle \circ}$

${\displaystyle [u]_{\sim }\circ [v]_{\sim }=[uv]_{\sim }}$

Poiché è una congruenza, l'insieme di tutte le classi di congruenza di forma un semigruppo con , chiamato semigruppo quoziente o semigruppo fattore , e denotato . La mappatura è un omomorfismo di semigruppi, chiamato mappa del quoziente , suriezione canonica o proiezione ; se S è un monoide allora il semigruppo quoziente è un monoide con identità . Viceversa, il nucleo di ogni omomorfismo di semigruppo è una congruenza di semigruppo. Questi risultati non sono altro che una particolarizzazione del primo teorema di isomorfismo in algebra universale . Le classi di congruenza ei monoidi di fattori sono oggetto di studio nei sistemi di riscrittura delle stringhe . ${\displaystyle\sim}$${\displaystyle\sim}$${\displaystyle \circ}$${\displaystyle S/\!\!\sim }$${\displaystyle x\mapsto [x]_{\sim }}$${\displaystyle [1]_{\sim }}$

Una congruenza nucleare su S è quella che è il nucleo di un endomorfismo di S .

Un semigruppo S soddisfa la condizione di massimo sulle congruenze se una qualsiasi famiglia di congruenze su S , ordinate per inclusione, ha un elemento di massimale. Per il lemma di Zorn , questo equivale a dire che vale la condizione della catena ascendente : non esiste una catena di congruenze strettamente ascendente infinita su S .

Ogni ideale I di un semigruppo induce un semigruppo fattore, il semigruppo fattore di Rees , tramite la congruenza ρ definita da x ρ y se x = y , o entrambi x e y sono in I .

Quozienti e divisioni

Le seguenti nozioni introducono l'idea che un semigruppo è contenuto in un altro.

Un semigruppo T è un quoziente di un semigruppo S se esiste un morfismo suriettivo di semigruppo da S a T . Ad esempio, è un quoziente di , utilizzando il morfismo consistente nel prendere il resto modulo 2 di un intero. ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z},+)}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z},+)}$

Un semigruppo T divide un semigruppo S , annotato se T è un quoziente di un sottosemigruppo S . In particolare, i sottosemigruppi di S dividono T , mentre non è detto che ci sia un quoziente di S . ${\displaystyle T\preceq S}$

Entrambe queste relazioni sono transitive.

Struttura dei semigruppi

Per ogni sottoinsieme A di S esiste un sottosemigruppo più piccolo T di S che contiene A , e si dice che A genera T . Un singolo elemento x di S genera il sottosemigruppo { x ⁿ | n ∈ Z ⁺ }. Se questo è finito, allora x si dice di ordine finito , altrimenti è di ordine infinito . Un semigruppo si dice periodico se tutti i suoi elementi sono di ordine finito. Un semigruppo generato da un singolo elemento si dice monogenico (o ciclico ). Se un semigruppo monogenico è infinito allora è isomorfo al semigruppo degli interi positivi con l'operazione di addizione. Se è finito e non vuoto, allora deve contenere almeno un idempotente . Ne segue che ogni semigruppo periodico non vuoto ha almeno un idempotente.

Un sottosemigruppo che è anche un gruppo è chiamato sottogruppo . Esiste una stretta relazione tra i sottogruppi di un semigruppo e i suoi idempotenti. Ogni sottogruppo contiene esattamente un idempotente, vale a dire l'elemento identità del sottogruppo. Per ogni idempotente e del semigruppo esiste un unico sottogruppo massimale contenente e . Ogni sottogruppo massimale nasce in questo modo, quindi c'è una corrispondenza biunivoca tra idempotenti e sottogruppi massimali. Qui il termine sottogruppo massimale differisce dal suo uso standard nella teoria dei gruppi.

Spesso si può dire di più quando l'ordine è finito. Ad esempio, ogni semigruppo finito non vuoto è periodico e ha un ideale minimo e almeno un idempotente. Il numero di semigruppi finiti di una data dimensione (maggiore di 1) è (ovviamente) maggiore del numero di gruppi della stessa dimensione. Ad esempio, delle sedici possibili "tavole di moltiplicazione" per un insieme di due elementi {a, b}, otto formano semigruppi mentre solo quattro di queste sono monoidi e solo due formano gruppi. Per ulteriori informazioni sulla struttura dei semigruppi finiti, vedere la teoria di Krohn-Rhodes .

Classi speciali di semigruppi

• Un monoide è un semigruppo con un elemento di identità .
• Un gruppo è un semigruppo con un elemento identità e un elemento inverso .
• Un sottosemigruppo è un sottoinsieme di un semigruppo chiuso nell'operazione semigruppo.
• Un semigruppo cancellativo è uno che ha la proprietà di cancellazione : a · b = a · c implica b = c e similmente per b · a = c · a .
• Una banda è un semigruppo il cui funzionamento è idempotente .
• Un semireticolo è un semigruppo la cui operazione è idempotente e commutativa .
• semigruppi 0-semplici .
• Semigruppi di trasformazione : ogni semigruppo finito S può essere rappresentato da trasformazioni di un insieme (di stato) Q di al più | S | + 1 stati. Ciascun elemento x di S quindi mappa Q in se stesso x : Q → Q e la successione xy è definita da q ( xy ) = ( qx ) y per ogni q in Q . La sequenza è chiaramente un'operazione associativa, qui equivalente alla composizione di funzioni . Questa rappresentazione è fondamentale per qualsiasi automa o macchina a stati finiti (FSM).
• Il semigruppo biciclico è infatti un monoide, che può essere descritto come il semigruppo libera su due generatori p e q , sotto la relazione pq = 1 .
• C _{0 -} semigruppi .
• Semigruppi regolari . Ogni elemento x ha almeno una y inversa che soddisfa xyx = x e yxy = y ; gli elementi x e y sono talvolta chiamati "mutualmente inversi".
• I semigruppi inversi sono semigruppi regolari in cui ogni elemento ha esattamente un inverso. In alternativa, un semigruppo regolare è inverso se e solo se due idempotenti commutano.
• Semigruppo affine: un semigruppo che è isomorfo a un sottosemigruppo finito di Z ^d . Questi semigruppi hanno applicazioni all'algebra commutativa .

Teorema di struttura per semigruppi commutativi

Esiste un teorema di struttura per i semigruppi commutativi in ​​termini di semireticoli . Un semireticolo (o più precisamente un semireticolo) è un insieme parzialmente ordinato in cui ogni coppia di elementi ha un limite inferiore massimo , denotato . L'operazione trasforma in un semigruppo che soddisfa la legge dell'idempotenza addizionale . ${\displaystyle (L,\leq)}$${\displaystyle a,b\in L}$${\displaystyle a\cuneo b}$${\displaystyle \cuneo}$${\displaystyle L}$${\displaystyle a\cuneo a=a}$

Dato un omomorfismo da un semigruppo arbitrario a un semireticolo, ogni immagine inversa è un semigruppo (possibilmente vuoto). Inoltre, diventa graduato da , nel senso che ${\displaystyle f:S\to L}$${\displaystyle S_{a}=f^{-1}\{a\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle S_{a}S_{b}\subseteq S_{a\cuneo b}.}$

Se è acceso, il semireticolo è isomorfo al quoziente di per la relazione di equivalenza tale che se e solo se . Questa relazione di equivalenza è una congruenza di semigruppo, come definita sopra. ${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle S}$${\displaystyle\sim}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$

Ogni volta che prendiamo il quoziente di un semigruppo commutativo per una congruenza, otteniamo un altro semigruppo commutativo. Il teorema di struttura dice che per ogni semigruppo commutativo , esiste una congruenza più fine tale che il quoziente di da questa relazione di equivalenza è un semireticolo. Indicando questo semilattice da , otteniamo un omomorfismo da sopra . Come accennato, diventa graduato da questo semireticolo. ${\displaystyle S}$${\displaystyle\sim}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$${\displaystyle S}$

Inoltre, i componenti sono tutti semigruppi di Archimede . Un semigruppo di Archimede è quello in cui, data una qualsiasi coppia di elementi , esiste un elemento e tale che . ${\displaystyle S_{a}}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle x^{n}=yz}$

La proprietà di Archimede segue immediatamente dall'ordinamento nel semireticolo , poiché con questo ordinamento si ha se e solo se per alcuni e . ${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$${\displaystyle x^{n}=yz}$${\displaystyle z}$${\displaystyle n>0}$

Gruppo di frazioni

Il gruppo di frazioni o completamento di gruppo di un semigruppo S è il gruppo G = G ( S ) generato dagli elementi di S come generatori e da tutte le equazioni xy = z che valgono in S come relazioni . Esiste un ovvio omomorfismo di semigruppi j  : S → G ( S ) che invia ogni elemento di S al generatore corrispondente. Questo ha una proprietà universale per i morfismi da S a un gruppo: dato qualsiasi gruppo H e qualsiasi omomorfismo di semigruppo k  : S → H , esiste un unico omomorfismo di gruppo f  : G → H con k = fj . Possiamo pensare a G come al gruppo "più generale" che contiene un'immagine omomorfa di S .

Una domanda importante è quella di caratterizzare quei semigruppi per i quali questa mappa è un'immersione. Non è necessario che sia sempre così: per esempio, supponiamo che S sia il semigruppo dei sottoinsiemi di qualche insieme X con intersezione insiemistica come operazione binaria (questo è un esempio di semireticolo). Dal momento che l' A . A = A vale per tutti gli elementi di S , questo deve essere vero anche per tutti i generatori di G ( S ): che è quindi il gruppo banale . È chiaramente necessario per l'incorporabilità che S abbia la proprietà di cancellazione . Quando S è commutativo anche questa condizione è sufficiente e il gruppo di Grothendieck del semigruppo fornisce una costruzione del gruppo di frazioni. Il problema per i semigruppi non commutativi può essere ricondotto al primo articolo sostanziale sui semigruppi. Anatoly Maltsev ha dato le condizioni necessarie e sufficienti per l'incorporabilità nel 1937.

Metodi dei semigruppi nelle equazioni alle derivate parziali

La teoria dei semigruppi può essere utilizzata per studiare alcuni problemi nel campo delle equazioni alle derivate parziali . In parole povere, l'approccio dei semigruppi consiste nel considerare un'equazione differenziale parziale dipendente dal tempo come un'equazione differenziale ordinaria su uno spazio di funzioni. Ad esempio, si consideri il seguente problema iniziale / contorno valore per l' equazione del calore sul spaziale intervallo (0, 1) ⊂ R e tempi t ≥ 0 :

${\displaystyle {\begin{casi}\partial _{t}u(t,x)=\partial _{x}^{2}u(t,x),&x\in (0,1),t> 0;\\u(t,x)=0,&x\in \{0,1\},t>0;\\u(t,x)=u_{0}(x),&x\in (0 ,1),t=0.\end{casi}}}$

Sia X = L ² ((0, 1) R ) lo spazio L ^p delle funzioni a valori reali integrabili al quadrato con dominio l'intervallo (0, 1) e sia A la derivata seconda con dominio

${\displaystyle D(A)={\big \{}u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R} ){\big |}u(0)=u(1)= 0{\grande \}},}$

dove H ² è uno spazio di Sobolev . Quindi il problema del valore iniziale/limite di cui sopra può essere interpretato come un problema del valore iniziale per un'equazione differenziale ordinaria sullo spazio X :

${\displaystyle {\begin{casi}{\dot {u}}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}.\end{casi}}}$

A livello euristico, la soluzione a questo problema "dovrebbe" essere u ( t ) = exp( tA ) u ₀ . Tuttavia, per una trattazione rigorosa, occorre dare un significato all'esponenziale di tA . In funzione di t , exp( tA ) è un semigruppo di operatori da X a se stesso, portando lo stato iniziale u ₀ al tempo t = 0 allo stato u ( t ) = exp( tA ) u ₀ al tempo t . L'operatore A si dice generatore infinitesimale del semigruppo.

Storia

Lo studio dei semigruppi è rimasto indietro rispetto a quello di altre strutture algebriche con assiomi più complessi come i gruppi o gli anelli . Diverse fonti attribuiscono il primo uso del termine (in francese) a J.-A. de Séguier in Élements de la Théorie des Groupes Abstraits (Elements of the Theory of Abstract Groups) nel 1904. Il termine è usato in inglese nel 1908 in Theory of Groups of Finite Order di Harold Hinton .

Anton Sushkevich ha ottenuto i primi risultati non banali sui semigruppi. Il suo articolo del 1928 "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit" ("Sui gruppi finiti senza la regola dell'invertibilità unica") determinò la struttura dei semigruppi semplici finiti e mostrò che l'ideale minimo (o le relazioni J-classe di Green ) di un semigruppo finito è semplice. Da quel momento in poi, le basi della teoria dei semigruppi furono ulteriormente poste da David Rees , James Alexander Green , Evgenii Sergeevich Lyapin , Alfred H. Clifford e Gordon Preston . Gli ultimi due pubblicarono una monografia in due volumi sulla teoria dei semigruppi rispettivamente nel 1961 e nel 1967. Nel 1970, un nuovo periodico chiamato Semigroup Forum (attualmente edito da Springer Verlag ) divenne una delle poche riviste matematiche interamente dedicate alla teoria dei semigruppi.

La teoria della rappresentazione dei semigruppi è stata sviluppata nel 1963 da Boris Schein utilizzando le relazioni binarie su un insieme A e la composizione delle relazioni per il prodotto dei semigruppi. In una conferenza algebrica nel 1972 Schein esaminò la letteratura su B _A , il semigruppo delle relazioni su A . Nel 1997 Schein e Ralph McKenzie hanno dimostrato che ogni semigruppo è isomorfo a un semigruppo transitivo di relazioni binarie.

Negli ultimi anni i ricercatori nel campo si sono specializzati con monografie dedicate che compaiono su importanti classi di semigruppi, come i semigruppi inversi , nonché monografie incentrate sulle applicazioni nella teoria degli automi algebrici , in particolare per gli automi finiti, e anche nell'analisi funzionale .

generalizzazioni

Strutture di gruppo
	Totalità	Associatività	Identità	invertibilità	commutatività
semigruppoide	Non necessario	Necessario	Non necessario	Non necessario	Non necessario
Piccola categoria	Non necessario	Necessario	Necessario	Non necessario	Non necessario
Groupoid	Non necessario	Necessario	Necessario	Necessario	Non necessario
Magma	Necessario	Non necessario	Non necessario	Non necessario	Non necessario
Quasigruppo	Necessario	Non necessario	Non necessario	Necessario	Non necessario
Magma unitario	Necessario	Non necessario	Necessario	Non necessario	Non necessario
Ciclo continuo	Necessario	Non necessario	Necessario	Necessario	Non necessario
Semigruppo	Necessario	Necessario	Non necessario	Non necessario	Non necessario
Semigruppo inverso	Necessario	Necessario	Non necessario	Necessario	Non necessario
monoide	Necessario	Necessario	Necessario	Non necessario	Non necessario
monoide commutativo	Necessario	Necessario	Necessario	Non necessario	Necessario
Gruppo	Necessario	Necessario	Necessario	Necessario	Non necessario
gruppo abeliano	Necessario	Necessario	Necessario	Necessario	Necessario
^α La chiusura, usata in molte fonti, è un assioma equivalente alla totalità, sebbene definita in modo diverso.

Se si abbandona l'assioma di associatività di un semigruppo, il risultato è un magma , che altro non è che un insieme M dotato di un'operazione binaria chiusa M × M → M .

Generalizzando in una direzione diversa, un semigruppo n -ario (anche n -semigruppo , semigruppo poliadico o semigruppo multiario ) è una generalizzazione di un semigruppo a un insieme G con un'operazione n -aria invece di un'operazione binaria. La legge associativa è generalizzata come segue: l'associatività ternaria è ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) , cioè la stringa abcde con tre elementi adiacenti tra parentesi. L'associatività n- aria è una stringa di lunghezza n + ( n − 1 ) con qualsiasi n elementi adiacenti racchiusi tra parentesi. Un semigruppo 2-ario è solo un semigruppo. Ulteriori assiomi portano a un gruppo n- ario .

Una terza generalizzazione è il semigruppoide , in cui viene revocato il requisito che la relazione binaria sia totale. Poiché le categorie generalizzano i monoidi allo stesso modo, un semigruppoide si comporta in modo molto simile a una categoria ma manca di identità.

Generalizzazioni infinite di semigruppi commutativi sono state talvolta considerate da vari autori.

Guarda anche

• Elemento assorbente
• Set biordinato
• Semigruppo vuoto
• Inverso generalizzato
• Elemento di identità
• Test di associatività della luce
• Semigruppo dinamico quantistico
• Anello semigruppo
• Inverso debole

Appunti

citazioni

Riferimenti

Riferimenti generali

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