Metodo di linearizzazione locale - Local linearization method

Nell'analisi numerica , il metodo di linearizzazione locale (LL) è una strategia generale per la progettazione di integratori numerici per equazioni differenziali basata su una linearizzazione locale (a tratti) dell'equazione data su intervalli di tempo consecutivi. Gli integratori numerici vengono quindi definiti iterativamente come la soluzione dell'equazione lineare a tratti risultante alla fine di ogni intervallo consecutivo. Il metodo LL è stato sviluppato per una varietà di equazioni come le equazioni differenziali ordinarie , ritardate , casuali e stocastiche . Gli integratori LL sono componenti chiave nell'implementazione dei metodi di inferenza per la stima di parametri sconosciuti e variabili non osservate di equazioni differenziali date serie temporali di osservazioni (potenzialmente rumorose). Gli schemi LL sono ideali per affrontare modelli complessi in una varietà di campi come neuroscienze , finanza , gestione forestale , ingegneria di controllo , statistica matematica , ecc.

sfondo

Le equazioni differenziali sono diventate un importante strumento matematico per descrivere l'evoluzione temporale di diversi fenomeni, ad esempio la rotazione dei pianeti attorno al sole, la dinamica dei prezzi delle attività sul mercato, il fuoco dei neuroni, la propagazione di epidemie, ecc. poiché le soluzioni esatte di queste equazioni sono solitamente sconosciute, sono necessarie approssimazioni numeriche ad esse ottenute da integratori numerici. Attualmente, molte applicazioni in ingegneria e scienze applicate incentrate su studi dinamici richiedono lo sviluppo di integratori numerici efficienti che preservino, per quanto possibile, la dinamica di queste equazioni. Con questa motivazione principale, sono stati sviluppati gli integratori di Linearizzazione Locale.

Metodo di linearizzazione locale di ordine elevato

Il metodo di linearizzazione locale di ordine elevato (HOLL) è una generalizzazione del metodo di linearizzazione locale orientato a ottenere integratori di ordine elevato per equazioni differenziali che preservano la stabilità e la dinamica delle equazioni lineari. Gli integratori si ottengono dividendo, su intervalli di tempo consecutivi, la soluzione x dell'equazione originale in due parti: la soluzione z dell'equazione linearizzata localmente più un'approssimazione di ordine elevato del residuo . ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {x} - \ mathbf {z}}$

Schema di linearizzazione locale

Uno schema di linearizzazione locale (LL) è l' algoritmo ricorsivo finale che consente l'implementazione numerica di una discretizzazione derivata dal metodo LL o HOLL per una classe di equazioni differenziali.

Metodi LL per ODE

Considera l' equazione differenziale ordinaria d- dimensionale (ODE)

${\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x} \ left (t \ right)} {dt}} = \ mathbf {f} \ left (t, \ mathbf {x} \ left (t \ right) \ right ), \ qquad t \ in \ sinistra [t_ {0}, T \ destra], \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (4.1)}$

con condizione iniziale , dove è una funzione differenziabile. ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t_ {0}) = \ mathbf {x} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$

Sia una discretizzazione temporale dell'intervallo di tempo con passo massimo h tale che e . Dopo la linearizzazione locale dell'equazione (4.1) al passo temporale si ottiene la formula della variazione delle costanti ${\ displaystyle \ sinistra (t \ destra) _ {h} = \ {t_ {n}: n = 0, .., N \}}$ ${\ displaystyle [t_ {0}, T]}$ ${\ displaystyle t_ {n} <t_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle h_ {n} = t_ {n + 1} -t_ {n} \ leq h}$ ${\ displaystyle t_ {n}}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} (t_ {n} + h) = \ mathbf {x} (t_ {n}) + \ mathbf {\ phi} (t_ {n}, \ mathbf {x} (t_ {n }); h) + \ mathbf {r} (t_ {n}, \ mathbf {x} (t_ {n}); h),}$

dove

${\ displaystyle \ mathbf {\ phi} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; h) = \ int \ limits _ {0} ^ {h} e ^ {\ mathbf {f} _ { \ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) (hs)} (\ mathbf {f} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) + \ mathbf {f} _ {t} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) s) \, ds \ qquad}$

risulta dall'approssimazione lineare, e

${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; h) = \ int \ limits _ {0} ^ {h} e ^ {\ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) (hs)} \ mathbf {g} _ {n} (s, \ mathbf {x} (t_ {n} + s) ) \, ds, \ qquad \ qquad \ qquad (4.2)}$

è il residuo dell'approssimazione lineare. Qui, e denotano le derivate parziali di f rispetto alle variabili x e t , rispettivamente, e ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {t}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {g} _ {n} (s, \ mathbf {u}) = \ mathbf {f} (s, \ mathbf {u}) - \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) \ mathbf {u} - \ mathbf {f} _ {t} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) (s- t_ {n}) - \ mathbf {f} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) + \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf { z} _ {n}) \ mathbf {z} _ {n}.}$

Discretizzazione lineare locale

Per una discretizzazione temporale , la discretizzazione lineare locale dell'ODE (4.1) in ogni punto è definita dall'espressione ricorsiva ${\ displaystyle \ sinistra (t \ destra) _ {h}}$ ${\ Displaystyle t_ {n + 1} \ in \ sinistra (t \ destra) _ {h}}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n + 1} = \ mathbf {z} _ {n} + \ mathbf {\ phi} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; h_ {n }), \ qquad {\ text {con}} \ quad \ mathbf {z} _ {0} = \ mathbf {x} _ {0}. \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (4.3)}$

La discretizzazione lineare locale (4.3) converge con ordine 2 alla soluzione di ODE non lineari, ma corrisponde alla soluzione delle ODE lineari. La ricorsione (4.3) è anche nota come discretizzazione esponenziale di Eulero.

Discretizzazioni lineari locali di ordine elevato

Per una discretizzazione tempo un alto ordine lineare locale (HOLL) discretizzazione del ODE (4.1) in ciascun punto è definito dall'espressione ricorsiva ${\ displaystyle (t) _ {h},}$ ${\ displaystyle t_ {n + 1} \ in (t) _ {h}}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n + 1} = \ mathbf {z} _ {n} + \ mathbf {\ phi} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; h_ {n }) + {\ widetilde {\ mathbf {r}}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; h_ {n}), \ qquad {\ text {con}} \ quad \ mathbf { z} _ {0} = \ mathbf {x} _ {0}, \ qquad \ qquad \ qquad (4.4)}$

dove è un'approssimazione di ordine (> 2 ) alla r residua La discretizzazione HOLL (4.4) converge con ordine alla soluzione di ODE non lineari, ma corrisponde alla soluzione delle ODE lineari. ${\ displaystyle {\ tilde {r}}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle (cioè, \ left \ vert \ mathbf {r} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; h) - {\ widetilde {\ mathbf {r}}} (t_ {n} , \ mathbf {z} _ {n}; h) \ right \ vert \ propto h ^ {\ alpha +1}).}$ ${\ displaystyle \ alpha}$

Le discretizzazioni HOLL possono essere derivate in due modi: 1) (in quadratura) approssimando la rappresentazione integrale (4.2) di r ; e 2) (basato su integratore) utilizzando un integratore numerico per la rappresentazione differenziale di r definita da

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r} (t)} {dt}} = \ mathbf {q} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; t \ mathbf {, \ mathbf {r}} (t) \ mathbf {)}, \ qquad {\ text {con}} \ qquad \ mathbf {r} (t_ {n}) = \ mathbf {0,} \ qquad \ qquad \ qquad (4.5 )}$

per tutti , dove ${\ Displaystyle t \ in \ lbrack t_ {k}, t_ {k + 1}]}$

${\ Displaystyle \ mathbf {q} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; s \ mathbf {, \ xi}) = \ mathbf {f} (s, \ mathbf {z} _ {n } + \ mathbf {\ phi} \ sinistra (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; s-t_ {n} \ destra) + \ mathbf {\ xi}) - \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) \ mathbf {\ phi} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; s-t_ {n }) - \ mathbf {f} _ {t} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) (s-t_ {n}) - \ mathbf {f} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}).}$

Le discretizzazioni HOLL sono, ad esempio, le seguenti:

Discretizzazione di Runge Kutta localmente linearizzata

${\ Displaystyle \ qquad \ mathbf {z} _ {n + 1} = \ mathbf {z} _ {n} + \ mathbf {\ phi} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; h_ {n}) + h_ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {s} b_ {j} \ mathbf {k} _ {j}, \ quad {\ text {con}} \ quad \ mathbf {k } _ {i} = \ mathbf {q} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; {\ text {}} t_ {n} + c_ {i} h_ {n} \ mathbf {, } \ mathbf {} h_ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {i-1} a_ {ij} \ mathbf {k} _ {j}),}$

che si ottiene risolvendo (4.5) tramite uno schema di Runge-Kutta (RK) esplicito con stadio s con coefficienti . ${\ displaystyle \ mathbf {c} = \ left [c_ {i} \ right], \ mathbf {A} = \ left [a_ {ij} \ right] \ quad e \ quad \ mathbf {b} = \ left [ b_ {j} \ right]}$

Discretizzazione di Taylor lineare locale

{\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n + 1} = \ mathbf {z} _ {n} + \ mathbf {\ phi} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; h_ {n }) + \ int _ {0} ^ {h_ {n}} e ^ {(h_ {n} -s) \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} \ left (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n} \ right)} \ sum _ {j = 2} ^ {p} {\ frac {\ mathbf {c} _ {n, j}} {j!}} s ^ {j} \ , ds, {\ text {con}} \ mathbf {c} _ {n, j} = \ left ({\ frac {d ^ {j + 1} \ mathbf {x} (t)} {dt ^ {j +1}}} - \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) {\ frac {d ^ {j} \ mathbf {x} ( t)} {dt ^ {j}}} \ right) \ mid _ {t = \ mathbf {z} _ {n}},}

che risulta dall'approssimazione di in (4.2) per il suo ordine - p espansione di Taylor troncata . ${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {n}}$

Discretizzazione della propagazione esponenziale di tipo multistep

${\ textstyle \ mathbf {z} _ {n + 1} = \ mathbf {z} _ {n} + \ mathbf {\ phi} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; h) + h \ sum _ {j = 0} ^ {p-1} \ gamma _ {j} \ nabla ^ {j} \ mathbf {g} _ {n} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n }), \ quad con \ quad \ gamma _ {j} = (- 1) ^ {j} \ int \ limits _ {0} ^ {1} e ^ {(1- \ theta) h \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n})} \ left ({\ begin {array} {c} - \ theta \\ j \ end {array}} \ a destra) d \ theta,}$

che risulta dall'interpolazione di in (4.2) con un polinomio di grado p su , dove denota la j -esima differenza all'indietro di . ${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {n}}$ ${\ displaystyle t_ {n}, \ ldots, t_ {n-p + 1}}$ ${\ Displaystyle \ nabla ^ {j} \ mathbf {g} _ {n} (t_ {m}, \ mathbf {z} _ {m})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {g} _ {n} (t_ {m}, \ mathbf {z} _ {m})}$

Discretizzazione di propagazione esponenziale di tipo Runge Kutta

${\ textstyle \ mathbf {z} _ {n + 1} = \ mathbf {z} _ {n} + \ mathbf {\ phi} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; h) + h \ sum _ {j = 0} ^ {p-1} \ gamma _ {j, p} \ nabla ^ {j} \ mathbf {g} _ {n} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}), \ quad {\ text {con}} \ quad \ gamma _ {j, p} = \ int \ limits _ {0} ^ {1} e ^ {(1- \ theta) h \ mathbf { f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n})} \ left ({\ begin {array} {c} \ theta p \\ j \ end {array} } \ right) d \ theta,}$

che risulta dall'interpolazione di in (4.2) con un polinomio di grado p su , ${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {n}}$ ${\ displaystyle t_ {n}, \ ldots, t_ {n} + (p-1) h / p}$

Discretizzazione esponenziale di Adams linearizzata

${\ textstyle \ mathbf {z} _ {n + 1} = \ mathbf {z} _ {n} + \ mathbf {\ phi} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; h) + h \ sum _ {j = 1} ^ {p-1} \ sum _ {l = 1} ^ {j} {\ frac {\ gamma _ {j + 1}} {l}} \ nabla ^ {l} \ mathbf {g} _ {n} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}), \ quad {\ text {con}} \ quad \ gamma _ {j + 1} = (- 1) ^ {j + 1} \ int \ limits _ {0} ^ {1} e ^ {(1- \ theta) h \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} \ left (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n} \ right)} \ theta \ left ({\ begin {array} {c} - \ theta \\ j \ end {array}} \ right) d \ theta,}$

che risulta dall'interpolazione di in (4.2) da parte di un polinomio Hermite di grado p su . ${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {n}}$ ${\ displaystyle t_ {n}, \ ldots, t_ {n-p + 1}}$

Schemi di linearizzazione locale

Tutta l'implementazione numerica della discretizzazione LL (o di una HOLL) implica approssimazioni agli integrali della forma ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {\ phi}} _ {j}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {j}}$

${\ Displaystyle \ phi _ {j} (\ mathbf {A}, h) = \ int \ limits _ {0} ^ {h} e ^ {(hs) \ mathbf {A}} s ^ {j-1} \, ds, \ qquad j = 1,2 \ ldots,}$

dove A è una matrice d × d . Ogni implementazione numerica del LL (o di un HOLL) di qualsiasi ordine è genericamente chiamato schema di linearizzazione locale . ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n}}$

Calcolo di integrali che coinvolgono esponenziale di matrice

Tra una serie di algoritmi per calcolare gli integrali , sono preferiti quelli basati sulle approssimazioni razionali di sottospazi di Padé e Krylov per la matrice esponenziale. Per questo, un ruolo centrale è svolto dall'espressione ${\ displaystyle \ phi _ {j}}$

${\ Displaystyle \ sum \ nolimits _ {i = 1} ^ {l} \ phi _ {i} (\ mathbf {A}, h) \ mathbf {a} _ {i} = \ mathbf {L} e ^ { h \ mathbf {H}} \ mathbf {r},}$

dove sono i vettori d- dimensionali, ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {i}}$

${\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} & \ mathbf {v} _ {l} & \ mathbf {v} _ {l-1} & \ cdots & \ mathbf {v } _ {1} \\\ mathbf {0} & \ mathbf {0} & 1 & \ cdots & 0 \\\ mathbf {0} & \ mathbf {0} & 0 & \ ddots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & 1 \\\ mathbf {0} & \ mathbf {0} & 0 & \ cdots & 0 \ end {bmatrix}} \ in \ mathbb {R} ^ {(d + l) \ times (d + l)},}$

${\ displaystyle \ mathbf {L} = [\ mathbf {I} \ quad \ mathbf {0} _ {d \ times l}]}$ , Essendo il d matrice identità dimensionale. ${\ displaystyle \ mathbf {r} = [\ mathbf {0} _ {1 \ times (d + l-1)} \ quad 1] ^ {\ intercal},}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i} = \ mathbf {a} _ {i} (i-1)!}$ ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$

Se denota la ( p ; q ) - ravvicinamento Padé di e k è il più piccolo numero naturale tale che ${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {p, q} (2 ^ {- k} \ mathbf {H} h)}$ ${\ displaystyle e ^ {2 ^ {- k} \ mathbf {H} h}}$ ${\ displaystyle | 2 ^ {- k} \ mathbf {H} h | \ leq {\ frac {1} {2}}, quindi}$

${\ Displaystyle \ left \ vert \ sum \ nolimits _ {i = 1} ^ {l} \ phi _ {i} (\ mathbf {A}, h) \ mathbf {a} _ {i} - \ mathbf {L } \ left (\ mathbf {\ mathbf {P}} _ {p, q} (2 ^ {- k} \ mathbf {H} h) \ right) ^ {2 ^ {k}} \ mathbf {r} \ destra \ vert \ varpropto h ^ {p + q + 1}.}$

Se denota l' approssimazione di Krylov-Padé di (m; p; q; k) , allora ${\ Displaystyle \ mathbf {\ mathbf {k}} _ {m, k} ^ {p, q} (h, \ mathbf {H}, \ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle e ^ {h \ mathbf {H}} \ mathbf {r}}$

${\ Displaystyle \ left \ vert \ sum \ nolimits _ {i = 1} ^ {l} \ phi _ {i} (\ mathbf {A}, h) \ mathbf {a} _ {i} - \ mathbf {L \ mathbf {k}} _ {m, k} ^ {p, q} (h, \ mathbf {H}, \ mathbf {r}) \ right \ vert \ varpropto h ^ {\ min ({m, p + q + 1})},}$

dov'è la dimensione del sottospazio di Krylov. ${\ displaystyle m \ leq d}$

Schemi Order-2 LL

${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {n + 1} = \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {L} (\ mathbf {P} _ {p, q} (2 ^ {- k_ {n }} \ mathbf {M} _ {n} h_ {n})) ^ {2 ^ {k_ {n}}} \ mathbf {r,}}$ ${\ displaystyle \ qquad \ qquad (4.6)}$

dove le matrici , L e r sono definite come ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {n} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) & \ mathbf {f} _ {t} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) & \ mathbf {f} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) \\ 0 & 0 & 1 \ \ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ in \ mathbb {R} ^ {(d + 2) \ times (d + 2)},}$

${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ left [{\ begin {array} {ll} \ mathbf {I} & \ mathbf {0} _ {d \ times 2} \ end {array}} \ right]}$ e con . Per grandi sistemi di ODE ${\ displaystyle \ mathbf {r} ^ {\ intercal} = \ left [{\ begin {array} {ll} \ mathbf {0} _ {1 \ times (d + 1)} & 1 \ end {array}} \ giusto]}$ ${\ displaystyle p + q> 1}$

${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {n + 1} = \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {L \ mathbf {k}} _ {m_ {n}, k_ {n}} ^ {p , q} (h_ {n}, \ mathbf {M} _ {n}, \ mathbf {r}) \ mathbf {,} \ qquad {\ text {con}} \ qquad m_ {n}> 2.}$

Schemi Order-3 LL-Taylor

${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {n + 1} = \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {L} _ {1} (\ mathbf {P} _ {p, q} (2 ^ { -k_ {n}} \ mathbf {T} _ {n} h_ {n})) ^ {2 ^ {k_ {n}}} \ mathbf {r} _ {1} \ mathbf {,}}$ ${\ displaystyle \ qquad \ qquad (4.7)}$

dove per le ODE autonome le matrici e sono definite come ${\ displaystyle \ mathbf {T} _ {n}, \ mathbf {L} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {T} _ {n} = \ left [{\ begin {array} {cccc} \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (\ mathbf {y} _ {n}) & (\ mathbf {I} \ otimes \ mathbf {f} ^ {\ intercal} (\ mathbf {y} _ {n})) \ mathbf {f} _ {\ mathbf {xx}} (\ mathbf {y} _ {n}) \ mathbf {f} (\ mathbf {y} _ {n}) & \ mathbf {0} & \ mathbf {f} (\ mathbf {y} _ {n}) \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right] \ in \ mathbb {R} ^ {(d + 3) \ times (d + 3)},}$

${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {1} = \ left [{\ begin {array} {ll} \ mathbf {I} & \ mathbf {0} _ {d \ times 3} \ end {array}} \ destra] \ quad e \ quad \ mathbf {r} _ {1} ^ {\ intercal} = \ sinistra [{\ begin {array} {ll} \ mathbf {0} _ {1 \ times (d + 2)} & 1 \ end {array}} \ right]}$ . Qui, denota la derivata seconda di f rispetto a x , e p + q> 2 . Per grandi sistemi di ODE ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {\ mathbf {xx}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {n + 1} = \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {L \ mathbf {k}} _ {m_ {n}, k_ {n}} ^ {p , q} (h_ {n}, \ mathbf {T} _ {n}, \ mathbf {r}) \ mathbf {,} \ qquad {\ text {con}} \ qquad m_ {n}> 3.}$

Schemi Order-4 LL-RK

${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {n + 1} = \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {u} _ {4} + {\ frac {h_ {n}} {6}} (2 \ mathbf {k} _ {2} +2 \ mathbf {k} _ {3} + \ mathbf {k} _ {4}), \ quad}$ ${\ displaystyle \ qquad \ qquad (4.8)}$

dove

${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {j} = \ mathbf {L} (\ mathbf {P} _ {p, q} (2 ^ {- \ kappa _ {j}} \ mathbf {M} _ {n } c_ {j} h_ {n})) ^ {2 ^ {\ kappa _ {j}}} \ mathbf {r}}$

e

${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {j} = \ mathbf {f} \ left (t_ {n} + c_ {j} h_ {n}, \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {u} _ {j} + c_ {j} h_ {n} \ mathbf {k} _ {j-1} \ right) - \ mathbf {f} \ left (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n} \ right) - \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} \ left (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n} \ right) \ mathbf {u} _ {j} \ - \ mathbf {f} _ {t} \ sinistra (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n} \ destra) c_ {j} h_ {n},}$

con e p + q> 3 . Per grandi sistemi di ODE, il vettore nello schema sopra è sostituito da con ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {1} \ equiv \ mathbf {0}, c = \ left [{\ begin {array} {cccc} 0 & {\ frac {1} {2}} & {\ frac { 1} {2}} & 1 \ end {array}} \ right],}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {j}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {j} = \ mathbf {L \ mathbf {k}} _ {m_ {j}, k_ {j}} ^ {p, q} (c_ {j} h_ {n} , \ mathbf {M} _ {n}, \ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle m_ {j}> 4.}$

Schema di Runge-Kutta linearizzato localmente di Dormand e Prince

${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {n + 1} = \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {u} _ {s} + h_ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {s } b_ {j} \ mathbf {k} _ {j} \ qquad {\ text {e}} \ qquad {\ widehat {\ mathbf {y}}} _ {n + 1} = \ mathbf {y} _ { n} + \ mathbf {u} _ {s} + h_ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {s} {\ widehat {b}} _ {j} \ mathbf {k} _ {j}, \ quad}$ ${\ displaystyle \ qquad \ qquad (4.9)}$

dove s = 7 è il numero di stadi,

${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {j} = \ mathbf {f (} t_ {n} + c_ {j} h_ {n}, \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {u} _ { j} + h_ {n} \ sum _ {i = 1} ^ {s-1} a_ {j, i} \ mathbf {k} _ {i}) - \ mathbf {f} \ left (t_ {n} , \ mathbf {y} _ {n} \ right) - \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} \ left (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n} \ right) \ mathbf { u} _ {j} \ - \ mathbf {f} _ {t} \ sinistra (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n} \ destra) c_ {j} h_ {n},}$

con , e sono i coefficienti Runge-Kutta di Dormand e principe e p + q > 4. Il vettore nello schema sopra riportato è calcolato un'approssimazione Padé o Krylor-Padé per sistemi piccoli o grandi di ODE, respectivelly. ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {1} \ equiv \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle a_ {j, i}, b_ {j}, {\ widehat {b}} _ {j} \ quad e \ quad c_ {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {j}}$

Stabilità e dinamica

Fig.1 Ritratto di fase (linea tratteggiata) e ritratto di fase approssimativo (linea continua) dell'ODE non lineare (4.10) - (4.11) calcolato dallo schema LL di ordine 2 (4.2), lo schema Rugen-Kutta classico di ordine 4 RK 4 , e l'ordine-4 LLRK 4 regimi (4.8) con passo h = 1/2, e p = q = 6.

Per costruzione, le discretizzazioni LL e HOLL ereditano la stabilità e la dinamica delle ODE lineari, ma non è il caso degli schemi LL in generale. Con i sistemi di LL (4.6) - (4.9) sono A -STABLE . Con q = p + 1 o q = p + 2, anche gli schemi LL (4.6) - (4.9) sono L -stable . Per le ODE lineari, gli schemi LL (4.6) - (4.9) convergono con ordine p + q . Inoltre, con p = q = 6 e = d , tutti gli schemi LL sopra descritti danno luogo al ″ calcolo esatto ″ (fino alla precisione dell'aritmetica in virgola mobile ) di ODE lineari sugli attuali personal computer. Ciò include equazioni lineari rigide e altamente oscillatorie. Inoltre, gli schemi LL (4.6) - (4.9) sono regolari per le ODE lineari ed ereditano la struttura simplettica degli oscillatori armonici hamiltoniani . Questi schemi LL preservano anche la linearizzazione e mostrano una migliore riproduzione delle varietà stabili e instabili attorno a punti di equilibrio iperbolico e orbite periodiche che altri schemi numerici con la stessa scala. Ad esempio, la Figura 1 mostra il ritratto di fase delle ODE ${\ Displaystyle p \ leq q \ leq p + 2}$ ${\ displaystyle m_ {n}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {dx_ {1}} {dt}} = - 2x_ {1} + x_ {2} + 1- \ mu f (x_ {1}, \ lambda) \ qquad \ qquad (4.10) \\ [6pt] & {\ frac {dx_ {2}} {dt}} = x_ {1} -2x_ {2} + 1- \ mu f (x_ {2}, \ lambda) \ qquad \ qquad \ quad (4.11) \ end {allineato}}}

con , e , e la sua approssimazione mediante vari schemi. Questo sistema ha due punti stazionari stabili e un punto stazionario instabile nella regione . ${\ displaystyle f (u, \ lambda) = u (1 + u + \ lambda u ^ {2}) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ mu = 15}$ ${\ displaystyle \ lambda = 57}$ ${\ displaystyle 0 \ leq x_ {1}, x_ {2} \ leq 1}$

Metodi LL per DDE

Considera l' equazione differenziale del ritardo d- dimensionale (DDE)

${\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x} (t)} {dt}} = \ mathbf {f} (t, \ mathbf {x} (t), \ mathbf {x} _ {t} (- \ tau _ {1}), \ ldots, \ mathbf {x} _ {t} (- \ tau _ {m})), \ qquad t \ in [t_ {0}, T], \ qquad \ qquad ( 5.1)}$

con m ritardi costanti e condizione iniziale per tutti dove f è una funzione derivabile, la funzione segmento definita come ${\ displaystyle \ tau _ {i}> 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {t_ {0}} (s) = \ mathbf {\ varphi} (s)}$ ${\ displaystyle s \ in [- \ tau, 0],}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {t}: [- \ tau, 0] \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {d}}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {t} (s): = \ mathbf {x} (t + s), {\ text {}} s \ in [- \ tau, 0],}$

poiché tutto è una funzione data, e ${\ displaystyle t \ in [t_ {0}, T], \ mathbf {\ varphi}: [- \ tau, 0] \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ Displaystyle \ tau = \ max \ left \ {\ tau _ {1}, \ ldots, \ tau _ {m} \ right \}.}$

Discretizzazione lineare locale

Per una discretizzazione temporale , la discretizzazione lineare locale della DDE (5.1) in ogni punto è definita dall'espressione ricorsiva ${\ displaystyle (t) _ {h}}$ ${\ displaystyle t_ {n + 1} \ in (t) _ {h}}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n + 1} = \ mathbf {z} _ {n} + \ Phi (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}, h_ {n}; {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {1}, \ ldots, {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {m}), \ qquad \ qquad (5.2)}$

dove

${\ displaystyle \ Phi (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}, h_ {n}; {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {1}, \ ldots, {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {m}) = \ int \ limits _ {0} ^ {h_ {n}} e ^ {\ mathbf {A} _ {n} (h_ {n} -u)} \ left [\ sum \ limits _ {i = 1} ^ {m} \ mathbf {B} _ {n} ^ {i} ({\ widetilde {\ mathbf { z}}} _ {t_ {n}} ^ {i} (u- \ tau _ {i}) - {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {i} (- \ tau _ {i})) + \ mathbf {d} _ {n} \ right] \, du + \ int \ limits _ {0} ^ {h_ {n}} \ int \ limits _ {0} ^ {u } e ^ {\ mathbf {A} _ {n} (h_ {n} -u)} \ mathbf {c} _ {n} \, dr \, du}$

${\ displaystyle {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {i}: \ left [- \ tau _ {i}, 0 \ right] \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ { d}}$ è la funzione segmento definita come

${\ displaystyle {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {i} (s): = {\ widetilde {\ mathbf {z}}} ^ {i} (t_ {n} + s), {\ text {}} s \ in [- \ tau _ {i}, 0],}$

ed è un'approssimazione adatta a tutto ciò che qui, ${\ displaystyle {\ widetilde {\ mathbf {z}}} ^ {i}: \ left [t_ {n} - \ tau _ {i}, t_ {n} \ right] \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ { d}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}$ ${\ Displaystyle t \ in \ lbrack t_ {n} - \ tau _ {i}, t_ {n}]}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {\ mathbf {z}}} ^ {i} (t_ {n}) = \ mathbf {z} _ {n}.}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {n} = \ mathbf {f} _ {x} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}, {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {1} (- \ tau _ {1}), \ ldots, {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {m} (- \ tau _ {d})), {\ text {}} \ mathbf {B} _ {n} ^ {i} = \ mathbf {f} _ {x_ {t} (- \ tau _ {i})} (t_ { n}, \ mathbf {z} _ {n}, {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {1} (- \ tau _ {1}), \ ldots, {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {m} (- \ tau _ {d}))}$

sono matrici costanti e

${\ Displaystyle \ mathbf {c} _ {n} = \ mathbf {f} _ {t} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}, {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {1} (- \ tau _ {1}), \ ldots, {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {m} (- \ tau _ {d})) {\ text {e}} \ mathbf {d} _ {n} = \ mathbf {f (} t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}, {\ widetilde {\ mathbf { z}}} _ {t_ {n}} ^ {1} (- \ tau _ {1}), \ ldots, {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {m} (- \ tau _ {d}))}$

sono vettori costanti. denotano, rispettivamente, le derivate parziali di f rispetto alle variabili t e x, e . La discretizzazione lineare locale (5.2) converge alla soluzione di (5.1) con ordine se approssima con ordine per tutti . ${\ Displaystyle \ mathbf {f} _ {t}, \ mathbf {f} _ {x} \ quad e \ quad \ mathbf {f} _ {x_ {t} (- \ tau _ {i})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {t} (- \ tau _ {i})}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ min \ {2, r \},}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {t_ {n}} ^ {i}}$ ${\ Displaystyle r \ quad (ovvero \ left \ vert \ mathbf {z} _ {t_ {n}} ^ {i} \ mathbf {(} u- \ tau _ {i} \ mathbf {)} - {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {i} \ mathbf {(} u- \ tau _ {i} \ mathbf {)} \ right \ vert \ propto h_ {n} ^ { r}}$ ${\ Displaystyle u \ in \ lbrack 0, h_ {n}])}$

Schemi di linearizzazione locale

Fig. 2 Percorsi approssimativi del Marchuk et al. (1991) modello immunitario antivirale descritto da un sistema rigido di DDE non lineari a dieci dimensioni con cinque ritardi temporali: schema di Runge-Kutta (2,3) superiore e continuo ; botom, schema LL (5.3). Step-size h = 0,01 fisso e p = q = 6.

A seconda delle approssimazioni e dell'algoritmo per calcolare differenti schemi di Linearizzazione Locale possono essere definiti. Ogni implementazione numerica di una discretizzazione lineare locale è genericamente chiamata schema di linearizzazione locale . ${\ displaystyle {\ widetilde {\ mathbf {z}}} _ {t_ {n}} ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ phi}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n}}$

Schemi LL polinomiali di ordine 2

${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {n + 1} = \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {L} (\ mathbf {P} _ {p, q} (2 ^ {- k_ {n }} \ mathbf {M} _ {n} h_ {n})) ^ {2 ^ {k_ {n}}} \ mathbf {r,} \ quad}$ ${\ displaystyle \ qquad (5.3)}$

dove le matrici e sono definite come ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n}, \ mathbf {L}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {n} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {n} & \ mathbf {c} _ {n} + \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {m} \ mathbf {B} _ {n} ^ {i} \ mathbf {\ alpha} _ {n} ^ {i} & \ mathbf {d} _ {n} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix }} \ in \ mathbb {R} ^ {(d + 2) \ times (d + 2)},}$

${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ left [{\ begin {array} {ll} \ mathbf {I} & \ mathbf {0} _ {d \ times 2} \ end {array}} \ right]}$ e , e . Qui, le matrici , , e sono definiti come nella (5.2), ma sostituendo da e dove ${\ displaystyle \ mathbf {r} ^ {\ intercal} = \ left [{\ begin {array} {ll} \ mathbf {0} _ {1 \ times (d + 1)} & 1 \ end {array}} \ destra], h_ {n} \ leq \ tau}$ ${\ displaystyle p + q> 1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {n} ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ alpha} _ {n} ^ {i} = (\ mathbf {y} (t_ {n + 1} - \ tau _ {i}) - \ mathbf {y} (t_ {n} - \ tau _ {i})) / h_ {n},}$

${\ Displaystyle \ mathbf {y} \ left (t \ right) = \ mathbf {y} _ {n_ {t}} + \ mathbf {L} (\ mathbf {P} _ {p, q} (2 ^ { -k_ {n}} \ mathbf {M} _ {n_ {t}} (t-t_ {n_ {t}}))) ^ {2 ^ {k_ {n}}} \ mathbf {r},}$

con , è l' approssimazione lineare locale alla soluzione di (5.1) definita attraverso lo schema LL (5.3) per tutti e da per . Per grandi sistemi di DDE ${\ displaystyle n_ {t} = \ max \ {n = 0,1,2, ...,: t_ {n} \ leq t {\ text {e}} t_ {n} \ in \ left (t \ destra) _ {h} \}}$ ${\ displaystyle t \ in \ lbrack t_ {0}, t_ {n}]}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y} \ sinistra (t \ destra) = \ mathbf {\ varphi} \ sinistra (t \ destra)}$ ${\ displaystyle t \ in \ left [t_ {0} - \ tau, t_ {0} \ right]}$

${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {n + 1} = \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {L \ mathbf {k}} _ {m_ {n}, k_ {n}} ^ {p , q} (h_ {n}, \ mathbf {M} _ {n}, \ mathbf {r}) \ quad e \ quad \ mathbf {y} \ left (t \ right) = \ mathbf {y} _ { n_ {t}} + \ mathbf {L \ mathbf {k}} _ {m_ {n_ {t}}, k_ {n_ {t}}} ^ {p, q} (t-t_ {n_ {t}} , \ mathbf {M} _ {n_ {t}}, \ mathbf {r}),}$

con e . La Fig. 2 illustra la stabilità dello schema LL (5.3) e di quella di uno schema esplicito di ordine simile nell'integrazione di un sistema rigido di DDE. ${\ displaystyle p + q> 1}$ ${\ displaystyle m_ {n}> 2}$

Metodi LL per RDE

Considera l' equazione differenziale casuale d- dimensionale (RDE)

{\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x} \ left (t \ right)} {dt}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {x} (t), \ mathbf {\ xi} (t) ), \ quad t \ in \ sinistra [t_ {0}, T \ destra], \ qquad \ qquad \ qquad (6.1)}

con condizione iniziale dove è un processo stocastico continuo finito separabile k- dimensionale e f è una funzione differenziabili. Supponiamo che sia data una realizzazione (percorso) di . ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t_ {0}) = \ mathbf {x} _ {0},}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ xi}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ xi}}$

Discretizzazione lineare locale

Per una discretizzazione temporale , la discretizzazione lineare locale dell'RDE (6.1) in ogni punto è definita dall'espressione ricorsiva ${\ displaystyle \ sinistra (t \ destra) _ {h}}$ ${\ Displaystyle t_ {n + 1} \ in \ sinistra (t \ destra) _ {h}}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n + 1} = \ mathbf {z} _ {n} + \ mathbf {\ phi} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; h_ {n }), \ qquad {\ text {con}} \ qquad \ mathbf {z} _ {0} = \ mathbf {x} _ {0},}$

dove

${\ displaystyle \ mathbf {\ phi} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; h_ {n}) = \ int \ limits _ {0} ^ {h_ {n}} e ^ {\ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (\ mathbf {z} _ {n}, \ mathbf {\ xi} (t_ {n})) (h_ {n} -u)} (\ mathbf {f (z} _ {n}, \ mathbf {\ xi} (t_ {n})) + \ mathbf {f} _ {\ mathbf {\ xi}} (\ mathbf {z} _ {n}, \ mathbf { \ xi} (t_ {n})) ({\ widetilde {\ mathbf {\ xi}}} (t_ {n} + u) - {\ widetilde {\ mathbf {\ xi}}} (t_ {n}) )) \, du}$

ed è un'approssimazione al processo per tutti Qui, e denota le derivate parziali di rispetto a e , rispettivamente. ${\ displaystyle {\ widetilde {\ mathbf {\ xi}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ xi}}$ ${\ Displaystyle t \ in \ sinistra [t_ {0}, T \ destra].}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {\ xi}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ xi}$

Schemi di linearizzazione locale

Fig. 3 Ritratto di fase delle traiettorie degli schemi di Eulero e LL nell'integrazione degli RDE non lineari (6.2) - (6.3) con dimensione del passo h = 1/32 e p = q = 6.

A seconda delle approssimazioni al processo e dell'algoritmo da calcolare , possono essere definiti diversi schemi di Linearizzazioni Locali. Ogni implementazione numerica della discretizzazione lineare locale è genericamente chiamata schema di linearizzazione locale. ${\ displaystyle {\ widetilde {\ mathbf {\ xi}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ xi}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ phi}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n}}$

Schemi LL

{\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {n + 1} = \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {L} (\ mathbf {P} _ {p, q} (2 ^ {- k_ {n }} \ mathbf {M} _ {n} h_ {n})) ^ {2 ^ {k_ {n}}} \ mathbf {r,} \ quad}

dove le matrici sono definite come ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n}, \ quad \ mathbf {L} \ quad e \ quad \ mathbf {r}}$

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n} = \ left [{\ begin {array} {ccc} \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} \ left (\ mathbf {y} _ {n} , \ mathbf {\ xi} (t_ {n}) \ right) & \ mathbf {f} _ {\ mathbf {\ xi}} (\ mathbf {y} _ {n}, \ mathbf {\ xi} (t_ {n}) (\ mathbf {\ xi} (t_ {n + 1}) - \ mathbf {\ xi} (t_ {n})) / h_ {n} & \ mathbf {f} \ left (\ mathbf { y} _ {n}, \ mathbf {\ xi} (t_ {n}) \ right) \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right]}$

${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ left [{\ begin {array} {ll} \ mathbf {I} & \ mathbf {0} _ {d \ times 2} \ end {array}} \ right]}$ , E p + q> 1 . Per grandi sistemi di RDE, ${\ displaystyle \ mathbf {r} ^ {\ intercal} = \ left [{\ begin {array} {ll} \ mathbf {0} _ {1 \ times (d + 1)} & 1 \ end {array}} \ giusto]}$

${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {n + 1} = \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {L \ mathbf {k}} _ {m_ {n}, k_ {n}} ^ {p , q} (h_ {n}, \ mathbf {M} _ {n}, \ mathbf {r}), \ quad p + q> 1 \ quad e \ quad m_ {n}> 2.}$

Il tasso di convergenza di entrambi gli schemi è , dove è l'esponente della condizione di Holder di . ${\ displaystyle min \ {2,2 \ gamma \}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ xi}}$

La figura 3 presenta il ritratto di fase dell'RDE

${\ displaystyle {\ frac {dx_ {1}} {dt}} = - x_ {2} + \ left (1-x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} \ right) x_ { 1} \ sin (w ^ {H} (t)) ^ {2}, \ quad \ qquad x_ {1} (0) = 0,8 \ qquad (6.2)}$

${\ displaystyle {\ frac {dx_ {2}} {dt}} = x_ {1} + (1-x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2}) x_ {2} \ sin ( w ^ {H} (t)) ^ {2}, \ qquad \ qquad x_ {2} (0) = 0.1, \ qquad (6.3)}$

e la sua approssimazione mediante due schemi numerici, dove denota un processo browniano frazionario con esponente di Hurst H = 0.45 . ${\ displaystyle w ^ {H}}$

Forti metodi LL per SDE

Considera l' equazione differenziale stocastica d- dimensionale (SDE)

${\ Displaystyle d \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {f} (t, \ mathbf {x} (t)) dt + \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {m} \ mathbf {g} _ {i} (t) d \ mathbf {w} ^ {i} (t), \ quad t \ in \ left [t_ {0}, T \ right], \ qquad \ qquad \ qquad (7.1)}$

con condizione iniziale , dove il coefficiente di deriva e il coefficiente di diffusione sono funzioni differenziabili, ed è un processo di Wiener standard m- dimensionale . ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t_ {0}) = \ mathbf {x} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w = (\ mathbf {w}} ^ {1}, \ ldots, \ mathbf {w} ^ {m} \ mathbf {)}}$

Discretizzazione lineare locale

Per una discretizzazione temporale , l'ordine- (= 1,1.5) Strong Local Linear discretization della soluzione della SDE (7.1) è definita dalla relazione ricorsiva ${\ displaystyle \ sinistra (t \ destra) _ {h}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {\ gamma}}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n + 1} = \ mathbf {z} _ {n} + \ mathbf {\ phi} _ {\ mathbb {\ gamma}} (t_ {n}, \ mathbf {z } _ {n}; h_ {n}) + \ mathbf {\ xi} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; h_ {n}), \ quad con \ quad \ mathbf {z} _ {0} = \ mathbf {x} _ {0},}$

dove

${\ displaystyle \ mathbf {\ phi} _ {\ mathbb {\ gamma}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; \ delta) = \ int _ {0} ^ {\ delta} e ^ {\ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) (\ delta -u)} (\ mathbf {f (} t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) + \ mathbf {a} ^ {\ mathbb {\ gamma}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) u) du}$

e

${\ Displaystyle \ mathbf {\ xi} \ left (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; \ delta \ right) = \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {m} \ int \ nolimits _ {t_ {n}} ^ {t_ {n} + \ delta} e ^ {\ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) (t_ {n} + \ delta -u)} \ mathbf {g} _ {i} (u) \, d \ mathbf {w} ^ {i} (u).}$

Qui,

${\ displaystyle \ mathbf {a} ^ {\ mathbb {\ gamma}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) = \ left \ {{\ begin {array} {cl} \ mathbf { f} _ {t} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) & {\ text {for}} \ qquad \ mathbb {\ gamma} = 1 \\\ mathbf {f} _ {t } (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) + {\ frac {1} {2}} \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {m} (\ mathbf {I} \ otimes \ mathbf {g} _ {j} ^ {\ intercal} (t_ {n})) \ mathbf {f} _ {\ mathbf {xx}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) \ mathbf {g} _ {j} (t_ {n}) & {\ text {for}} \ quad \ mathbb {\ gamma} = 1.5, \ end {array}} \ right.}$

${\ Displaystyle \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}}, \ mathbf {f} _ {t}}$ indicano le derivate parziali di rispetto alle variabili e t , rispettivamente, e la matrice Hessiana di rispetto . La discretizzazione Lineare Locale forte converge con ordine (= 1, 1.5) alla soluzione di (7.1). ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {\ mathbf {xx}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {\ gamma}}$

Discretizzazioni lineari locali di ordine elevato

Dopo la linearizzazione locale del termine di deriva di (7.1) in , l'equazione per il residuo è data da ${\ displaystyle (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

${\ Displaystyle d \ mathbf {r} (t) = \ mathbf {q} _ {\ gamma} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; t \ mathbf {, \ mathbf {r}} (t)) \, dt + \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {m} \ mathbf {g} _ {i} (t) \, d \ mathbf {w} ^ {i} (t) \ mathbf {,} \ qquad \ mathbf {r} (t_ {n}) = \ mathbf {0}}$

per tutti , dove ${\ displaystyle t \ in \ lbrack t_ {n}, t_ {n + 1}]}$

${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {\ gamma} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; s \ mathbf {, \ xi}) = \ mathbf {f} (s, \ mathbf { z} _ {n} + \ mathbf {\ phi} _ {\ gamma} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; s-t_ {n}) + \ mathbf {\ xi}) - \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) \ mathbf {\ phi} _ {\ gamma} (t_ {n}, \ mathbf {z } _ {n}; s-t_ {n}) - \ mathbf {a} ^ {\ gamma} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) (s-t_ {n}) - \ mathbf {f} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}).}$

Una discretizzazione lineare locale di ordine elevato della SDE (7.1) in ogni punto viene quindi definita dall'espressione ricorsiva ${\ displaystyle t_ {n + 1} \ in (t) _ {h}}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n + 1} = \ mathbf {z} _ {n} + \ mathbf {\ phi} _ {\ gamma} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n }; h_ {n}) + {\ widetilde {\ mathbf {r}}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; h_ {n}), \ qquad {\ text {con}} \ qquad \ mathbf {z} _ {0} = \ mathbf {x} _ {0},}$

dove è una forte approssimazione al residuo di ordine maggiore di 1.5 . La forte discretizzazione HOLL converge con ordine alla soluzione di (7.1). ${\ displaystyle {\ widetilde {\ mathbf {r}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$

Schemi di linearizzazione locale

A seconda del modo di calcolo , e diversi schemi numerici possono essere ottenute. Ogni implementazione numerica di una forte discretizzazione lineare locale di qualsiasi ordine viene genericamente chiamata schema SLL (Strong Local Linearization) . ${\ displaystyle \ mathbf {\ phi} _ {\ mathbb {\ gamma}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ xi}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {\ mathbf {r}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n}}$

Ordina 1 schemi SLL

${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {n + 1} = \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {L} (\ mathbf {P} _ {p, q} (2 ^ {- k_ {n }} \ mathbf {M} _ {n} h_ {n})) ^ {2 ^ {k_ {n}}} \ mathbf {r +} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {m} \ mathbf { g} _ {i} (t_ {n}) \ Delta \ mathbf {w} _ {n} ^ {i}, \ quad}$ ${\ displaystyle \ qquad \ qquad (7.2)}$

dove le matrici , e sono definite come in (4.6), è una variabile casuale gaussiana media zero iid con varianza , ep + q > 1. Per grandi sistemi di SDE, nello schema precedente è sostituito da . ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {w} _ {n} ^ {i}}$ ${\ displaystyle h_ {n}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {P} _ {p, q} (2 ^ {- k_ {n}} \ mathbf {M} _ {n} h_ {n})) ^ {2 ^ {k_ {n}} } \ mathbf {r}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ mathbf {k}} _ {m_ {n}, k_ {n}} ^ {p, q} (h_ {n}, \ mathbf {M} _ {n}, \ mathbf {r })}$

Ordina 1.5 schemi SLL

${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {n + 1} = \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {L} (\ mathbf {P} _ {p, q} (2 ^ {- k_ {n }} \ mathbf {M} _ {n} h_ {n})) ^ {2 ^ {k_ {n}}} \ mathbf {r} + \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {m} \ sinistra (\ mathbf {g} _ {i} (t_ {n}) \ Delta \ mathbf {w} _ {n} ^ {i} \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, {\ widetilde {\ mathbf {y}}} _ {n}) \ mathbf {g} _ {i} (t_ {n}) \ Delta \ mathbf {z} _ {n} ^ {i} + {\ frac {d \ mathbf {g} _ {i} (t_ {n})} {dt}} (\ Delta \ mathbf {w} _ {n} ^ {i} h_ {n} - \ Delta \ mathbf {z} _ {n} ^ {i}) \ right), \ qquad \ qquad (7.3)}$

dove le matrici , e sono definiti come ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {n} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) & \ mathbf {f} _ {t} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) + {\ frac {1} {2}} \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {m} \ sinistra (\ mathbf {I} \ otimes \ mathbf {g} _ {j} ^ {\ intercal} (t_ {n}) \ destra) \ mathbf {f} _ {\ mathbf {xx}} (t_ {n} , \ mathbf {y} _ {n}) \ mathbf {g} _ {j} (t_ {n}) & \ mathbf {f} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ in \ mathbb {R} ^ {(d + 2) \ times (d + 2)},}$

${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ left [{\ begin {array} {ll} \ mathbf {I} & \ mathbf {0} _ {d \ times 2} \ end {array}} \ right], \ mathbf {r} ^ {\ intercal} = \ left [{\ begin {array} {ll} \ mathbf {0} _ {1 \ times (d + 1)} & 1 \ end {array}} \ right]}$ , È un IID nullo variabile casuale gaussiana medio di varianza e covarianza e p + q> 1 . Per i grandi sistemi di SDE, nello schema sopra è sostituito da . ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {z} _ {n} ^ {i}}$ ${\ displaystyle E \ left ((\ Delta \ mathbf {z} _ {n} ^ {i}) ^ {2} \ right) = {\ frac {1} {3}} h_ {n} ^ {3} }$ ${\ displaystyle E (\ Delta \ mathbf {w} _ {n} ^ {i} \ Delta \ mathbf {z} _ {n} ^ {i}) = {\ frac {1} {2}} h_ {n } ^ {2}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {P} _ {p, q} (2 ^ {- k_ {n}} \ mathbf {M} _ {n} h_ {n})) ^ {2 ^ {k_ {n}} } \ mathbf {r}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ mathbf {k}} _ {m_ {n}, k_ {n}} ^ {p, q} (h_ {n}, \ mathbf {M} _ {n}, \ mathbf {r })}$

Ordina 2 schemi SLL-Taylor

${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {t_ {n + 1}} = \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {L} (\ mathbf {P} _ {p, q} (2 ^ {- k_ {n}} \ mathbf {M} _ {n} h_ {n})) ^ {2 ^ {k_ {n}}} \ mathbf {r} + \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {m } \ mathbf {g} _ {j} \ left (t_ {n} \ right) \ Delta \ mathbf {w} _ {n} ^ {j} + \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {m} \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) \ mathbf {g} _ {j} \ left (t_ {n} \ right) {\ widetilde {J}} _ {\ left (j, 0 \ right)} + \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {m} {\ frac {d \ mathbf {g} _ {_ {j}}} {dt}} \ left (t_ {n} \ right) {\ widetilde {J}} _ {\ left (0, j \ right)}}$

${\ displaystyle \ qquad \ qquad + \ sum \ limits _ {j_ {1}, j_ {2} = 1} ^ {m} \ left (\ mathbf {I} \ otimes \ mathbf {g} _ {j_ {2 }} ^ {\ intercal} \ sinistra (t_ {n} \ destra) \ destra) \ mathbf {f} _ {\ mathbf {xx}} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) \ mathbf {g} _ {j_ {1}} \ left (t_ {n} \ right) {\ widetilde {J}} _ {\ left (j_ {1}, j_ {2}, 0 \ right),} \ qquad \ qquad (7.4)}$

dove , , e sono definiti come negli schemi SLL ordine-1, ed è ordine 2 approssimazione al multiplo integrale Stratonovish . ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {w} _ {n} ^ {i}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {J}} _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle J _ {\ alpha}}$

Ordina 2 schemi SLL-RK

Fig.4, In alto : Evoluzione dei domini nel piano delle fasi dell'oscillatore armonico (7.6), con ε = 0 e ω = σ = 1. Le immagini del cerchio unitario iniziale (verde) sono ottenute in tre momenti temporali T dalla soluzione esatta (nero), e dagli schemi SLL1 (blu) e Eulero implicito (rosso) con h = 0,05 . In basso : valore atteso dell'energia (linea continua) lungo la soluzione dell'oscillatore non lineare (7.6), con ε = 1 e ω = 100, e la sua approssimazione (cerchi) calcolata via Monte Carlo con 10000 simulazioni dello schema SLL1 con h = 1/2 e p = q = 6 .

Per SDE con un singolo rumore Wiener (m = 1 )

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {t_ {n + 1}} = \ mathbf {y} _ {n} + {\ widetilde {\ mathbf {\ phi}}} (t_ {n}, \ mathbf {y } _ {n}; h_ {n}) + {\ frac {h_ {n}} {2}} \ left (\ mathbf {k} _ {1} + \ mathbf {k} _ {2} \ right) + \ mathbf {g} \ sinistra (t_ {n} \ destra) \ Delta w_ {n} + {\ frac {\ sinistra (\ mathbf {g} \ sinistra (t_ {n + 1} \ destra) - \ mathbf {g} \ left (t_ {n} \ right) \ right)} {h_ {n}}} J _ {\ left (0,1 \ right)} \ quad (7.5)}$

${\ displaystyle \ quad \ quad \ quad}$

dove

{\ displaystyle \ mathbf {k} _ {1} = \ mathbf {f} (t_ {n} + {\ frac {h_ {n}} {2}}, \ mathbf {y} _ {n} + {\ widetilde {\ mathbf {\ phi}}} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}; {\ frac {h_ {n}} {2}}) + \ gamma _ {+}) - \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) {\ widetilde {\ mathbf {\ phi}}} (t_ {n}, \ mathbf {y } _ {n}; {\ frac {h_ {n}} {2}}) - \ mathbf {f} \ left (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n} \ right) - \ mathbf { f} _ {t} \ sinistra (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n} \ destra) {\ frac {h_ {n}} {2}},}

{\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {2} = \ mathbf {f} (t_ {n} + {\ frac {h_ {n}} {2}}, \ mathbf {y} _ {n} + {\ widetilde {\ mathbf {\ phi}}} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}; {\ frac {h_ {n}} {2}}) + \ gamma _ {-}) - \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) {\ widetilde {\ mathbf {\ phi}}} (t_ {n}, \ mathbf {y } _ {n}; {\ frac {h_ {n}} {2}}) - \ mathbf {f} \ left (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n} \ right) - \ mathbf { f} _ {t} \ sinistra (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n} \ destra) {\ frac {h_ {n}} {2}},}

con . ${\ displaystyle \ gamma _ {\ pm} = {\ frac {1} {h_ {n}}} \ mathbf {g} \ left (t_ {n} \ right) {\ Bigl (} {\ widetilde {J} } _ {\ left (1,0 \ right)} \ pm {\ sqrt {2 {\ widetilde {J}} _ {\ left (1,1,0 \ right)} h_ {n} - {\ widetilde { J}} _ {\ left (1,0 \ right)} ^ {2}}} {\ Bigr)}}$

Qui, per basse SDE dimensionali, e per i grandi sistemi di SDE, dove , , , e vengono definite nelle ordine- 2 regimi SLL-Taylor, p + q> 1 e . ${\ displaystyle {\ widetilde {\ mathbf {\ phi}}} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}; h_ {n}) = \ mathbf {L} (\ mathbf {P} _ { p, q} (2 ^ {- k_ {n}} \ mathbf {M} _ {n} h_ {n})) ^ {2 ^ {k_ {n}}} \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {\ mathbf {\ phi}}} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}; h_ {n}) = \ mathbf {L \ mathbf {k}} _ {m_ {n}, k_ {n}} ^ {p, q} (h_ {n}, \ mathbf {M} _ {n}, \ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {w} _ {n} ^ {i}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {J}} _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle m_ {n}> 2}$

Stabilità e dinamica

Per costruzione, le forti discretizzazioni LL e HOLL ereditano la stabilità e la dinamica degli SDE lineari, ma non è il caso degli schemi LL forti in generale. Gli schemi LL (7.2) - (7.5) con sono A -stable, comprese equazioni lineari rigide e altamente oscillatorie. Inoltre, per SDE lineari con attrattori casuali , questi schemi hanno anche un attrattore casuale che converge in probabilità a quello esatto al diminuire della dimensione del gradino e preservano l' ergodicità di queste equazioni per qualsiasi dimensione del gradino. Questi schemi riproducono anche proprietà dinamiche essenziali di oscillatori armonici semplici e accoppiati come la crescita lineare dell'energia lungo i percorsi, il comportamento oscillatorio intorno a 0, la struttura simplettica degli oscillatori hamiltoniani e la media dei percorsi. Per gli SDE non lineari con rumore ridotto (cioè, (7.1) con ), i percorsi di questi schemi SLL sono fondamentalmente i percorsi non casuali dello schema LL (4.6) per gli ODE più un piccolo disturbo correlato al piccolo rumore. In questa situazione, le proprietà dinamiche di quello schema deterministico, come la conservazione della linearizzazione e la conservazione delle dinamiche di soluzione esatta attorno ai punti di equilibrio iperbolico e alle orbite periodiche, diventano rilevanti per i percorsi dello schema SLL. Ad esempio, la Fig 4 mostra l'evoluzione dei domini nel piano delle fasi e l'energia dell'oscillatore stocastico ${\ Displaystyle p \ leq q \ leq p + 2}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {i} (t) \ circa 0}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} dx (t) = y (t) dt, & x_ {1} (0) = 0,01 \\ dy (t) = - (\ omega ^ {2} x (t ) + \ epsilon x ^ {4} (t)) dt + \ sigma dw_ {t}, & x_ {1} (0) = 0.1, \ end {array}} \ qquad \ qquad (7.6)}$

e le loro approssimazioni da due schemi numerici.

Metodi LL deboli per SDE

Considera l' equazione differenziale stocastica d- dimensionale

${\ Displaystyle d \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {f} (t, \ mathbf {x} (t)) dt + \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {m} \ mathbf {g} _ {i} (t) d \ mathbf {w} ^ {i} (t), \ qquad t \ in \ left [t_ {0}, T \ right], \ qquad \ qquad (8.1)}$

con condizione iniziale , dove il coefficiente di deriva e il coefficiente di diffusione sono funzioni differenziabili, ed è un processo di Wiener standard m- dimensionale. ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t_ {0}) = \ mathbf {x} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w = (\ mathbf {w}} ^ {1}, \ ldots, \ mathbf {w} ^ {m} \ mathbf {)}}$

Discretizzazione lineare locale

Per una discretizzazione temporale , l'ordine- Discretizzazione Lineare Locale Debole della soluzione della SDE (8.1) è definita dalla relazione ricorsiva ${\ displaystyle \ sinistra (t \ destra) _ {h}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {\ beta}}$ ${\ displaystyle (= 1,2)}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n + 1} = \ mathbf {z} _ {n} + \ mathbf {\ phi} _ {\ mathbb {\ beta}} (t_ {n}, \ mathbf {z } _ {n}; h_ {n}) + \ mathbf {\ eta} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; h_ {n}), \ quad con \ quad \ mathbf {z} _ {0} = \ mathbf {x} _ {0},}$

dove

${\ displaystyle \ mathbf {\ phi} _ {\ mathbb {\ beta}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; \ delta) = \ int _ {0} ^ {\ delta} e ^ {\ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) (\ delta -u)} (\ mathbf {f (} t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) + \ mathbf {b} ^ {\ mathbb {\ beta}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) u) du}$

con

${\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {\ mathbb {\ beta}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) = {\ begin {cases} \ mathbf {f} _ {t} ( t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) & {\ text {for}} \ mathbb {\ beta} = 1 \\\ mathbf {f} _ {t} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) + {\ frac {1} {2}} \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {m} \ left (\ mathbf {I} \ otimes \ mathbf {g} _ { j} ^ {\ intercal} \ sinistra (t_ {n} \ destra) \ destra) \ mathbf {f} _ {\ mathbf {xx}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) \ mathbf {g} _ {j} \ left (t_ {n} \ right) & {\ text {for}} \ mathbb {\ beta} = 2, \ end {case}}}$

ed è un processo stocastico a media zero con matrice di varianza ${\ displaystyle \ mathbf {\ eta} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; \ delta)}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}; \ delta) = \ int \ limits _ {0} ^ {\ delta} e ^ {\ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) (\ delta -s)} \ mathbf {G} (t_ {n} + s) \ mathbf {G} ^ {\ intercal} (t_ {n} + s) e ^ {\ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} ^ {\ intercal} (t_ {n}, \ mathbf {z} _ {n}) ( \ delta -s)} ds.}$

Qui, , indicano le derivate parziali di rispetto alle variabili e t , rispettivamente, la matrice Hessiana di rispetto , e . La discretizzazione lineare locale debole converge con ordine (= 1,2) alla soluzione di (8.1). ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {t}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {\ mathbf {xx}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {G} (t) = [\ mathbf {g} _ {1} (t), \ ldots, \ mathbf {g} _ {m} (t)]}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {\ beta}}$

Schemi di linearizzazione locale

A seconda del modo di calcolo e possono essere ottenuti diversi schemi numerici. Ogni implementazione numerica della discretizzazione lineare locale debole è genericamente chiamata schema di linearizzazione locale debole (WLL) . ${\ displaystyle \ mathbf {\ phi} _ {\ mathbb {\ beta}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {n}}$

Ordinare 1 schema WLL

${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {n + 1} = \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {B} _ {14} + (\ mathbf {B} _ {12} \ mathbf {B} _ {11} ^ {\ intercal}) ^ {1/2} \ mathbf {\ xi} _ {n}}$

dove, per SDE con coefficienti di diffusione autonomi , e sono le sottomatrici definite dalla matrice partizionata , con ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {11}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {12}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {14}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {P} _ {p, q} (2 ^ {- k_ {n}} {\ mathcal {M}} _ {n} h_ {n})) ^ {2 ^ {k_ {n}}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n} = \ left [{\ begin {array} {cccc} \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {y } _ {n}) & \ mathbf {GG} ^ {\ intercal} & \ mathbf {f} _ {t} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) & \ mathbf {f} ( t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) \\\ mathbf {0} & - \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} ^ {\ intercal} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) & \ mathbf {0} & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & \ mathbf {0} & 0 & 1 \\\ mathbf {0} & \ mathbf {0} & 0 & 0 \ end {array}} \ right] \ in \ mathbb {R} ^ {(2d + 2) \ times (2d + 2)},}$

ed è una sequenza di vettori casuali distribuiti a due punti indipendenti d- dimensionali soddisfacenti . ${\ displaystyle \ {\ mathbf {\ xi} _ {n} \}}$ ${\ displaystyle P (\ xi _ {n} ^ {k} = \ pm 1) = {\ frac {1} {2}}}$

Ordinare 2 schemi WLL

${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {n + 1} = \ mathbf {y} _ {n} + \ mathbf {B} _ {16} + (\ mathbf {B} _ {14} \ mathbf {B} _ {11} ^ {\ intercal}) ^ {1/2} \ mathbf {\ xi} _ {n},}$

dove , e sono le sottomatrici definite dalla matrice partizionata con ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {11}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {14}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {16}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {P} _ {p, q} (2 ^ {- k_ {n}} {\ mathcal {M}} _ {n} h_ {n})) ^ {2 ^ {k_ {n}}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n} = \ left [{\ begin {array} {cccccc} \ mathbf {J} & \ mathbf {H} _ {2} & \ mathbf {H} _ { 1} & \ mathbf {H} _ {0} & \ mathbf {a} _ {2} & \ mathbf {a} _ {1} \\\ mathbf {0} & - \ mathbf {J} ^ {\ intercal } & \ mathbf {I} & \ mathbf {0} & \ mathbf {0} & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & \ mathbf {0} & - \ mathbf {J} ^ {\ intercal} & \ mathbf {I} & \ mathbf {0} & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & \ mathbf {0} & \ mathbf {0} & - \ mathbf {J} ^ {\ intercal} & \ mathbf {0} & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & \ mathbf {0} & \ mathbf {0} & \ mathbf {0} & 0 & 1 \\\ mathbf {0} & \ mathbf {0} & \ mathbf {0} & \ mathbf {0} & 0 & 0 \ end {array}} \ right] \ in \ mathbb {R} ^ {(4d + 2) \ times (4d + 2)},}$

${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {f} _ {\ mathbf {x}} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) \ qquad \ mathbf {a} _ {1} = \ mathbf {f} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) \ qquad \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {f} _ {t} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) + {\ frac {1} {2}} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {m} (\ mathbf {I} \ otimes (\ mathbf {g} ^ {i } (t_ {n})) ^ {\ intercal}) \ mathbf {f} _ {\ mathbf {xx}} (t_ {n}, \ mathbf {y} _ {n}) \ mathbf {g} ^ { i} (t_ {n})}$

e

${\ Displaystyle \ mathbf {H} _ {0} = \ mathbf {G} (t_ {n}) \ mathbf {G} ^ {\ intercal} (t_ {n}) \ qquad \ mathbf {H} _ {1 } = \ mathbf {G} (t_ {n}) {\ frac {d \ mathbf {G} ^ {\ intercal} (t_ {n})} {dt}} + {\ frac {d \ mathbf {G} (t_ {n})} {dt}} \ mathbf {G} ^ {\ intercal} (t_ {n}) \ qquad \ mathbf {H} _ {2} = {\ frac {d \ mathbf {G} ( t_ {n})} {dt}} {\ frac {d \ mathbf {G} ^ {\ intercal} (t_ {n})} {dt}} {\ text {.}}}$

Stabilità e dinamica

Fig. 5 approssimativa medio del SDE (8.2) calcolata via Monte Carlo con 100 simulazioni di vari regimi con h = 1/16 e p = q = 6 .

Per costruzione, le discretizzazioni LL deboli ereditano la stabilità e la dinamica degli SDE lineari, ma non è il caso degli schemi LL deboli in generale. Gli schemi WLL, conservano i primi due momenti degli SDE lineari, ed ereditano la stabilità o instabilità quadratica medio che tale soluzione può avere. Ciò include, ad esempio, le equazioni di oscillatori armonici accoppiati guidati da forza casuale e grandi sistemi di SDE lineari rigidi che risultano dal metodo delle linee per equazioni differenziali parziali stocastiche lineari. Inoltre, questi schemi WLL preservano l' ergodicità delle equazioni lineari e sono geometricamente ergodici per alcune classi di SDE non lineari. Per SDE non lineari con piccolo rumore (cioè, (8.1) con ), le soluzioni di questi schemi WLL sono fondamentalmente i percorsi non casuali dello schema LL (4.6) per ODE più un piccolo disturbo correlato al piccolo rumore. In questa situazione, le proprietà dinamiche di quello schema deterministico, come la conservazione della linearizzazione e la conservazione delle dinamiche di soluzione esatta attorno ai punti di equilibrio iperbolico e alle orbite periodiche, diventano rilevanti per la media dello schema WLL. Ad esempio, la Fig. 5 mostra la media approssimativa dell'SDE ${\ Displaystyle p \ leq q \ leq p + 2,}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {i} (t) \ circa 0}$

${\ displaystyle dx = -t ^ {2} x {\ text {}} dt + {\ frac {3} {2 (t + 1)}} e ^ {- t ^ {3} / 3} {\ text { }} dw_ {t}, \ qquad \ qquad x (0) = 1, \ qquad \ quad (8.2)}$

calcolato da vari schemi.

Note storiche

Di seguito è riportata una cronologia dei principali sviluppi del metodo di linearizzazione locale (LL).

Pope DA (1963) introduce la discretizzazione LL per le ODE e lo schema LL basato sull'espansione di Taylor.
Ozaki T. (1985) introduce il metodo LL per l'integrazione e la stima degli SDE. Il termine "Linearizzazione locale" viene utilizzato per la prima volta.
Biscay R. et al. (1996) riformulano il metodo LL forte per gli SDE.
Shoji I. e Ozaki T. (1997) riformulano il metodo LL debole per gli SDE.
Hochbruck M. et al. (1998) introducono lo schema LL per le ODE basato sull'approssimazione subspaziale di Krylov.
Jimenez JC (2002) introduce lo schema LL per ODE e SDE basato sull'approssimazione razionale di Padé.
Carbonell FM et al. (2005) introducono il metodo LL per RDE.
Jimenez JC et al. (2006) introducono il metodo LL per i DDE.
De la Cruz H. et al. (2006,2007) e Tokman M. (2006) introducono le due classi di integratori HOLL per ODE: quello basato sull'integratore e quello basato sulla quadratura.
De la Cruz H. et al. (2010) introducono un metodo HOLL forte per gli SDE.

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Metodo di linearizzazione locale - Local linearization method

sfondo

Metodo di linearizzazione locale di ordine elevato

Schema di linearizzazione locale

Metodi LL per ODE

Discretizzazione lineare locale

Discretizzazioni lineari locali di ordine elevato

Schemi di linearizzazione locale

Calcolo di integrali che coinvolgono esponenziale di matrice

Schemi Order-2 LL

Schemi Order-3 LL-Taylor

Schemi Order-4 LL-RK

Schema di Runge-Kutta linearizzato localmente di Dormand e Prince

Stabilità e dinamica

Metodi LL per DDE

Discretizzazione lineare locale

Schemi di linearizzazione locale

Schemi LL polinomiali di ordine 2

Metodi LL per RDE

Discretizzazione lineare locale

Schemi di linearizzazione locale

Schemi LL

Forti metodi LL per SDE

Discretizzazione lineare locale

Discretizzazioni lineari locali di ordine elevato

Schemi di linearizzazione locale

Ordina 1 schemi SLL

Ordina 1.5 schemi SLL

Ordina 2 schemi SLL-Taylor

Ordina 2 schemi SLL-RK

Stabilità e dinamica

Metodi LL deboli per SDE

Discretizzazione lineare locale

Schemi di linearizzazione locale

Ordinare 1 schema WLL

Ordinare 2 schemi WLL

Stabilità e dinamica

Note storiche

Riferimenti