Ideale primario - Primary ideal

In matematica , in particolare algebra commutativa , un ideale proprio Q di un anello commutativo A si dice primario se ogni volta che xy è un elemento di Q allora x o y ⁿ è anche un elemento di Q , per alcuni n  > 0. Ad esempio, nel anello degli interi Z , ( p ⁿ ) è un ideale primario se p è un numero primo.

La nozione di ideali primari è importante nella teoria degli anelli commutativi perché ogni ideale di un anello noetheriano ha una scomposizione primaria , cioè può essere scritto come un'intersezione di un numero finito di ideali primari. Questo risultato è noto come teorema di Lasker-Noether . Di conseguenza, un ideale irriducibile di un anello noetheriano è primario.

Esistono vari metodi per generalizzare gli ideali primari agli anelli non commutativi, ma l'argomento è più spesso studiato per gli anelli commutativi. Pertanto, si presume che gli anelli in questo articolo siano anelli commutativi con identità.

Esempi e proprietà

• La definizione può essere riformulata in maniera più simmetrica: un ideale è primario se, ogni volta , abbiamo o o . (Qui denota il radicale di .)${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle xy\in {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle y\in {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle x,y\in {\sqrt {\mathfrak {q}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {q}}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$
• Un Q ideale di R è primario se e solo se ogni divisore zero in R / Q è nilpotente. (Confronta questo con il caso degli ideali primi, dove P è primo se e solo se ogni divisore zero in R / P è effettivamente zero.)
• Qualsiasi ideale primo è primario, e inoltre un ideale è primo se e solo se è primario e semiprimo .
• Ogni ideale primario è primordiale .
• Se Q è un ideale primario, allora il radicale di Q è necessariamente un ideale primo P , e questo ideale è chiamato ideale primo associato di Q . In questa situazione, Q è detto P- primario .
  • D'altra parte, un ideale il cui radicale è primo non è necessariamente primario: per esempio, se , , e , allora è primo e , ma abbiamo , , e per ogni n > 0, quindi non è primario. La scomposizione primaria di è ; qui è -primario ed è -primario. ${\displaystyle R=k[x,y,z]/(xy-z^{2})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=({\overline {x}},{\overline {z}})}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}^{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {\ mathfrak {q}}} = {\ mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\overline {x}}{\overline {y}}={\overline {z}}^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}={\mathfrak {q}} }$${\displaystyle {\overline {x}}\not \in {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\overline {y}}^{n}\not \in {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle ({\overline {x}})\cap ({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}}) }$${\displaystyle ({\overline {x}})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle ({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})}$${\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {z}})}$
    • Un ideale il cui radicale è massimale , tuttavia, è primario.
    • Ogni ideale Q con radicale P è contenuto in un minimo P- ideale primario: tutti gli elementi a tali che ax  ∈  Q per qualche x  ∉  P . Il più piccolo P ideale -Primary contenente P ⁿ è chiamato il n esima potenza simbolica della P .
• Se P è un ideale primo massimale, allora qualsiasi ideale contenente una potenza di P è P- primario. Non tutti gli ideali P- primari devono essere potenze di P ; per esempio l'ideale ( x ,  y ² ) è P - primario per l'ideale P  = ( x ,  y ) nell'anello k [ x ,  y ], ma non è una potenza di P .
• Se A è un anello noetheriano e P un ideale primo, allora il nucleo di , la mappa da A alla localizzazione di A in P , è l'intersezione di tutti gli ideali P- primari.${\displaystyle A\to A_{P}}$
• Un prodotto finito non vuoto di ideali -primari è -primario, ma un prodotto infinito di ideali -primari può non essere -primario; poiché per esempio, in un anello locale noetheriano con ideale massimale , ( teorema di intersezione di Krull ) dove ciascuno è -primario. Infatti, in un anello noetheriano, un prodotto non vuoto di ideali -primari è -primario se e solo se esiste un numero intero tale che .${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle \cap _{n>0}{\mathfrak {m}}^{n}=0}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{n}\subset \cap _{i}Q_{i}}$

Note a piè di pagina

Riferimenti

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introduzione all'algebra commutativa , Westview Press, p. 50, ISBN 978-0-201-40751-8
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• Goldman, Oscar (1969), "Anelli e moduli di quozienti", Journal of Algebra , 13 : 10-47, doi : 10.1016/0021-8693(69)90004-0 , ISSN  0021-8693 , MR  0245608
• Gorton, Christine; Heatherly, Henry (2006), "Anelli e ideali primari generalizzati", Mathematica Pannonica , 17 (1): 17-28, ISSN  0865-2090 , MR  2215638
• Sugli ideali primordiali , Ladislas Fuchs
• Lesieur, L.; Croisot, R. (1963), Algèbre noethérienne non commutative (in francese), Mémor. Sci. Matematica, Fasc. CLIV. Gauthier-Villars & Cie, Editeur-Imprimeur-Libraire, Parigi, p. 119, MR  0155861

link esterno

• Ideale primario all'Enciclopedia della matematica